2023學年完整公開課版數(shù)學的真

第一講數(shù)學的“真”李進金1世上萬物，以真善美為最高境界。數(shù)學自然也有自己的真善美。欣賞數(shù)學的真善美，就成為數(shù)學教育的一項重要任務。但是，數(shù)學的真善美往往被淹沒在形式演繹的海洋里，需要大力挖掘、用心體察才能發(fā)現(xiàn)、感受、體驗和欣賞。2欣賞，是教育的一部分。欣賞是需要指導、培育的。人文教育，旨在認識和欣賞人生的真善美；數(shù)學教育則是為了欣賞數(shù)學文化和數(shù)學思維的真善美。3怎樣欣賞數(shù)學的真善美呢?大致有以下途徑：對比分析，體察古今中外的數(shù)學理性精神；提出問題，揭示冰冷形式后面的數(shù)學本質；梳理思想，領略抽象數(shù)學模型的智慧結晶；構作意境，溝通數(shù)學思考背后的人文情景。4

愛因斯坦說過：“為什么數(shù)學比其他一切學科受到特殊的尊重?理由之一是數(shù)學命題的絕對可靠性和無可爭辯性。至于其他各個學科的命題則在某種程度上都是可爭辯的，經(jīng)常處于會被新發(fā)現(xiàn)的事實推翻的危險之中?！?/p>

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數(shù)學的“真”沒有時間性。因為數(shù)學的“真”，是和數(shù)學所使用的邏輯演繹方法密切相關的，與時間沒關。重視邏輯推理，崇尚公理化的演繹方法是每一個數(shù)學工作者的共識。他們既要講推理，更要講道理，真正體會到數(shù)學演繹的“真”。6數(shù)學，尤其是幾何學，所涉及對象就是普遍而抽象的東西。它們同生活中的事物有關，但是又不來自于這些具體的事物，因此在古希臘學習幾何被認為是尋求真理的最有效的途徑。據(jù)說柏拉圖學院門口寫著：不習幾何者不得入內。古希臘的幾何地位是非常高的。今天我們講數(shù)學的“真”，就是給大家傳遞一個信息，數(shù)學對人的思維、對自然和真理的追求都是非常重要的事。7

例1、“對頂角相等”和“三角形的兩邊之和大于第三邊”這樣明顯的命題為什么要證明?定理本身非常直觀，無人質疑。如果就事論事地解說一番，或者時髦地讓學生“量一量”“拼一拼”那樣地活動一下，都不能使學生獲得數(shù)學之“真”的欣賞。

可以說這不是數(shù)學，而是物理學。8

一個物理學定理成立，只要重復做幾次實驗，結果都穩(wěn)定地體現(xiàn)某一個規(guī)律，研究就算成功了。可是數(shù)學則不行。事實上，我們的主題不是“對頂角相等”和“三角形的兩邊之和大于第三邊”的知識本身及其如何證明，關鍵點是要問：“這樣明顯的命題要不要證明?”中國古代數(shù)學沒有這樣的命題。9

古希臘數(shù)學家提出這樣的定理，認為需要證明，而且使用定義和公理加以證明。兩相對照，才知道自己的淺薄，古希臘理性精神的偉大。從“顯然正確因而不必證明”到“崇尚理性需要證明”，是一次思想上的飛躍，可以說震撼了許多學生的“靈魂”，可是，現(xiàn)行的教材沒有這樣寫，課堂上教師也沒有這樣教。10

總之，我們要欣賞數(shù)學的“真”，必須濃墨重彩地解說、對比、分析，不能停留在形式的邏輯推演上。

不要像“豬八戒吃人參果，吞到肚里卻不知道是什么滋味”。11

例2、哥德巴赫猜想：

1742年6月7日，德國數(shù)學家哥德巴赫在寫給著名數(shù)學家歐拉的一封信中，提出了兩個大膽的猜想：1、任何不小于6的偶數(shù)，都是兩個奇素數(shù)之和；2、任何不小于9的奇數(shù)，都是三個奇素數(shù)之和。一個充分大的偶數(shù)必定可以表示為兩個素數(shù)之和這就是數(shù)學史上著名的“哥德巴赫猜想”。

12顯然，第二個猜想是第一個猜想的推論。因此，只需在兩個猜想中證明一個就足夠了。同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中,明確表示他深信哥德巴赫的這兩個猜想都是正確的定理，但是歐拉當時還無法給出證明。由于歐拉是當時歐洲最偉大的數(shù)學家，他對哥德巴赫猜想的信心，影響到了整個歐洲乃至世界數(shù)學界。從那以后，許多數(shù)學家都躍躍欲試，甚至一生都致力于證明哥德巴赫猜想?？墒侵钡?9世紀末，哥德巴赫猜想的證明也沒有任何進展。證明哥德巴赫猜想的難度，遠遠超...13雖然我們已經(jīng)用超級計算機驗證過，凡小于10^13的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和，但是仍然不能說這個猜想已經(jīng)成立。

1966年5月，陳景潤在《科學記錄》上宣布他證明了“1+2”，該成果得到國內外數(shù)學界的公認，被稱為陳氏定理。1978年，徐遲在《人民日報》上發(fā)表了《哥德巴赫猜想》一文，使陳景潤成為我國家喻戶曉的英雄式人物。14

陳景潤關于哥德巴赫猜想的工作“依然站在最高峰，尚無人超過”。

華羅庚曾說：“哥德巴赫猜想真是美極了，現(xiàn)在還沒有一個方法可以解決它?！?5

在華老的工作基礎上，

1955年和1957年王元先后證明了哥德巴赫猜想中的“3+4”、“2+3”；1962年，山東大學的潘承洞與蘇聯(lián)數(shù)學家巴爾巴恩分別獨立證明了“1+5”；1963年，王元與潘承洞等合作證明了“1+4”。1966年，陳景潤證明了“1+2”。16

華羅庚曾對王元與潘承洞的突破感到由衷的喜悅，但他說過：“最使我感動的是陳景潤‘1+2’。我覺得陳景潤在數(shù)學上、解析數(shù)論上曾經(jīng)達到的高度，對中國數(shù)學來說是一個非常重要的貢獻，國際數(shù)學界的同行們長時間地認為，陳景潤的這項工作是非常艱難的，難得簡直不可思議，至今對這項成果的評價都非常高?！?7

作為科學家，他代表一種精神，除了他卓越的貢獻外，陳景潤最讓人懷念與感動的是他的精神。

讀過徐遲寫的《哥德巴赫猜想》的人都熟悉這樣一種場景：

在一個6平方米的小屋中，陳景潤坐在小板凳上，把床當做書桌，完成了中國數(shù)學界最為重要的工作之一。18

“文革”后，當他的事跡發(fā)表出來，幾代人受到這種精神的感召，立志向數(shù)學、向科學的高峰進軍。

現(xiàn)在讓大家感到焦急憂慮的是，當年曾經(jīng)“感動中國”的陳景潤精神，卻在當代缺失了。19陳景潤并不是數(shù)學天才，他是在對數(shù)學具有深厚基礎的前提下，經(jīng)過長期刻苦的努力，最終攀上世界數(shù)學研究的高峰。陳景潤當時在研究哥德巴赫猜想時，幾乎達到了廢寢忘食的境界，僅演算草稿就用了幾麻袋。他之所以能夠在數(shù)學研究上攻克哥德巴赫猜想，摘得數(shù)學王冠上最璀璨的明珠，是因為他長期鉆研、積累豐富，再加上百分之百的投入才會取得那樣的成就。20一個人成長成才是一個長期的過程。一個人從進大學開始到拿到博士學位，一般差不多需要十年左右的時間，事實上，拿到博士學位只是說明你具有獨立工作的能力，但還不一定當時就已經(jīng)能夠做很重要的工作，而后來的五六年又非常關鍵，從這個看就要十五六年了，是一個非常長期的過程。所以說要把自己培養(yǎng)成為一個高層次的人才，我認為主要就是長期的勤奮努力，要拿出數(shù)學這種求真持久的精神，拿出跑“馬拉松”的精神，而不是像跑百米那樣去沖刺，那樣不管用。21

例3、孿生素數(shù)猜想：

張益唐所做的工作和素數(shù)有關，尤其和所謂的孿生素數(shù)有關。

孿生素數(shù)是指差為

2

的素數(shù)對，

p

和

p+2

同為素數(shù)。22

前幾個孿生素數(shù)分別是（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。100

以內有

8

個孿生素數(shù)對；501

到

600

間只有兩對。

隨著數(shù)的變大，可以觀察到的孿生素數(shù)越來越少。23

2011

年，人們發(fā)現(xiàn)目前為止最大的孿生素數(shù)共有

20

多萬位數(shù)。

但這個數(shù)后面再多找一對孿生素數(shù)都要花至少兩年的時間。

24

那么會不會有一天再也找不到新的孿生素數(shù)對呢？數(shù)學家認為答案是否定的。

幾百年前就有個孿生素數(shù)猜想：有無窮多個素數(shù)

p，使得

p

與

p+2

同為素數(shù)。

但至今人們都不知如何證明這個猜想。25

張益唐在《數(shù)學年刊》上發(fā)表的這篇題為《素數(shù)間的有界距離》的文章，

證明了存在無數(shù)多個素數(shù)對（p,

q）其中每一對中的素數(shù)之差，

即

p

和

q

的距離，不超過七千萬。26

如何理解張益唐的結果呢？

假如在素數(shù)王國里素數(shù)只能找鄰近的同類結婚，那

3、5、7、11

這種小素數(shù)找對象都很容易。

但是素數(shù)越大，對象就越難找。

27

但是根據(jù)張益唐的發(fā)現(xiàn)，素數(shù)和下一個素數(shù)的距離，應該小于或等于七千萬。

孤獨的數(shù)字不會持續(xù)孤獨下去，總有另一個素數(shù)與之匹配。

換言之，對于“大齡光棍”素數(shù)來說，七千萬步之內，必有芳草。

（證明了：天涯何處無芳草）28

七千萬聽起來是個巨大的數(shù)字，但在數(shù)學上只是一個常數(shù)而已。

雖然它和孿生素數(shù)猜想的距離為

2

的結果還有十萬八千里，但用張益唐的方法把七千萬縮短到幾百以內也是指日可待的事情。29

實際上，在文章被公布于眾后，短短的一個月以內，七千萬就被菲爾茨獎獲得者陶哲軒發(fā)起的網(wǎng)上討論班縮小到六萬多。據(jù)說，現(xiàn)在已縮小到七千。

張益唐起到的作用就是把大海撈針的力氣活縮短到在水塘里撈針，而他給出的方法還可以把水塘撈針輕松變?yōu)橛斡境乩飺漆槨?0

也許最后變成在碗里撈針還需要一些再創(chuàng)新的工作。

但給出了這一偉大框架已經(jīng)是讓全世界數(shù)學家瞠目結舌的壯舉了。31

老牌英國報紙《衛(wèi)報》刊登文章，文章的標題是：鮮為人知的教授在折磨了數(shù)世紀數(shù)學精英的大問題上邁進了一大步。

印度主流報紙把作出這一非凡貢獻的人，與印度歷史上最偉大的天才數(shù)學家拉馬努金相媲美。32

這位作出重大數(shù)學突破的就是張益唐，由于對數(shù)學界最著名的猜想之一孿生素數(shù)猜想的破冰性工作

使他從默默無聞的大學講師躋身于世界重量級數(shù)學家的行列。33

演繹一個數(shù)學神話：張益唐的故事之所以特別轟動的原因在于，作出巨大數(shù)學貢獻的他已經(jīng)接近

60

歲，之前只是個默默無聞的講師。

為了潛心研究數(shù)學，他幾乎把自己與世隔絕，在美國的偏遠省份“潛伏”下來。34

他的妹妹曾在網(wǎng)上發(fā)尋人啟事尋找哥哥。當時在美國當教授的老同學給他妹妹回了個電郵，表示他哥哥健康地活著，在鉆研數(shù)學呢。35

張益唐于

1955

年出生于北京。

他

1978

年考進了北京大學數(shù)學系。

北大

1977

年沒有招生，所以他是北大數(shù)學系“文革”后恢復高考的第一批學生。36

1978

年第

1

期《人民文學》發(fā)表了作家徐遲的報告文學《哥德巴赫猜想》，

講述了數(shù)學家陳景潤刻苦鉆研在哥德巴赫猜想研究上取得重大突破的真實故事，一時間陳景潤和哥德巴赫猜想變得家喻戶曉。37

像那個時代很多有志青年一樣，張益唐也是被徐遲的文章、被陳景潤的故事、被哥德巴赫猜想引導到數(shù)學系，以致終身投入到數(shù)學中去。在大學任教，年近

60

還只是個講師，在一般人看來無疑是失敗，甚至是潦倒的，但他處之泰然，不改其志。38

難能可貴的是逆境之中他還是一如既往地作大問題。作大問題的人不需要太多，但不能沒有！

張益唐的精神及成就，對中國科學界是極大