八年級數(shù)學(xué)上冊第14章勾股定理 教案華東師大版

第14章勾股定理

14.1勾股定理

1.直角三角形三邊的關(guān)系

孽L教與目標

【基本目標】

i.體驗勾股定理的探索.

2.會用勾股定理求直角三角形的邊長.

【教學(xué)重點】

用勾股定理求直角三角形的邊長.

【教學(xué)難點】

用拼圖法證明勾股定理.

產(chǎn)教與亙旌

一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課

目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，

如地球上人類的語言、音樂、各類圖形等.我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定

理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種語言的.這個事實可以說明勾

股定理的重大意義.尤其是在兩千年前，是非常了不起的成就.

讓學(xué)生畫一個直角邊為3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的長.

以上這個事實是我國古代3000多年前有一個叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說：“把一根直尺折

成直角，兩段連結(jié)得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五這句話意思是說一個直角

三角形較短直角邊（勾）的長是3,長的直角邊（股）的長是4,那么斜邊（弦）的長是5.

再畫一個兩直角邊為5和12的直角△ABC,用刻度尺量出AB的長.

你是否發(fā)現(xiàn)3?+4?與5?的關(guān)系,5?+12?和

132的關(guān)系，即32+不=52,5?+12?=3,那么就

有勾2+股2=弦2.

對于任意的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎？

二、師生互動，探究新知

1.勾股定理的證明.

【活動】

方法一：

如圖，讓學(xué)生剪4個全等的直角三角形，拼成如圖的圖形，利用面積證明.

5正方形=c2D

S正方形=2ab+(a-b)2

從而c2=2ab+(a-b)',

即c2=a2+b2.

方法二：已知：在△ABC中，Z

乙C=9。。，乙A、乙B、乙C的對邊a、b、c.

求證：a2+b2=c2.

【分析】左右兩邊的正方形邊長相等，則兩個正方形的面積相等.

左邊S=4x-ab+c。,右邊S=(a+6)。

左邊和右邊的面積相等，

即4xgab+c，=(a+b)化簡可得c?=a?+b2.

【教學(xué)說明】以上兩圖出示給學(xué)生，分兩組交流、證明，完成后由學(xué)生代表展示.教師

歸納板書：勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

2.求直角三角形的邊長.

【活動】出示習(xí)題:

(1)在RtZ\ABC中,ZC=90°,AC=5,BC=12,則AB=

(2)在RtAABC中,ZC=90°,AB=25,AC=20,則BC=

(3)在RtZXABC中,ZC=90°,它的兩邊是6和8,則它的第三邊長是

【答案】(1)13(2)15(3)10或2J7

【教學(xué)說明】先由學(xué)生獨立完成，再由學(xué)生展示，注意(3)要分類，按8為直角邊或

斜邊.最后教師板書：在RtAABC中，ZC=90°,

2

c-V?2+b~=\lc2-b2,6=Vc2-a2.

三、隨堂練習(xí)，鞏固新知

完成練習(xí)冊中本課時對應(yīng)的課后作業(yè)部分，教師巡視，及時點評.

四、典例精析，拓展新知

例如圖，ZXABC中，AB=13,BC=14,AC=15,求BC邊上的高.|

解：設(shè)BD=x,則DC=14-x,

由勾股定理得：AB2-BD2=AC2-CD2,/

即132-X2=152-(14-X)2,------g---------

解得x=5,

.,.AD=132-52=12.

【教學(xué)說明】引導(dǎo)勾股定理可由直角三角形中兩邊求出第三邊，也可以為建立三邊之間

聯(lián)系提供依據(jù).設(shè)BD=x,可否建立方程關(guān)系.

五、運用新知，深化理解

完成教材P112習(xí)題第1、2題.

【教學(xué)說明】第2題中若學(xué)生有困難可引導(dǎo)如何構(gòu)建直角三角形.

六、師生互動，課堂小結(jié)

這節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么？有何收獲？有何困惑？與同伴交流，在學(xué)生發(fā)言的基礎(chǔ)上，教師

歸納總結(jié).

,'課后作業(yè)

完成練習(xí)冊中本課時對應(yīng)的課后作業(yè)部分.

了教學(xué)反思

新課程標準對勾股定理這部分的教學(xué)要求與舊大綱有所不同，新課程標準對勾股定理這

部分的教學(xué)要求是：體驗勾股定理的探索過程，會用勾股定理解決簡單實際的問題.本節(jié)課

教師從引導(dǎo)構(gòu)造的圖形入手，用面積法證明勾股定理難度不大，但面積法在教材中首次用到，

基于此教師在教學(xué)過程中應(yīng)給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生體會成功的快樂.

2.直角三角形的判定

了敦與目標

3

【基本目標】

1.理解勾股定理的逆定理的證明方法.

2.能用勾股定理的逆定理判別一個三角形是直角三角形.

【教學(xué)重點】

用勾股定理的逆定理判別一個三角形是直角三角形.

【教學(xué)難點】

勾股定理逆定理的證明.

；,教學(xué)亙士

一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課

【實驗觀察】

實驗方法：用一根打上13個等距離結(jié)的細繩子，讓同學(xué)操作，用釘子釘在第一個結(jié)上，

再釘在第4個結(jié)上，再釘在第8個結(jié)上，最后將第十三個結(jié)與第一個結(jié)釘在一起，然后用角

尺量出最大角的度數(shù).（90°）,可以發(fā)現(xiàn)這個三角形是直角三角形.

【顯示投影片1】

二、師生互動，探究新知

【教師活動】古埃及人曾經(jīng)用過這種方法來得到直角，這個三角形三邊長分別為多少？

（3,4,5）.這三邊滿足了怎樣的條件呢？（32+42=5b,是不是只有三邊長為3,4,5的三角形

才能構(gòu)成直角三角形呢？請同學(xué)們動手畫一畫，如果三角形的三邊分別為2.5cm,6cm,6.5cm,

滿足關(guān)系式“2.52+62=6.5"',畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為5cm,12cm,13cm

或8cm,15cm,17cm呢？

【學(xué)生活動】動手畫圖，體驗發(fā)現(xiàn)，得到猜想.

【教師活動】操作投影儀，提出探究的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，然后再提問個別學(xué)生.

【學(xué)生活動】拿出事先準備好的紙片、剪刀，實驗、領(lǐng)會、感悟：（1）它們完全重合；

（2）理由是在aA，B'C中，A'Bz=BZC'2+K'C'2=a2+b2,因為a.+bZ^,因此，

A'B'=c，從AABC和AA'B'C'中，BC=a=B'C,AC=b=A'C',AB=c=A,B',推出AABC

^△A'B'C',所以NC=NC'=90°,可見△ABC是直角三角形.

【教師歸納】如果一個三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系式那么這個三角形是

直角三角形，且邊c所對的角是直角.

【教學(xué)說明】采用實驗、觀察、比較的教學(xué)方法，突破難點.

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出示習(xí)題：(投影顯示)

1.以下各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是()

A.5,6,7B.10,8,4

C.7,25,24D.9,17,15

2.以下各組正數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是()

A.a-1,2a,a+1B.a-1,2Ja,a+1

C.a-1,J2a,a+1D.a-1,立a,a+1

【答案】l.C;2.B,(a-l)2+(2向=(a

+1廣

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生用勾股定理的逆定理判別直角三角形的方法.兩小邊的平方和等

于第三邊的平方.

三、隨堂練習(xí)，鞏固新知

完成練習(xí)冊中本課時對應(yīng)的課后作業(yè)部分，教師巡視，及時點評.

四、典例精析，拓展新知

例某港口位于東西方向的海岸線上，“遠航號”和“海天號”輪船同時離開港口，各自

沿固定的方向航行，“遠航號”每小時行16海里，“海天號”每小時行12海里，它們離開港

口1.5小時后相距30海里，如果知道“遠航號”沿東北方向航行，能知道“海天號”沿哪

個方向航行嗎？

解：由題意畫出示意圖，

易知PQ=16x]=24,=12x]=

RQ=30,

242+182=301

PQ2+PR2=RQ2,

乙RPQ=90。,

由“遠航號”沿東北方向，知道“海天號”沿西北方向航行.

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【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生畫出正確的示意圖，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想.

五、運用新知，深化理解

若AABC的三邊a,b,c滿足條件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,試判斷4ABC的形狀.

【教學(xué)說明】根據(jù)所給條件，只有從關(guān)于a,b,c的等式入手，找出a,b,c三邊之間的關(guān)

系,應(yīng)用分解因式可得(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0,a=5,b=12,c=13,V^+bW,/.△

ABC是直角三角形.

六、師生互動，課堂小結(jié)

這節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么？有何收獲？有何困惑？與同伴交流，在學(xué)生交流發(fā)言的基礎(chǔ)上，

教師歸納總結(jié).

；'課后作業(yè)

完成練習(xí)冊中本課時對應(yīng)的課后作業(yè)部分.

教學(xué)反思

這節(jié)課在勾股定理的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生學(xué)會如何從三邊的關(guān)系來判定一個三角形是直角三

角形，即“勾股定理的逆定理”.在證明它時，學(xué)生可能有些困難，因此課堂教學(xué)時先動手

操作觀察，進而得出用勾股定理證明A'B'=AB.

教案中設(shè)計題型前呼后應(yīng)，使知識有序推進，有助于學(xué)生理解與掌握；通過合作、交流、

反思、感悟的過程，激發(fā)學(xué)生探究的興趣，并從中獲得成功的體驗，真正體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的

主人.

3.反證法

,敦與目標

【基本目標】

1.理解反證法.

2.會用反證法證明較簡單的題.

【教學(xué)重點】

用反證法證明幾何命題.

【教學(xué)難點】

反證法中滲透“正難則反”的思想.

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教學(xué)國旌

一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課

出示多媒體，展示《路旁苦李》的故事的動畫場景，引入反證法的課題.

二、師生互動，探究新知

活動

1反證法的步驟.

教師給出問題：如果你當(dāng)時也在場，你會怎么辦？五戎是怎么判斷李子是苦的？你認為

他的判斷正確嗎？

學(xué)生討論交流，選代表發(fā)言.

如果李子不是苦的，路旁的人很多，早就沒有這么多李子.

教師出示，若a'l/Wc?(aWbWc)，則AABC不是直角三角形，你能按照剛才五戎的方

法推理嗎？

學(xué)生活動，代表展示.若NC是直角，貝ija'+bgz,而這是不可能的，即4ABC

不是直角三角形.

【教師歸納】先假設(shè)結(jié)論的反面是正確的；然后經(jīng)過演繹推理，推出與基本事實、已證

定理、定義或已知條件相矛盾；從而說明假設(shè)不成立，進而得出原命題正確.即：一、反設(shè)；

二、推理得矛盾；三、假設(shè)不成立，原命題正確.

活動2用反證法證明.

教材P116例5.

【教師活動】原命題結(jié)論的反向是什么？按照假設(shè)可以得到矛盾嗎？

【學(xué)生活動】獨立完成，交流成果，發(fā)言展示.

教材P116例6.

【教師活動】ZiABC至少有一個內(nèi)角小于或等于60°的反向是什么？按照假設(shè)可以推出

矛盾嗎？

【學(xué)生活動】獨立完成，交流成果，發(fā)言展示.

【教學(xué)說明】在幾何命題中涉及到有“至少”“至多”“唯一”時，直接不易證明，可考

慮反證法.

三、隨堂練習(xí)，鞏固新知

完成練習(xí)冊中本課時對應(yīng)的課后作業(yè)部分,教師巡視并及時點評，主要是證明格式是否

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規(guī)范.

四、典例精析，拓展新知

例求證：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平

行.

【教師活動】（1）你首選的是哪一種證明方法？（2）如果你選擇反證法，先怎樣假設(shè)？

結(jié)果和什么產(chǎn)生矛盾？（3）能不用反證法證明嗎？你準備怎樣證明？

要求按問題解決的四個步驟進行：理解題意（畫出圖形，寫出已知求證）；制訂計劃（選

擇證明方法，找出證明思路）；執(zhí)行計劃（寫出證明過程）.

【學(xué)生活動】討論交流后獨立完成.

五、運用新知，深化理解.

完成教材PU7練習(xí)第1、2題.

六、師生互動，課堂小結(jié)

這節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么？有何收獲？有何困惑？與同伴交流，在學(xué)生交流發(fā)言的基礎(chǔ)上，

教師總結(jié).

1課后作業(yè)

完成練習(xí)冊中本課時對應(yīng)的課后作業(yè)部分.

堂教學(xué)反思

反證法是一種重要的證題方法，也是初中數(shù)學(xué)的難點，如何突破這一難點，并為學(xué)生更

好地理解和掌握是需要教師精心設(shè)計的.在教學(xué)時應(yīng)注意三個思維障礙：1.思維方向的轉(zhuǎn)換,

不能總用直接法；2.證明步驟存在障礙；3.歸謬起點推證存在障礙.為使學(xué)生更好地理解并

掌握反證法，應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生克服上述思維上的障礙，并通過有關(guān)題目訓(xùn)練，使學(xué)生掌握反

證法.

教師在教學(xué)中應(yīng)強調(diào)當(dāng)結(jié)論的反面不止一種情況時，應(yīng)窮舉：“歸謬”這一步應(yīng)包含“歸

導(dǎo)”與“揭謬”兩個層次.

14.2勾股定理的應(yīng)用

第1課時勾股定理的應(yīng)用（1）

敦與目標

8

【基本目標】

1.會用勾股定理解決較綜合的問題.

2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想.

【教學(xué)重點】

勾股定理的綜合應(yīng)用.

【教學(xué)難點】

勾股定理的綜合應(yīng)用.

；,教學(xué)亙士

一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課

如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,請在給定網(wǎng)格中按下列

要求畫出圖形：

（1）從點A出發(fā)畫一條線段AB,使它的另一個端點B在格點（即小正方形的頂點）

上，且長度為22；

（2）畫出所有的以（1）中的AB為邊的等腰三角形，使另一個頂點在格點上，且另

兩邊的長度都是無理數(shù).

二、師生互動，探究新知

如圖，滑竿在機械槽內(nèi)運動，/ACB為直角，已知滑竿AB長2.5

米，頂點A在AC上運動，量的滑竿下端B距C點的距離為L5米，當(dāng)Ec\

端點B向右移動0.5米時，求滑竿頂端A下滑多少米？

CBD

【分析】滑竿在下滑中它的長度是不變的，先在直角三角形ACB中利用勾股定理求出

AC的長，然后再在直角三角形ECD中利用勾股定理求出CE的長，即可求出AE的長.

【教師點撥】勾股定理在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，他的前提是直角三角形，在求解

時常運用題目中的條件構(gòu)造直角三角形，而構(gòu)造直角三角形方式有兩種：一是根據(jù)已知條件

中的直角構(gòu)造，二是作垂線構(gòu)造.

三、隨堂練習(xí)，鞏固新知

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,'課后作業(yè)

完成練習(xí)冊中本課時對應(yīng)的課后作業(yè)部分.

:,教學(xué)反思

四、典例精析，拓展新知

—?160k—

例如圖是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的|@

尺寸(單位：mm),計算兩圓孔中心A和B的距離.150工二、力心

【分析】顯然△ABC是直角三角形，根據(jù)示意圖可求出AC和BC"180"『

的長，從而根據(jù)勾股定理可以求出AB的長.

解：由示意圖可知

AC=150-60=90(mm),BC=180-60=120(mm)

AB=V902+120?=150(mm)

答：兩圓孔中心A和B的距離為150mm.

五、運用新知，深化理解.

完成教材P123習(xí)題14.2中的第5題.

六、師生互動，課堂小結(jié)

這節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么？有何收獲？有何困惑？與同伴交流，在學(xué)生交流發(fā)言的基礎(chǔ)上，

教師歸納總結(jié).

,'課后作業(yè)

完成練習(xí)冊中本課時對應(yīng)的課后作業(yè)部分.

教學(xué)反思

本課時所學(xué)內(nèi)容是用勾股定理解決簡單的實際問題(或數(shù)學(xué)問題).在實際生活中，很

多問題可以用勾股定理解決，而解決這類問題都需要將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，也就是通過構(gòu)造

直角三角形來完成.教學(xué)時應(yīng)注意如何構(gòu)造直角三角形，找出已知兩個量，求出第三個量，

或者利用勾股定理建立兒個量之間的關(guān)系，解決問題時注意讓學(xué)生動手，畫出圖形，從而建

立直角三角形模型.本節(jié)課中由勾股定理解決立體圖形上的最短路徑問題，比較抽象，注意

化“曲”為“平”，讓學(xué)生動手操作，真正建立立體圖形與平面圖形之間的聯(lián)系.

第2課時勾股定理的應(yīng)用(2)

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教字目標

【基本目標】

1.會用勾股定理解決簡單的實際問題.

2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想.

【教學(xué)重點】

勾股定理的應(yīng)用.

【教學(xué)難點】

實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化.

產(chǎn),教與亙睚

一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課

從實際問題中抽象出幾何圖形，讓學(xué)生畫好圖后標圖；在實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過

程中，注意勾股定理的使用條件，教師要向?qū)W生交代清楚，解釋明白：優(yōu)化訓(xùn)練，在不同條

件、不同環(huán)境中反復(fù)運用定理，使學(xué)生達到熟練使用，靈活運用的程度；讓學(xué)生深入探討，

積極參與到課堂中，發(fā)揮學(xué)生的積極性和主動性.

二、師生互動，探究新知

例1如右圖，一圓柱體的底面周長為20cm,高AB為4cm,BC是上

底面的直徑.一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C,試求

出爬行的最短路程.

【分析】螞蟻實際上是在圓柱的半個側(cè)面內(nèi)爬行，如果將這半個側(cè)

面展開（如圖），得到矩形ABCD,根據(jù)“兩點之間，線段最短”，所求的最短路程就是側(cè)面

展開圖矩形對角線AC之長.（精確到0.01cm）

解：如下圖，在RtaABC中，！^=底面周長的一半=10cm,

AC=Ab2+Bc2=42+102=116^10.77(cm)(勾股定理).

答：最短路程約為10.77cm.

三、隨堂練習(xí)，鞏固新知

完成練習(xí)冊中本課時對應(yīng)的課后作業(yè)部分.

11

.’教學(xué)反思

四、典例精析，拓展新知

例2一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形行充

狀如右圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門？JID

【分析】由于廠門寬度足夠，所以卡車能否通過，只要看當(dāng)卡車位于廠H

門正中間時其高度是否小于CH.如圖所示，點D在離廠門中線0.8米處，且L也

CD1AB,與地面交于H.

解：在RtaOCD中，由勾股定理得

CD=4OC--ODr=\/P-0.8=0.6米,

CH=O.6+2.3=2.9（米）＞2.5（米）.

因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門.

五、運用新知，深化理解.

完成教材P123習(xí)題14.2中的第5題.

六、師生互動，課堂小結(jié)

這節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么？有何收獲？有何困惑？與同伴交流，在學(xué)生交流發(fā)言的基礎(chǔ)上，

教師歸納總結(jié).

產(chǎn)課后作業(yè)

完成練習(xí)冊中本課時對應(yīng)的課后作業(yè)部分.

戶教學(xué)反思

本課時所學(xué)內(nèi)容是用勾股定理解決簡單的實際問題（或數(shù)學(xué)問題）.在實際生活中，很

多問題可以用勾股定理解決，而解決這類問題都需要將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，也就是通過構(gòu)造

直角三角形來完成.教學(xué)時應(yīng)注意如何構(gòu)造直角三角形，找出已知兩個量，求出第三個量，

或者利用勾股定理建立幾個量之間的關(guān)系，解決問題時注意讓學(xué)生動手，畫出圖形，從而建

立直角三角形模型.本節(jié)課中由勾股定理解決立體圖形上的最短路徑問題，比較抽象，注意

化“曲”為“平”，讓學(xué)生動手操作，真正建立立體圖形與平面圖形之間的聯(lián)系.

本章復(fù)習(xí)

12

教字目標

【基本目標】

進一步理解勾股定理及其逆定理，能用它們解決問題.

【教學(xué)重點】

用勾股定理及逆定理解決問題.

【教學(xué)難點】

用勾股定理的逆命題證明兒何問題.

一、知識框圖，整體建構(gòu)

二、知識梳理，快樂晉級

本章通過問題的形式來梳理知識，以加深對基礎(chǔ)知識的理解，對基本方法的把握.

問題1:勾股定理與逆定理的內(nèi)容是什么？

問題2：勾股定理與逆定理的證明方法是怎樣的，它們各體現(xiàn)什么樣的數(shù)學(xué)思想？你是

怎樣理解的？

問題3：如何判定一個三角形是直角三角形？

問題4：反證法的步驟是什么？

【教學(xué)說明】教師提出的問題以小組競賽的形式回答，教師根據(jù)回答的情況，做必要的

講解與說明.

三、典例精析，升華舊知

例1(1)下列命題中正確的是()

A.1.5,2,2.5是勾股數(shù)

B.至少有一個角大于60°的反面是至多有一個角大于60°

C.邊長為3a,4a,5a的三角形是直角三角形

D.直角三角形的兩邊是3和4,它的面積是6

(2)如圖，每個小正方形的邊長為1,點A、B、C是小正方形的頂點，則NABC=.

13

(3)如圖，長方形ABCD中，AB=15cm,點E在AD上，且AE=9cm,連結(jié)EC將長方形沿BE

翻折，點A恰好落在EC上的點A'處，則A'C=cm.

【答案】(1)C

(2)45°提示：連結(jié)AC,由勾股定理的逆定理證明NACB=90°,AB=BC=5即可.

(3)8由條件知ABA'C^ACDE,.\A/C=DE,在RSCDE中，設(shè)A'C=x,VA,E=AE,

ACE=9+x,VCE2=CD2+DE2,:.(9+x)2=x2+152,解得x=8(cm).

例2如圖圓柱形的玻璃杯，高為12cm,底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的C處有一

滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在外壁離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最

短距離是多少厘米？

解：畫出全半側(cè)面的展開圖，如圖，則EF=9cm,AE=4cm,CM=4cm,取點A關(guān)于直線EF的

對稱點A',貝DA'E=4cm,連結(jié)A'C交EF于P,則PA+PC最短，作GCLEN于G,在Rtz^A'

GC中，AP+PC=>/92+122=15(cm).

【教學(xué)說明】本例是“將軍飲馬”的數(shù)學(xué)模型與用勾股定理求立體圖形表面兩點間最短

距離的有機融合.注意以處理這兩個數(shù)學(xué)模型的方法講解.

例3在RtZ\ABC中，已知兩直角邊a與b的和為pcm,斜邊長為qcm,求這個三角形的

面積.

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解:?：a+b=p,c=q,

222

a+2ab+b=(a+b)=P，

a+/=/(勾股定理).

2ab-p'~q

5RtA.4Bc=3ab=+(//_/)(cm2).

【教學(xué)說明】因為Rt^ABC的面積等于Lab,所以只要求出ab就可以完成本道題.分

2

析已知條件可知a+b=p,c=q,再聯(lián)想到勾股定理a'b'c',則這個問題就可以化歸到一個代數(shù)

問題上解決，由a+b=p,a2+b：'=q:求出ab.

例4如圖所示，有一個正方形水池，每邊長4米，池中央長了一棵蘆葦，露出水面1

米，把蘆葦?shù)捻敹艘桨哆?，蘆葦頂和岸邊水面剛好相齊，你能算出水池的深度嗎？

A

B

【教學(xué)說明】對這類問題求解，關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪x擇未知數(shù)，然后找到一個直角三角形，

建立起它們之間的聯(lián)系，列出方程，最終求解方程即得所求，設(shè)水池深為x米，BC=x米，

AC=(x+l)米，因為池邊長為4米，所以BA'=2米，在Rt^A'BC中，根