湖北省黃岡市重點學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第五次階段性測試數(shù)學(xué)試題（含答案）

年秋季湖北省黃岡市重點學(xué)校高二年級數(shù)學(xué)第五次階段性測試一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知i為虛數(shù)單位，則4?3i1+i=(

)A.12+72i B.122.直線l的方向向量為(1,?1)，則該直線的傾斜角為(

)A.π4 B.π3 C.3π43.已知圓C的方程為x2+y2?2x+6y+1=0，點P在圓C上，O是坐標(biāo)原點，則A.3 B.10?3 C.3?4.已知直線l:3x?y+3=0與圓x2+y+aA.3 B.6 C.?3或5 D.3或?95.如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點E為棱PC的中點，

若AE=xAB+yAD+zAP，則x+y+zA.32 B.1 C.526.點P為圓C:x2+y2=9上的一個動點，點M1,1為線段A.x2+y2=1 B.x27.過點2,0引直線l與圓x2+y2=2相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)△AOB面積取最大值時，直線l的斜率為A.±1 B.±3 C.±8.已知A?3,0,B0,3，從點P0,2射出的光線經(jīng)x軸反射到直線AB上，又經(jīng)過直線AB反射到PA.210 B.6 C.26二、多選題（本大題共4小題，共20分。在每小題有多項符合題目要求）9.下列說法正確的有(

)A.若直線y=kx+b經(jīng)過第一、二、四象限，則k,b在第二象限

B.任何一條直線都有傾斜角，都存在斜率

C.方程x+my?2=0m∈R能表示平行y軸的直線

D.10.過點A4,1且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是(

)A.x+y=5 B.x?y=3 C.x?4y=0 D.x+4y=011.已知實數(shù)x，y滿足方程x2+y2A.y?2x的最大值為10?4 B.yx的最小值為1

C.yx的最大值為1 12.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2，點M，N分別在棱AB和BBA.MN⊥A1M B.MN⊥平面D1MC

C.線段BN長度的最大值為1三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知直線l1:x+ay?a=0,l2:ax?2a?314.過兩條直線l1：x+y?2=0與l2：3x?y?4=0的交點，且斜率為?2的直線l的方程為______________.15.已知直線y=k(x+2)與曲線y=1?x2有公共點，則實數(shù)k16.阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比MQMP=λλ>0,λ≠1，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為x2+y2=1，定點Q為x軸上一點，P?1四、解答題（本大題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題12分)如圖，已知△ABC的頂點為A1,?1，C3,0，B1(0,1)是邊AB的中點，AD是BC邊上的高，(1)求高AD所在直線的方程；(2)求AE所在直線的方程．18.(本小題12分)已知直線l:x?y+1=0和圓C:(1)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；若相交，求直線l被圓C截得的弦長；(2)求過點4,?1且與圓C相切的直線方程．19.(本小題12分)如圖，在四棱錐E?ABCD中，EC⊥底面ABCD,AB⊥BC,AB//CD,AB=1,CB=CD=CE=3(1)若F在側(cè)棱DE上，且DF=2FE，證明：AF//平面BCE；(2)求平面ADE與平面BCE所成銳二面角的余弦值20.(本小題12分)湖南省高考目前實行“3+1+2”模式，其中“3”指的是語文、數(shù)學(xué)，外語這3門必選科目，“1”指的是考生需要在物理、歷史這2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門再選科目中選擇2門，已知中南大學(xué)湘雅醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學(xué)、生物至少1門．(1)從所有選科組合中任意選取1個，求該選科組合符合中南大學(xué)湘雅醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率；(2)假設(shè)甲、乙、丙三人每人選擇任意1個選科組合是等可能的，求這三人中有兩人的選科組合符合中南大學(xué)湘雅醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率．21.(本小題12分)已知圓C過點A2,6，B?1,3，且圓心在直線y=x+1(1)求圓C的方程；(2)設(shè)點D在圓上運動，點E3,2，記M為過D，E兩點的弦的中點，求M(3)在(2)的條件下，若直線DE與直線l:y=x?2交于點N，證明：EM?EN恒為定值22.(本小題12分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=12AB=1，點E、M分別在線段AB、PC上，且AEAB=PMPC=λ，其中0<λ<1，連接CE(1)求證：ME//平面PFD；(2)若λ=12時，求二面角(3)若直線PE與平面PBC所成角的正弦值為55時，求λ答案解析1.B

解：4?3i1+i=(4?3i)(1?i)(1+i)(1?i)=1?7i2=12?72i.

故選：B.

2.C

解：由題意知：直線

l

的斜率為

?11=?1

，

∴直線3.B

解：由題意得，x?12+y+32=9，圓心C坐標(biāo)為(1,?3)，半徑為3，圓心C與原點的距離為10，

則|OP|4.D

解：圓x2+(y+a)2=9的圓心為(0,?a)，半徑為3，因為直線l:3x?y+3=0與圓x2+(y+a)2=9相切，所以圓心到直線l的距離d=3，

即|a+3|3+1=3，解得a=?9或3.故答案為：D.

5.A

解：連接AC，因為點E為棱PC6.C

解：設(shè)

Q(x,y)

，則

P(2?x,2?y)

，

點

P

為圓

C:x2+y2=9

上的點，將

P(2?x,2?y)

代入，即

(2?x)7.C

解：因為圓

x2+y2=2

的圓心

O0,0可知

△AOB

面積

S△AOB=當(dāng)且僅當(dāng)

sin∠AOB=1

，即

OA⊥OB

時，等號成立，此時圓心

O

到直線的距離為

d=1

由題意可設(shè)直線的斜率為

k

，則直線方程為

y=k(x?2)

，即

kx?y+2k=0

，由點到直線的距離公式得

d=2k1+k2=1

，解得8.C

解：直線AB的方程為：x+y=3.點P(0,2)關(guān)于x軸的對稱點P1(0,?2)，設(shè)點P1(0,?2)關(guān)于直線AB的對稱點P2(a,b)，則b+2a×(?1)=?1，a2+?2+b2=3，聯(lián)立解得a=5，b=3.

∴9.AC

解：對于A，若直線y=kx+b經(jīng)過第一、二、四象限，則k<0，b>0，所以點(k,b)在第二象限，選項A正確；

對于B，任何一條直線都有傾斜角，但是不一定都存在斜率，如傾斜角為90°時斜率不存在，所以選項B錯誤；

對于C，當(dāng)m=0時，方程x+my?2=0(m∈R)為x=2表示平行y軸的直線，所以選項C正確；

對于D，在[0°,90°)內(nèi)，直線的斜率越大，傾斜角就越大；在(9010.AC

解：當(dāng)過點A(4,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線經(jīng)過原點時，它的斜率為14，方程是y=14x，即x?4y=0.

當(dāng)過點A(4,1)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線不經(jīng)過原點時，設(shè)它的方程是x+y=m，再把點A(4,1)代入，可得4+1=m，即m=5，故方程為11.BD

解：實數(shù)x，y滿足方程x2+y2?4x+2=0，即滿足(x?2)2+y令y?2x=k，即2x?y+k=0，當(dāng)圓和直線相切時，k取得最值，由2求得k=10?4故k的最大值為10?4，最小值為?10?4由于yx表示圓上的點與原點連線的斜率，故當(dāng)直線和圓相切時，yx=m取得最值，設(shè)過原點的切線方程為y=mx，即mx?y=0，由2=|2m?0|m2+1，求得m=±1故選BD.12.AD

解：在正方體ABCD?A1

B1

C1

D1中，以D為原點，以射線DA，DC，

DD1分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,2,0).

設(shè)M(2,y,0)，N(2,2,z)，y，z∈(0,2)，

則D1M=(2,y,?2)，MN=(0,2?y,z)，

因為D1M⊥MN，

所以D1M?MN=y(2?y)?2z=0，

即z=12y(2?y)，

對于A:A1M=(0,y,?2)，

則A1M?MN=y(2?y)?2z=0，

所以A1M⊥MN，

即MN⊥A1M，故A正確;

對于B:CM=(2,y?2,0)，CM?MN=(y?2)?(2?y)=?(2?y)2<0，

即CM與MN不垂直，

從而13.a=0或a=2

解：∵直線x+ay?a=0與直線ax?(2a?3)y?1=0互相垂直

∴1×a+a×[?(2a?3)]=0，解得a=0或a=2

故答案為a=0或a=214.4x+2y?7=0

解：由x+y?2=03x?y?4=0，得x=32y=12，

所以直線l的方程為15.[0,33]

解：由題意得直線y=k(x+2)過定點A?2,0，畫出曲線y=1?x2的圖像，如圖所示，

結(jié)合圖像可知，當(dāng)直線與半圓相切于B點時，斜率最大，根據(jù)OA=2,OB=1,OB⊥OA，可得∠BAO=30°，此時k16.10解：由題意可得圓x2+y2=1是關(guān)于P，Q的阿波羅尼斯圓，且λ=2，則|MQ||MP|=2，

設(shè)點Q的坐標(biāo)為(m,n)，則(x?m)2+(y?n)2(x+12)2+y2=2，

整理得，x2+y2+4+2m3x+2n17.解：(1)因為

B1(0,1)

是邊AB的中點，所以

B因為

kBC?kAD=?1

因此高AD所在直線的方程為：

y+1=43(2)因為AE是

∠BAC

的平分線，所以

|AB||AC|=所以

BE=23BC

，設(shè)

Ex,y

所以AE所在直線的方程為：

y?11?18.解：(1)由圓C:x2+y2?2x+4y?4=0得(x?1)2+(y+2)2=9，

因此圓C的圓心為(1,?2)，半徑r=3.

因為圓心C到直線l的距離d=|1+2+1|(2)若過點

4,?1

的直線斜率不出在，則方程為

x=4

，此時圓心

C(1,?2)

到直線

x=4

的距離為

4?1=3=r

，滿足題意；若過點

4,?1

且與圓

C

相切的直線斜率存在，則設(shè)切線方程為

y+1=k(x?4)

，即

kx?y?4k?1=0

，則圓心到直線

kx?y?4k?1=0

的距離為

?3k+1k2+1=3

，解得

k=?43

，所以切線方程為

綜上，過點

4,?1

且與圓

C

相切的直線方程為

x=4

或

4x+3y?13=0

.19.(1)證明：在棱EC上取一點G，使得CG=2GE.∵DF=2FE，∴FG//CD，且FG=又AB//CD，且AB=1∴AB//FG，且AB=FG，

則四邊形ABGF為平行四邊形，則AF//BG.∵BG?平面BCE，AF?平面BCE，

∴AF//平面BCE.

(2)解：以C為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系C?xyz，如圖所示，則D(3,0,0)，A(1,3,0)，E(0,0,3)，則AD=(2,?3,0)，DE設(shè)平面ADE的法向量為n=(x,y,z)則取x=3，則n易證平面BCE的一個法向量為m∴cos故平面ADE與平面BCE所成銳二面角的余弦值為320.解：(1)用a、b分別表示“選擇物理”，“選擇歷史”，

用c，d，e，f分別表示選擇“選擇化學(xué)”，“選擇生物”，“選擇思想政治”，“選擇地理”，

則所有選科組合的樣本空間Ω={acd,ace,acf,ade,adf,aef,bcd,bce,bef,bde,bdf,bef}，共12種，設(shè)A=“從所有選科組合中任意選取1個，該選科組合符合中南大學(xué)湘雅醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”，

則

A={acd,ace,acf,ade,adf}，共5種，

∴P(A)=512(2)設(shè)甲、乙、丙三人每人的選科組合符合中南大學(xué)湘雅醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的事件分別是M，N，Q，由題意知事件M，N，Q相互獨立，由(1)知

P(M)=P(N)=P(Q)=512記Z=“甲、乙、丙三人中有兩人的選科組合符合中南大學(xué)湘雅醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”，則Z=MNQ∪MP(Z)=P(MNQ)+P(MNQ)+P(MNQ)

=(1)解：∵圓心在y=x+1上，∴可設(shè)圓心C(a,a+1)，∵|AC|=|BC|，∴(a?2)2+(a+1?6)2=(a+1)2+(a+1?3)2，解得：a=2，∴C(2,3)，r=|AC|=3，

故圓C的方程為：(x?2)2+(y?3)2=9.

(2)解：法1：由圓的幾何性質(zhì)得CM⊥ED即CM⊥EM，所以CM?EM=0，

設(shè)M(x,y)，則CM=(x?2,y?3),EM=(x?3,y?2)，

所以(x?2)(x?3)+(y?3)(y?2)=0，即M的軌跡方程是(x?52)2+(y?52)2=12.

法2：設(shè)過E(3,2)且斜率為k的直線為y=k(x?3)+2，與圓C的方程聯(lián)立，

消去y得(1+k2)x2?(6k2+2k+4)x+(9k2+6k?4)=0，

因為E在圓C的內(nèi)部，故此二次方程必有兩不等實根x1，x