2021年江蘇省南京師大數(shù)學之友高考數(shù)學二模試卷

2021年江蘇省南京師大數(shù)學之友高考數(shù)學二模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合A={x［（x-1）2<4,xeR},B={-2,-1,0,1,2},貝!!71門8=（

）

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}C.{0,1}D.{112}

2.（5分）若復數(shù)zLZ2在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于y軸對稱，且％=27,則復數(shù)幺=（

Z2

）

3434

A.-1B.1C.D.---/

5555

3.（5分）已知命題p:VxwR,x+|x|..O,則力為（）

A.3x0eR,JC0+|X（）|?0B.GR,x0+1x0|<0

C.Vxe/?,x+1x|?0D.VxwR,x+1x|<0

4.（5分）水晶是一種石英結(jié)晶體礦物，因其硬度、色澤、光學性質(zhì)、稀缺性等，常被人們

制作成飾品.如圖所示，現(xiàn)有棱長為2cm的正方體水晶一塊，將其裁去八個相同的四面體,

打磨成某飾品，則該飾品的表面積為（）（單位：cm?）

A.12+4石B.16+46C.12+3gD.16+3A/3

5.（5分）某城市軌道交通7號線即將試運行，市軌道交通集團面向廣大市民開展“參觀體

驗，征求意見”活動，市民可以通過市地鐵47搶票，小陳搶到三張體驗票，準備從小王，

小張，小劉，小李中隨機選擇兩位與自己一起去參加體驗活動，則小王和小李至多一人被選

中的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6336

6.（5分）直角形A8C中，ZACB=-,AC=8C=2,點P是斜邊A8上一點，且肝=2%，

2

則守0+彳而=（）

A?-4B.-2C.2D.4

22

7.（5分）已知雙曲線C:［一斗=1（。>0,。>0）的左焦點為尸，A、B為雙曲線的左、右

aZr

頂點，漸近線上的一點P滿足|OP|=|O尸|,且NAP3=g,則雙曲線的離心率為（）

A.C73RD?-"---Lc?-向----LJ*---百--

233

8.（5分）已知尸￡（0,萬），a豐B,若e。-eJcosa-2cos/7,則下列結(jié)論一定成立的

是（）

A.sincr<sinpB.coscif<cos/7C.sina>sin尸D.coscr>cos/?

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分,在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.（5分）已知々>0,b>0,且〃+從=1,則（）

A.a+b,,母B.-<2a~b<2

2

C?log?+log2y/b..—D?a?一人->—1

10.（5分）引入平面向量之間的一種新運算“（8）”如下：對任意的向量戊=（x,y］）,n=（x2,

%），規(guī)定用③"=中2-X%，則對于任意的向量M，b,c,下列說法正確的有（）

A.a?b=b?aB.（Aa）?b=2（a?b）

C.a-（b?c）=｛a?b）-cD.\a\'\b\...\a?h\

11.（5分）某港口一天24〃內(nèi)潮水的高度S（單位：⑼隨時間，（單位：h,鼠劭24）的變

化近似滿足關(guān)系式S（r）=3sin哈r+汾則下列說法正確的有（）

A.SQ）在［0,2］上的平均變化率為二*/力

4

B.相鄰兩次潮水高度最高的時間間距為24/?

C.當/=6時，潮水的高度會達到一天中最低

D.18時潮水起落的速度為2機/〃

8

12.（5分）已知數(shù)列｛%｝滿足：=1+4，4=1，設b〃=lna<neN"）,數(shù)列電｝的前

〃項和為S“，則下列選項正確的是（）（妨2名0.693,/M3?1.099）

A.數(shù)列單調(diào)遞增，數(shù)列｛%,｝單調(diào)遞減

B-d+%”/〃3

C.S2（）20>693

D.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）（丁+1）.（2》+9）6的展開式中/項的系數(shù)是（用數(shù)字作答）.

22

14.（5分）已知橢圓C：號，^l（a〉b>0）的左頂點為A,右焦點為凡點P在直線x

=a上，直線PA交橢圓于點Q,若而=2而，AQ-QP=0）則橢圓c的離心率

為.

15.（5分）托勒密是古希臘天文學家、地理學家、數(shù)學家，托勒密定理就是由其名字命名，

該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與

另一組對邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條

對角線的乘積.從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密

定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形的四個頂點在同一個圓的圓周上，

AC,8。是其兩條對角線，BD=4,且AAC。為正三角形，則AABC面積的最大值為,

四邊形ABC。的面積為一.（注:圓內(nèi)接凸四邊形對角互補）

16.（5分）已知函數(shù)/（x）=x?+2ox,g（x）=4a2lnx+h,設兩曲線y=/（x）,y=g（x）有公

共點P,且在尸點處的切線相同，當。e（0,+oo）時，實數(shù)匕的最大值是.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知MBC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足

cos2B-cos2C-sin:A=-sinAsin8.

（1）求角C;

（2）若c=7,（從下列問題中任選一個作答，若選擇多個條件分別解答，則按選擇

的第一個解答計分）.

①AABC面積為66，求AABC的周長.

②AABC的周長為21,求AABC的面積.

18.（12分）設非常數(shù)數(shù)列｛斯｝滿足@n+2="電\”6N，其中常數(shù)a，0均為非

零實數(shù)，且a+BWO.

（1）證明：數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列的充要條件是a+20=O；

⑵已知a=L8斗ai=l,a?求證：數(shù)列｛曷+1一時1|｝（nEN*,n>2）

與數(shù)列b,｝（n€N*）中沒有相同數(shù)值的項.

19.（12分）年前某市質(zhì)監(jiān)部門根據(jù)質(zhì)量管理考核指標對本地的500家食品生產(chǎn)企業(yè)進行考

核，然后通過隨機抽樣抽取其中的50家，統(tǒng)計其考核成績（單位：分），并制成如圖頻率分

布直方圖.

（1）求這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)X（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為

代表）及中位數(shù)。（精確到0.01）

（2）該市質(zhì)監(jiān)部門打算舉辦食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量交流會，并從這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中隨機抽

取4家考核成績不低于88分的企業(yè)發(fā)言，記抽到的企業(yè)中考核成績在［92,100J的企業(yè)數(shù)

為X,求X的分布列與數(shù)學期望

（3）若該市食品生產(chǎn)企業(yè)的考核成績X服從正態(tài)分布其中“近似為50家食品生

產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)元/近似為樣本方差，S2,經(jīng)計算得S2=27.68,利用該正態(tài)分布,

估計該市500家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績高于90.06分的有多少家？（結(jié)果保留整

數(shù)）.附參考數(shù)據(jù)與公式：J27.68才5.26,X-貝|jp（〃一。<右〃+b）*0.6827,

PR-2a<X,,2"+。卜0.9545.PQ/-3b<X,,//+3b）?0.9973.

20.(12分)如圖，已知斜三棱柱ABC-AgG，ZBC4=9O°,AC=BC=2,AC的中點

為。.且4￡>_L面ABC,%D=6.

(1)求證：A8_LAG；

(2)在直線CG上找一點"，使得直線AB與平面M4,與所成角的正弦值為‘叵?

21.(12分)已知函7數(shù)的導函數(shù):⑴.

(1)若函數(shù)g(x)=/(x)-/'(x)存在極值，求，〃的取值范圍；

(2)設函數(shù)〃(x)=r(e*)+/'(/nx)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，對任意若關(guān)于x的

不等式h(x)..m2+公在(O.+oo)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合.

22.(12分)在平面直角坐標系xOy內(nèi)，已知拋物線y=)的焦點為F,P為平面直角坐標

系內(nèi)的點，若拋物線y=/上存在點A,使得AFLAP,則稱A為P的一個“垂足點”.

(1)若P點有兩個“垂足點”為M(1,1)和N(2,4),求P點的坐標；

(2)是否存在P點，使得P點有且僅有三個不同的“垂足點”，且P點也是雙曲線

式=i上的點？若存在，求出尸點的坐標；若不存在，說明理由.

82

2021年江蘇省南京師大數(shù)學之友高考數(shù)學二模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合A={x[(x-1)2<4,XGR],B=[-2,-1,0,1,2),則408=(

)

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}C.{0,1}D.{112}

【解答】解：因為A={x[(x-iy<4,xe/?}={x|-l<x<3},B={-2,-1,0,1,2),

則4。8={0,1,2).

故選：B.

2.(5分)若復數(shù)z「z,在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于y軸對稱，且4=2-i,則復數(shù)五=(

Z2

)

3434

A.-1B.1C.D?---/

5555

【解答】解：??,4=2-，，且馬，Z2在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于y軸對稱,

z2=一2—i，

則2=-i)(2+i)=/+￡.

Z]—2—i(—2—z)(—2+i)55

故選：C.

3.(5分)已知命題p:X/xeR,x+|x|..O,則力為()

A.*G7??xo+|xo|?OB.3XQ￡R,x0+1x0|<0

C.ExeR,x+|x|?0D.VXGT?,x+|x|<0

【解答】解：命題「為全稱命題，則命題尸的否定為祇,wR,與+|%|<0,

故選：B.

4.(5分)水晶是一種石英結(jié)晶體礦物，因其硬度、色澤、光學性質(zhì)、稀缺性等，常被人們

制作成飾品.如圖所示，現(xiàn)有棱長為2cm的正方體水晶一塊，將其裁去八個相同的四面體,

打磨成某飾品，則該飾品的表面積為()(單位：c")

A.12+40B.16+473C.12+36D.16+36

【解答】解：由圖可知，截去的是正方體八個角的三棱錐，留下一個邊長為亞的等邊三角

形截面，

其余6個面為邊長為叵的正方形，

所以該飾品的表面積為：6x(V2)2+8x^-x(V2)2=12+4^,

4

故選：A.

5.(5分)某城市軌道交通7號線即將試運行，市軌道交通集團面向廣大市民開展“參觀體

驗，征求意見”活動，市民可以通過市地鐵4根搶票，小陳搶到三張體驗票，準備從小王，

小張，小劉，小李中隨機選擇兩位與自己一起去參加體驗活動，則小王和小李至多一人被選

中的概率為()

A.-B.-C.-D.-

6336

【解答】解：小王和小李至多1人被抽中的對立事件為小王和小李都被抽中，

設小張和小王至多1人被抽中為事件A,小張和小王都被抽中事件8,則3包含1個基本

事件，

?.?基本事件總數(shù)為盤=6,

p(A)=l-p(8)=l-，="

66

故選：D.

6.(5分)直角形ABC中，ZACB=%,AC=BC=2,點P是斜邊45上一點，且3P=224,

2

則屈0+存麗=()

A.-4B.-2C.2D.4

【解答】解：如圖，直角三角形中,

ZACB=~,AC=BC=2,點尸是斜邊AB上一點，且族=2A4,

2

____________i______]______2__,i___

CP=CA+AP=CA+-AB=CA+-(CB-CA)=-CA+-CB,

3333

CP^+CPCB=(^CA+^CB)(CA+CB)

=-CA+-CB+CA-CB=-x2i+-x22+0=4,

3333

故選：D.

7.（5分）已知雙曲線C：4-4=l（a>0,6>0）的左焦點為F,A、3為雙曲線的左、右

a'b'

頂點，漸近線上的一點P滿足|OPROF|,且乙4PB=2,則雙曲線的離心率為（）

3

A.石B.且C.叵D.巫

233

【解答】解：由題意可得，4一〃,0）,伏。,0）,|OPROF|=c,

[hni-cin—0

設加,〃）在漸近線m-紗=。上，且尸在第一象限內(nèi),由病+心,2,解得…，〃=b,

即P(a,b),

所以IPA|=+b2,\PB\=h,\AB\=2a,

在\PAB中，由余弦定理可得

,“ccI^AI2+|PB|2-IAB|24a2+b2+b2-4a2b1

'-21PAi|尸B|-2府壽包一歷壽一2,

可得4/=3從，即2=氈，

a3

故選：C.

8.（5分）已知2,月￡（0,4），a豐f3,若e"=cosa-2cos〃，則下列結(jié)論一定成立的

是()

A.sina<sinB.cosa<cos/7C.sina>sin/7D.cosa>cos/?

【解答】解：構(gòu)造函數(shù)/(x)=/-cosx,xe(o,^-),則r(x)=e*+sinx>0,

.??函數(shù)/(x)在(0㈤上單調(diào)遞增，

又4=cosa-2cosP,即e。一coscr=e"-cosp-cosp,亦即f(a)=f(/3)-cosp，

①當a,/e(0,9時，cos￡>0,貝(I/(夕)>/(a),

p>a\

②當a,(工，萬)時,cos/?<0,則/(P)v/(a)，

:.a>p\

又函數(shù)y=sin尤在(0卷)單調(diào)遞增，在￡/)單調(diào)遞減，

故由①②可知，選項A一定成立.

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分,在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.(5分)己知a>0,b>0,且/+從=1,則()

A.a+b,,垃B.-<2a~h<2

2

C?log?+log2\fb..—D.a?一匕~>—1

【解答】解：根據(jù)a>0,>0,且/+從=],可知Ovavl,0v號vL設。=sina"=cosa，

其中ae(0,—).

2

A.a+b=sina+cosa=gsin(a+馬，*:ae(0,-)>a+—e(—,—)?

42444

.?.當a+2=工時，夜sin(a+工)的最大值為&,.?.0+〃,,也,故A正確；

424

B.a-b=sina-cosa=y/2sin(a-—)>ae(0,—)>a--e(--,—),

42444

y/2.sin(fz)e(—1,1)>a—b&(—1,1)>一<2"”<2,故3正確；

42

C.log,\[a+log,\[b=log,\[ab=log,Vsinacosa=log,

vae(0,^),:.2ae(0,7r),J；sin2a￡(O,Jg],

log2J—sin2a,,——>即log2\[ci+log2—-?故C錯誤；

D.a2-b1=sin2a-cos2a=-cos2a，〈aw(0,—),/.2a￡(0,〃)，

2

.,.-cos2?G(-1,1),/.a2-b2>-l,故OiE確.

故選：ABD.

10.(5分)引入平面向量之間的一種新運算“區(qū)”如下：對任意的向量/力=(x,x),n=(x2f

y2)?規(guī)定玩⑥萬=%X2-X%，則對于任意的向量彳，b,c,下列說法正確的有()

A.a?b—b?aB.(Aa)?b=?b)

C.a-(b?c)=(d?b)-cD.\a\-\b\..\d?b\

【解答】解：設M=(x，y),b=(x,,y2),3=(&,%),

對于A,a?b=x}x2-y}y2>b?a=x2x1-y2y},所以d⑥萬=力(8)萬，故A正確；

對于3,Aa=(2x(,2y)),則(Aa)?h=Xxxx2-/tyly2，

2(50/?)=/l(x1x2-y1y2)=/lx1x2-^)\y2，

所以(4彷(8)萬=〃萬區(qū)5),故B正確;

對于C,因為b0c=x2x3-y2y3,則d-(b?c)=(x2^-y2y3)a=(x]x2x3-x1y2y3,

,馬七一X%%)，

(a?b)-c=(XjX2-y1y2)c=(x1x2x3-x^yxy2,為不占一H為%)，故1?(很G)3與他區(qū)5)e不

一定相等，故C錯誤；

對于。，若|利?出1=Jx；+寸.J考+y；,\a?h\=\x]x2-y}y2\,

(IaI,出1)2=(x；++父)=?？?y；y；+x2y2+x2y2f

(16?51)2=小;+y：y}-2x{x2yxy2,

222

(\a\-\b\)-(\a?b|)=x：￡+x1yf+2x1x2y[y2=(x1y2+x2yl)..O,

所以(|初?|6|)2..(|ciG)5|)2,即團|.出|…5(8)5|,故D正確.

故選：ABD.

11.(5分)某港口一天24/?內(nèi)潮水的高度S(單位：⑼隨時間f(單位：h,O24)的變

化近似滿足關(guān)系式S(f)=3sin*r+汾則下列說法正確的有()

A.SQ)在［0,2］上的平均變化率為當〃//7

4

B.相鄰兩次潮水高度最高的時間間距為24〃

C.當f=6時，潮水的高度會達到一天中最低

D.18時潮水起落的速度為四機/〃

8

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,S⑺在［0,2］上的平均變化率a=S(2)—S(O)=一3,人錯誤，

M2-04

對于8,5(r)=3sin(-z+—),其最小正周期為生=24,則相鄰兩次潮水高度最高的時間

126%

12

間距為24〃，5正確，

對于C,當f=6時，S(6)=3sin(—X6+—)=-^,不是S⑺的最小值，C錯誤，

1262

-T-八c,、c?/萬5zr.-+4-曰///_...7C5兀、,,TC54、式/45乃、

對于D，S(r)=3sin(一/+—),其導數(shù)S?)=3(-/+—)cos(一t+—)=—cos(一r+—),

1261261264126

則有9(18)=至，。正確，

故選：BD.

12.(5分)已知數(shù)列｛”“｝滿足：an+lan=l+a?,q=l,設b“=lna”(neN*),數(shù)列｛〃,｝的前

〃項和為S“，則下列選項正確的是()(/〃2ao.693,/?3~1.099)

A.數(shù)列｛%-｝單調(diào)遞增，數(shù)列｛%,｝單調(diào)遞減

B.bn+bn+l?lri3

C.S2020>693

D?，2"-l>邑

【解答】解：因為q=l,a,-4=1+%，所以*=4出即*=攵山，

??-4+1

令g(x)=2±l,貝ij/(x)=_1—>0,所以g(x)單調(diào)遞增，

x+1(x+l)2

所以出+?二5>0,所以｛6｝,｛%1｝都單調(diào)，

an-an-2

又因為4<%，所以｛%"7｝單調(diào)遞增，｛%,｝單調(diào)遞減，故A正確;

欲證b?+2+|=lnan+lnall+]=ln(ana,l+l)?ln3,即an-an+l?3.即a“+L,3，即an?2，

由〃用=4色，上式可化為"丑,,2,即%..1,

4%

顯然〃=2時，%=1,當幾.3時，="'仁？+1>1,故61..1成立,

an-2

所以原不等式成立，故區(qū)正確，

因為見e[l,2],所以a,,a“+]=a”(l+L)=a“+ie[2,3],

a“

所以2+d+蘆[/〃2,/n3J,52020..1010/n2>693,故C正確;

因為〈鋁，若*〈冬’則限=2-號1d]75+1

2+12

2

因為—>若3等，則*°e>2.1芯+T

2

<a1

由數(shù)學歸納法，a2n_x<2n則％為〃-1〈打〃，故。不正確.

（。選項另解：由4=0,由=/〃2,可知4<%，故。不正確）.

故選：ABC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）（M+l）.（2x+；）6的展開式中十項的系數(shù)是300（用數(shù)字作答）.

【解答】解：因為（2x+J=）<>的展開式的通項公式為:Tr+I=賴2外~.(二)，=22.”門

展開式中可得V項：

當6-1廠=0即廠=4時，此時Y系數(shù)為：1x26-4&=60.

當6-|廠=3即廠=2時，此時d的系數(shù)為：1x26-2*=240；

.,8項的系數(shù)為：60+240=300.

故答案為：300.

22

14.（5分）已知橢圓C：彳+^=1仁>6>0）的左頂點為4右焦點為F，點尸在直線x

a巳y

=。上，直線PA交橢圓于點。，若麗=2而，AQ-QP=O1則橢圓c的離心率為

-3+^

【解答】解：由題意可知A（-4,0）,F（c,0）,設P（a,t）,Q（尤，y）,

a

x+a=2(a-x)

則由AQ=2QP>可得，即Q(包，生),

y-0=2(t-y)2t3

y^T

(1)2號/

因為Q在橢圓上，所以=p即a=2接,

b2

又因為AQ*QF=0，所以

2222

z4a2t\/a2t、4ac4a4t12ac-4a-8b

、3333，3999

所以\2ac-4a2-8廬=0,又2c2+3ac-3a2=0,所以2e2+3e-3=0,

15.（5分）托勒密是古希臘天文學家、地理學家、數(shù)學家，托勒密定理就是由其名字命名,

該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與

另一組對邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條

對角線的乘積.從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密

定理實質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形的四個頂點在同一個圓的圓周上,

AC、比?是其兩條對角線，BD=4,且A4C。為正三角形，則A4BC面積的最大值為

小四邊形的面積為一.（注:圓內(nèi)接凸四邊形對角互補）

【解答】解：設等邊三角形AC。的邊長為x,

由圓內(nèi)接凸四邊形對角互補，可得義45。=180。-60。=120。,

設AB=m,BC=n,可得，nr+nx=4x,即〃z+〃=4,

而48c=G，

當且僅當相=〃=2時，上式取得等號,

則A4BC面積的最大值為x/3,

由圓的性質(zhì)可得ZABD=ZACD=60°,Z.CBD=ACAD=60°,

又四邊形ABCD的面積為

I1/o

SMRD+S\Re=—?A8?3￡)?sin60°+—?CB?BD?sin60°=——x4("?+〃)=4>/3,

(y/\au224、，▼

故答案為：下>,4^3.

16.（5分）已知函數(shù)/（1）=工2+2?，g（x）=4/lnx+b,設兩曲線y=/（x）,y=g（x）有公

共點P,且在P點處的切線相同，當a￡（0,M）時，實數(shù)人的最大值是_2五_.

【解答】解：設P（%,為）,

4a2

廣（x）=2x+2。，gf（x）=——.

x

由題意知，/（%）=ga）），/'（/）=8'（為），

2

即x0+2ax()=4a2/%)+b,①

2x0+2。=竺",②

%

解②得或/=-2。（舍）,

代入①得：h=3a2-4a2Ina,。w(0,+oo),

br=6a—Salna-4。=2a(1—4lna),

I2

當4￡(0,〃)時，〃>0,當〃￡(e3+8)時，ZZ<0.

I2

/.實數(shù)/?的最大值是人(>4)=3\/?_4G/〃e4=2&.

故答案為：2\[e.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且滿足

cos2B-cos2C-sin2A=-sinAsinB.

(I)求角C;

(2)若c=7,(從下列問題中任選一個作答，若選擇多個條件分別解答，則按選擇

的第一個解答計分).

①A4BC面積為66，求AABC的周長.

②AA8C的周長為21,求AA8C的面積.

【解答】解：(1)由cos2B-cos2C-sin2A=-sinAsinB得：

(1-sin2^)-(1-sin2C)-sin2A=-sinAsinB,

即sin2C-sin2B-sin2A=-sinAsinB.

由正弦定理得：c2-^-^=-ab,即cosC=￡*L=L

2ab2

VCG(0,^)?C=—.

3

(2)①由三角形面積公式得：—6z/?sinC=—absin—=^-ab=65/3,解得：ab=24.

2234

由(1)知：a2+Z?2=?+^=49+24=73,

a+b=J(a+b)2=\!a24-2ab+b2=448+73=11,

.?.AABC的周長為a+h+c=ll+7=18.

②?.?a+b+c=21，

a+b=21—7=14,

由(1)得c?+a?+/-a匕=(a+b)2-3ab,

:.3ab=(a+b)2-c2=\42-I2=\41,

解得：必=49,

AABC的面積S=—rzftsinC=—x49sin—=.

2234

aa工，+Pa*

18.(12分)設非常數(shù)數(shù)列｛而｝滿足&什2=~~普;B\〃€N*,其中常數(shù)a,0均為非

零實數(shù)，且a+0WO.

(1)證明：數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列的充要條件是a+邛=0；

(2)已知a=l,0=1，■，求證：數(shù)列｛|an+「a_J｝(nCN*,n>2)

44"nrnni

與數(shù)列卜卷｝(n￡N*)中沒有相同數(shù)值的項.

aa+Ba

【解答】證明：(1)已知數(shù)列｛斯｝,".=一時！°工

an+2a+B

—9Ba+Ba

①充分性：若a=-2p,則有ac=~咤」n,-a，得?！?2-研產(chǎn)斯+i

“n+2-乙“n+ldn

-an,所以｛斯｝為等差數(shù)列.

aa,i+Pa

②必要性：若｛念｝為非常數(shù)等差數(shù)列，可令即=加+從�).代入an+2=―9[p

得k(n+2)+b=a[k(n+q：y(kn+b).

化簡得2k=a；pk，即a+2B=0.

因此，數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列的充要條件是a+2p=0.

(2)由已知得an+2-an+l=5[

又因為a2-ai=|■六。，可知數(shù)列Ln+i-aJ(n€N*)為等比數(shù)列，

irln_1

^^an+1-an=(a2-a1)(-y)=|-(-y)(n€N*>

由指于任意"22

Ian+l

所以，數(shù)列Uan+「an_i|｝(nEN*,n>2)中項均小于等于暫

而對于任意的時，號>1+》|，所以數(shù)列h卷｝(正N*)中項均大于暫

因此，數(shù)列｛|an+「an_i|｝(nWN*,n》2)與數(shù)列｛n4｝(nEN*)中沒有相同數(shù)值

的項.

19.（12分）年前某市質(zhì)監(jiān)部門根據(jù)質(zhì)量管理考核指標對本地的500家食品生產(chǎn)企業(yè)進行考

核，然后通過隨機抽樣抽取其中的50家，統(tǒng)計其考核成績（單位：分），并制成如圖頻率分

布直方圖.

（1）求這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)X（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為

代表）及中位數(shù)”（精確到0.01）

（2）該市質(zhì)監(jiān)部門打算舉辦食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量交流會，并從這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中隨機抽

取4家考核成績不低于88分的企業(yè)發(fā)言，記抽到的企業(yè)中考核成績在［92,100］的企業(yè)數(shù)

為X,求X的分布列與數(shù)學期望

（3）若該市食品生產(chǎn)企業(yè)的考核成績X服從正態(tài)分布其中“近似為50家食品生

產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)兀/近似為樣本方差，經(jīng)計算得S?=27.68,利用該正態(tài)分布,

估計該市500家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績高于90.06分的有多少家？（結(jié)果保留整

數(shù)）.附參考數(shù)據(jù)與公式：數(shù)7.68=5.26,乂一代（〃,<72）貝1」尸（〃一。<咒,〃+。）=0.6827,

一2<r<X,,2〃+。）a0.9545.-3<r<X,,〃+3cr）*0.9973.

【解答】解：（1）這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)為：

x=74x0.04+78x0.12+82x0.28+86x0.36+90x0.10+94x0.06+98x0.（M=84.80（分），

由頻率分布直方圖得ae［84,88］內(nèi)，

0.04+0.12+0.28+0.09x（“一84）=0.5,

解得中位數(shù)〃。84.67（分）.

（2）這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中考核成績不低于88分的企業(yè)有50x（0.1+0.06+0.04）=10家,

其中考核成績在［92,100］內(nèi)的企業(yè)有50x（0.06+0.04）=5家，

的可能取值為0,1,2,3,4,

C1

P(X=O)=4=—

c：,42

3

P(X=1)=皆c'c5

do21

CC10

P(X=2)=

囁211

以C=5

P(X=3)=

C：o21

3=4）唔嗦

???X的分布列為:

X01234

P151051

4221212142

E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—+4x—=2.

4221212121

(3)由題意得X~N(84.80,27.68),

;.〃+cra84.80+27.68=90.06,

.?.P(X>〃+cr)=；-答2=0.1587,.-.500x0.1587?79(家),

.?.估計該市500家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績高于90.06分的有79家.

20.（12分）如圖，已知斜三棱柱A8C-A4G，ZBC4=90°,AC=BC=2,AC的中點

為D.且AD_L面AD=也.

（1）求證：AB_LAC〕；

（2）在直線CG上找一點“，使得直線AB與平面M44所成角的正弦值為亞.

ADC

0

【解答】證明：(1)作QEJ_AC交4?于點E,

以￡>為原點，分別以DE,DC,D4,所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系,

A(0,-1,0),C(0,1,0),8(2,1,0),4(0,0,揚，G(0,2,我

所以，邛=(2,1,-石)，菊=(0,3,6),

4萬?猬=0+3-3=0,

所以ABJ_AG；

解：(2)^CA?'=2Cq=(0,2,>^/1),隔=而=(2,2,0),

輛=而+由=(0,41,&-6)，

設面M4181的一個法向量為萬=(x,y,z),

x=-y

2元+2y=0

(A+l)y,

(/l+l)y+(&-6)z=0,Z="^?3

取x=l,得萬=(1,-1,/+1廠),

V3A-V3

因為卒=(2,1,-6),

若直線AB與平面MA4所成角的正弦值為主叵.

則|cos〈萬，“〉|=^^,即3715

20

解得2

3

所以當CM=gcC時，直線AB與平面M4,用所成角的正弦值為嚕.

21.(12分)己知函數(shù)-皿2+濟x(meR)的導函數(shù)/'(x).

(1)若函數(shù)g(x)=f(x)-尸(x)存在極值,求旭的取值范圍；

(2)設函數(shù)/z(x)=/'(/)+f'Sm(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，對任意若關(guān)于x的

不等式h(x)..療+A?在(o,^o)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合.

【解答】解：(1)f\x)=2x2-2mx+m2,

22

.二g(x)=—x3-nvc+trrx-2x2+2mx-trr=~^+2)x2+(trr+2m)x-nr,

/.gf(x)=2x2—+2)x+(m2+2m),

???函數(shù)g(x)存在極值，

令g'(x)=0,得2x2-2(/n+2)x+(m2+2m)=0,

則△=4(加+2)2-8(m2+2/n)>0,即(m+2)(6-2)<0,

/.-2<zn<2,

???根的取值范圍為：(-2,2)；

(2)h(x)=2e2x-2mex+nr+2ltvx—2mbix+nr,

???關(guān)于x的不等式/z(x)..蘇+爐在(0,+oo)上恒成立，

2e2x-2mex+m2+21nlx-2mlwc+ni2..m2+K在(0,+oo)上恒成立，

即k2,,2e2x-2mex+nr+2lrrx—2mlnx對任意meR,任意x￡(0,+oo)恒成立，

當工=1,機=2時，k\2e2-4e+4<9,:.k<3,

又?.,攵wN*,

「.Z=l或2,

令F(tn)=nr-(2ex+2lnx)m+2e2x+2brx

=(〃7-ex-lux)2-e2x一加\_2exlnx+2e2x4-2lrrx

=("?-ex-Inx)2+e2x+ln2x-2exlnx

..e2x+Irrx-2exlnx=(ex-Inx)2,

/.A:2,,(ex-Inx)1,

k”ex