必修空間中兩直線的位置關系

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系2.1空間點、直線、平面之間的位置關系第二章點、直線、平面之間的位置關系復習引入：1、同一平面內不重合兩條直線有幾種位置關系？2、在同一平面內，同平行于一條直線的兩條直線有什么位置關系？(1)、相交：有且僅有一個公共點。(2)、平行：在同一平面內沒有公共點?；ハ嗥叫刑岢鰡栴}：空間中的兩條直線呢？1.空間中兩條直線的位置關系觀察：觀察教室內的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側所在的直線,想一想:它們相交嗎?平行嗎?共面嗎?觀察上方體的棱所在直線,回答類似的問題.思考：我們把具有上述特征的兩條直線取個怎樣的名字才好呢？定義1:不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線.注：概念應理解為:“經過這兩條直線無法作出一個平面”.或:“不可能找到一個平面同時經過這兩條直線”．定義2:不相交也不平行兩條直線叫做異面直線.注意:分別在某兩個平面內的兩條直線不一定是異面直線,它們可能是相交,也可能是平行.異面直線的定義:空間兩條直線的位置關系有且只有三種平行相交異面位置關系公共點個數(shù)是否共面沒有只有一個沒有共面不共面共面空間中兩條直線的位置關系想一想:怎樣通過圖形來表示異面直線?為了表示異面直線a，b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托。如下圖:判斷：直線m和l是異面直線嗎?αβlmml(1)(2),則ɑ與b是異面直線.(3)ɑ,b不同在平面α內,則ɑ與b是異面直線.不是是錯錯【即時訓練】

1.

下圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對？想一想,做一做：HGFEDCBA三對AB與CDAB與GHEF與GH2.2.

空間兩平行直線提出問題：在同一平面內，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。在空間中，是否有類似的規(guī)律？平行嗎?中,觀察：如圖2.1.2-5,長方體與那么DD'∥

AA'BB'∥AA'公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。a∥bc∥ba∥c符號表示：設空間中的三條直線分別為a,b,c,若想一想:空間中,如果兩條直線都與第三條直線垂直,是否也有類似的規(guī)律?平行異面相交異面【即時訓練】例題示范例1：在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。分析：欲證EFGH是一個平行四邊形只需證EH∥FG且EH＝FGE，F(xiàn)，G，H分別是各邊中點連結BD,只需證：EH∥BD且EH＝BDFG∥BD且FG＝BDABDEFGHC例題示范例1：在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點。求證：四邊形EFGH是平行四邊形。ABDEFGHC∵EH是△ABD的中位線

∴EH∥BD且EH=BD同理，F(xiàn)G∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一個平行四邊形證明：連結BD1.若E，F(xiàn)，G,H分別是四面體A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上的中點，且AC＝BD，則四邊形EFGH為

.2.若E，F(xiàn)，G,H分別是四面體A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上的中點，且AC⊥BD，則四邊形EFGH為

.3.若E，F(xiàn)，G，H分別是四面體A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上的中點，且AC＝BD，AC⊥BD，則四邊形EFGH為

.(以上三個問題你會證明嗎？不妨一試)菱形矩形正方形【變式練習】變式二：

空間四面體A--BCD中,E,H分別是AB,AD的中點,F,G分別是CB,CD上的點,且，求證:四邊形ABCD為梯形.ABCDEHFG分析：需要證明四邊形ABCD有一組對邊平行，但不相等。3.

等角定理提出問題:在平面上,我們容易證明“如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補”。在空間中,結論是否仍然成立呢?觀察思考：如圖,∠ADC與∠A'D'C'、∠ADC與∠A'B'C'的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關系如何？3.

等角定理定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。3.

等角定理定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.（1）若一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊平行，那么這兩個角相等.（）（2）若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.（

）

√×【即時訓練】

在平面內,兩條直線相交成四個角,其中不大于90度的角稱為它們的夾角,用以刻畫兩直線的錯開程度,如圖.在空間,如圖所示,正方體ABCD－EFGH中,異面直線AB與HF的錯開程度可以怎樣來刻畫呢?ABGFHEDCO平移法4.

異面直線所成的角O異面直線所成角的定義:

如圖,已知兩條異面直線a,b,經過空間任一點O作直線a′∥a,b′∥b則把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).abb′a′思想方法:平移轉化成相交直線所成的角,即化空間圖形問題為平面圖形問題思考:

這個角的大小與O點的位置有關嗎?即O點位置不同時,這一角的大小是否改變?異面直線所成的角的范圍(0,90]oo如果兩條異面直線a,b所成的角為直角，我們就稱這兩條直線互相垂直,記為a⊥b注a

″思考:

這個角的大小與O點的位置有關嗎?即O點位置不同時,這一角的大小是否改變?b′a′O∠1aa″b∠2

在求作異面直線所成的角時,O點常選在其中的一條直線上

(如線段的端點,線段的中點等)注意5.

異面直線的判定定理異面直線定理：連結平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線與是異面直線例題示范例2、如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'

中。（1）哪些棱所在直線與直線BA'是異面直線？（2）直線BA'

和CC'

的夾角是多少？（3）哪些棱所在的直線與直線AA'

垂直？解：（1）由異面直線的判定方法可知，與直線成異面直線的有直線，例題示范例2、如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'

中。（1）哪些棱所在直線與直線BA'是異面直線？（2）直線BA'

和CC'

的夾角是多少？（3）哪些棱所在的直線與直線AA'

垂直？解：（2）由可知，等于異面直線與的夾角,所以異面直線與的夾角為450。

(3)直線與直線都垂直.變式：如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中，試求異面直線BC1與AC所成的角.ABC1D1A1DCB1作（找）

證

求下結論(1)求兩異面直線所成的角的一般步驟：①作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角；②證：證明作出的角就是要求的角；③計算：求角的值，常利用解三角形．可用“一作二證三計算”來概括．(2)平移直線得出的角有可能是兩條異面直線所成角的補角，要注意識別這種情況．【提升總結】練習反饋：1.判斷:（1）平行于同一直線的兩條直線平行.（）（2）垂直于同一直線的兩條直線平行.（

）（3）過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行

.

（）（4）與已知直線平行且距離等于定長的直線只有兩條.

（）（5）若一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊平行，那么這兩個角相等（）（6）若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.

（

）

√×√√××練習反饋：2．選擇題

（1）“a，b是異面直線”是指

①

a∩b=Φ,且a不平行于b；②

a

ì平面a，bì平面b且a∩b=Φ

③

a

ì平面a，b

平面a

④

不存在平面a，能使a

ìa且b

ìa成立上述結論中，正確的是 （

）（A）①②（B）①③（C）①④（D）③④（2）長方體的一條對角線與長方體的棱所組成的異面直線有 （

）

（A）2對（B）3對 （C）6對 （D）12對CC（3）兩條直線a,b分別和異面直線c,d都相交，則直線a，b的位置關系是（

）

（A）一定是異面直線 （B）一定是相交直線

（C）可能是平行直線 （D）可能是異面直線，也可能是相交直線 （4）一條直線和兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條的位置關系是(

)（A）平行 （B）相交 （C）異面 （D）相交或異面3．兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？

答：不一定，還可能異面．DD4.垂直于同一直線的兩條直線,有幾種位置關系？答：三種：相交，平行，異面．5．畫兩個相交平面，在這兩個平面內各畫一條直線使它們成為（1）平行直線；（2）相交直線；（3）異面直線．6．選擇題

（1）分別在兩個平面內的兩條直線間的位置關系是 （

）

（A）異面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能

（2）異面直線a,b滿足a

ìa,b

ìb,a∩b=l,則l與a,b的位置關系一定是（

）(A)l至多與a，b中的一條相交;(B)l至少與a，b中的一條相交;(C)l與a,b都相交;(D)l至少與a，b中的一條平行.DB（3）兩異面直線所成的角的范圍是 （

）（A）（0°,90°）（B）[0°,90°) （C）（0°,90°] （D）[0°,90°]7．判斷下列命題的真假，真的打“√”，假的打“×”

（1）兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行

（

）

（2）平行移動兩條異面直線中的任一條，它們所成的角不變

（

）

（3）四邊相等且四個角也相等的四邊形是正方形

（

）C×√