新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納講義專(zhuān)題15概率與分布列 15.1概率（解析版）

專(zhuān)題十五《概率與分布列》講義15.1概率知識(shí)梳理.概率1．事件的相關(guān)概念2．頻數(shù)、頻率和概率(1)頻數(shù)、頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱(chēng)n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱(chēng)事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱(chēng)為事件A的概率．3．事件的關(guān)系與運(yùn)算名稱(chēng)條件結(jié)論符號(hào)表示包含關(guān)系若A發(fā)生，則B一定發(fā)生事件B包含事件A(事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?B事件A與事件B相等A＝B并(和)事件A發(fā)生或B發(fā)生事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交(積)事件A發(fā)生且B發(fā)生事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件A∩B為不可能事件事件A與事件B互斥A∩B＝?對(duì)立事件A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件事件A與事件B互為對(duì)立事件A∩B＝?，P(A∪B)＝14．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率為eq\a\vs4\al(1).(3)不可能事件的概率為eq\a\vs4\al(0).(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)＝eq\a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．5．古典概型(1)特點(diǎn)：①有限性：在一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè)，即只有有限個(gè)不同的基本事件．②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是均等的．(2)計(jì)算公式：P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù))題型一.隨機(jī)事件——互斥、對(duì)立事件1．袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球 B．至少有一個(gè)白球；紅、黑球各一個(gè) C．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球 D．至少有一個(gè)白球；都是白球【解答】解：袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，在A中，至少有一個(gè)白球和至少有一個(gè)紅球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A不成立；在B中，至少有一個(gè)白球和紅、黑球各一個(gè)兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件，故B成立；在C中，恰有一個(gè)白球和一個(gè)白球一個(gè)黑球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故C不成立；在D中，至少有一個(gè)白球和都是白球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D不成立．故選：B．2．在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是310，那么概率是7A．至多有一張移動(dòng)卡 B．恰有一張移動(dòng)卡 C．都不是移動(dòng)卡 D．至少有一張移動(dòng)卡【解答】解：∵在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是310∴概率是710的事件是“2張全是移動(dòng)卡”∴概率是710的事件是“至多有一張移動(dòng)卡”故選：A．3．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是12，乙獲勝的概率是1A．乙不輸?shù)母怕适?3 B．甲獲勝的概率是1C．甲不輸?shù)母怕适?2 D．乙輸?shù)母怕适恰窘獯稹拷猓杭滓覂扇讼缕灞荣?，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則P（A）=12，P（B）則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=1則甲勝的概率是1﹣P（A+B）＝1?5則甲不輸即為甲獲勝或和棋的概率為16乙輸?shù)母怕适蔷褪羌撰@勝的概率16故選：D．4．（2012·湖南）某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如表所示．一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件以上顧客數(shù)（人）x3025y10結(jié)算時(shí)間（分鐘/人11.522.53已知這100位顧客中的一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%．（Ⅰ）確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值；（Ⅱ）求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率．（將頻率視為概率）【解答】解：（Ⅰ）由已知得25+y+10＝55，x+30＝45，所以x＝15，y＝20；顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值為1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10100（Ⅱ）記A：一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘；A1：該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘；A2：該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1.5分鐘；A3：該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘；將頻率視為概率可得P（A1）15100=0.15；P（A2）=30100=0.3；P∴P（A）＝P（A1）+P（A2）+P（A3）＝0.15+0.3+0.25＝0.7∴一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率為0.7．5．（2017·全國(guó)3）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【解答】解：（1）由題意知X的可能取值為200，300，500，P（X＝200）=2+16P（X＝300）=36P（X＝500）=25+7+4∴X的分布列為：X200300500P0.20.40.4（2）由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，∴只需考慮200≤n≤500，當(dāng)300≤n≤500時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y＝6n﹣4n＝2n；若最高氣溫位于區(qū)間[20，25），則Y＝6×300+2（n﹣300）﹣4n＝1200﹣2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200+2（n﹣200）﹣4n＝800﹣2n，∴EY＝2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2＝640﹣0.4n，當(dāng)200≤n≤300時(shí)，若最高氣溫不低于20，則Y＝6n﹣4n＝2n，若最高氣溫低于20，則Y＝6×200+2（n﹣200）﹣4n＝800﹣2n，∴EY＝2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2＝160+1.2n．∴n＝300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元．題型二.古典概型1．（2019·全國(guó)2）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)．若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為（）A．23 B．35 C．25【解答】解：法一：由題意，可知：根據(jù)組合的概念，可知：從這5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有情況數(shù)為C5恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的所有情況數(shù)為C3∴p=C法二：設(shè)其中做過(guò)測(cè)試的3只兔子為a，b，c，剩余的2只為A，B，則從這5只中任取3只的所有取法有{a，b，c}，{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，A，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，A，B}，{c，A，B}10種，其中恰好有兩只做過(guò)測(cè)試的取法有{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{b，c，A}，{b，c，B}6種，故恰有兩只做過(guò)測(cè)試的概率為610故選：B．2．某班有男生30人，女生20人，按分層抽樣方法從班級(jí)中選出5人負(fù)責(zé)校園開(kāi)放日的接待工作．現(xiàn)從這5人中隨機(jī)選取2人，至少有1名男生的概率是（）A．110 B．310 C．710【解答】解：男生30人，女生20人，按分層抽樣方法從班級(jí)中選出5人負(fù)責(zé)校園開(kāi)放日的接待工作，則男生為5×30從這5人中隨機(jī)選取2人，共有C52＝10種，其中全時(shí)女生的有1種，故至少有1名男生的概率是1?1故選：D．3．口袋里裝有紅球、白球、黑球各1個(gè)，這3個(gè)球除顏色外完全相同，有放回的連續(xù)抽取2次，每次從中任意地取出1個(gè)球，則兩次取出的球顏色不同的概率是（）A．29 B．13 C．23【解答】解：∵口袋里裝有紅球、白球、黑球各1個(gè)，這3個(gè)球除顏色外完全相同，有放回的連續(xù)抽取2次，每次從中任意地取出1個(gè)球，∴基本事件總數(shù)n=C能兩次取出的球顏色不同包含的基本事件個(gè)數(shù)m=C∴能兩次取出的球顏色不同的概率p=m故選：C．4．在五個(gè)數(shù)1，2，3，4，5中，若隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字，則剩下兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率（）A．310 B．320 C．15【解答】解：在五個(gè)數(shù)1，2，3，4，5中，隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字，基本事件總數(shù)n=C剩下兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)m=C則剩下兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率p=m故選：A．5．（2019·全國(guó)1）我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是（）A．516 B．1132 C．2132【解答】解：在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，基本事件總數(shù)n＝26＝64，該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻包含的基本個(gè)數(shù)m=C則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率p=m故選：A．6．樹(shù)立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅(jiān)持人與自然和諧共生”的理念越來(lái)越深入人心，已形成了全民自覺(jué)參與，造福百姓的良性循環(huán)．據(jù)此，某網(wǎng)站退出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，環(huán)境治理和保護(hù)問(wèn)題仍是百姓最為關(guān)心的熱點(diǎn)，參與調(diào)查者中關(guān)注此問(wèn)題的約占80%．現(xiàn)從參與關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65），得到的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求出a的值；（2）求這200人年齡的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）；（3）現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求第2組恰好抽到2人的概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得：10×（0.010+0.015+a+0.030+0.010）＝1，解得a＝0.035．（2）平均數(shù)為20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1＝41.5歲．設(shè)中位數(shù)為x，則10×0.010+10×0.015+（x﹣35）×0.035＝0.5，∴x≈42.1歲．（3）第1，2組的人數(shù)分別為20人，30人，從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，則第1，2組抽取的人數(shù)分別為2人，3人，分別記為a1，a2，b1，b2，b3．設(shè)從5人中隨機(jī)抽取3人，為：（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，b3），（a1，b1，b2），（a1，b1，b3），（a1，b2，b3），（a2，b1，b2），（a2，b1，b3），（a2，b2，b3），（b1，b2，b3）共10個(gè)基本事件，其中第2組恰好抽到2人包含：（a1，b1，b2），（a1，b1，b3），（a1，b2，b3），（a2，b1，b2），（a2，b1，b3），（a2，b2，b3），共6個(gè)基本事件，從而第2組中抽到2人的概率p=6課后作業(yè).概率1．甲、乙、丙三位學(xué)生用計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，每天上課后獨(dú)立完成6道自我檢測(cè)題，甲及格的概率為45，乙及格的概率為35，丙及格的概率為7A．320 B．42135 C．47【解答】解：僅甲及格的概率為45×2僅丙及格的概率為15故三人各答一次，則三人中只有一人及格的概率為24250故選：C．2．某校投籃比賽規(guī)則如下：選手若能連續(xù)命中兩次，即停止投籃，晉級(jí)下一輪．假設(shè)某選手每次命中率都是0.6，且每次投籃結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好投籃4次晉級(jí)下一輪的概率為（）A．216625 B．108625 C．36625【解答】解：根據(jù)題意得，該選手第二次不中，第三次和第四次必須投中，∴該選手恰好投籃4次晉級(jí)下一輪的概率為：1×0.4×0.6×0.6=18故選：D．3．甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加“《論語(yǔ)》知識(shí)大賽”，決出第1名到第5名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢(xún)問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)“雖然你的成績(jī)比乙好，但是你倆都沒(méi)得到第一名”；對(duì)乙說(shuō)“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”．從上述回答分析，丙是第一名的概率是（）A．15 B．13 C．14【解答】解：∵甲和乙都不可能是第一名，∴第一名只可能是丙、丁或戊，又考慮到所有的限制條件對(duì)丙、丁都沒(méi)有影響，∴這三個(gè)人獲得第一名是等概率事件，∴丙是第一名的概率是13故選：B．4．我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（單位：噸），一位居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)，為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求直方圖中a的值；（2）設(shè)該市有50萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）若該市政府希望使80%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值，并說(shuō)明理由．（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位）【解答】解：（1）由頻率分布直方圖知，月均用水量在[0，0.5）中的頻率為0.08×0.5＝0.04，同理在[0.5，1），[1，1.5），[1.5，2），[2，2.5），[2.5，3），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5]中的頻率分別為0.08，0.5×a，0.20，0.26，0.5×a，0.06，0.04，0.02；由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02＝1，解得a＝0.30；…（4分）（2）由（1）知，100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02＝0.12；由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)全市50萬(wàn)居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為50萬(wàn)×0.12＝6（萬(wàn)）；…（8分）（3）因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15＝0.88＞0.80，而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26＝0.73＜0.80，所以2.5≤x＜3；由0.3×（x﹣2.5）＝0.80﹣0.73，解得x≈2.733；所以估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.733噸時(shí)，80%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)．…（12分）5．工廠質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上每半個(gè)小時(shí)抽取一件產(chǎn)品并對(duì)其某個(gè)質(zhì)量指標(biāo)Y進(jìn)行檢測(cè)，一共抽取了48件產(chǎn)品，并得到如下統(tǒng)計(jì)表．該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在一年內(nèi)所需的維護(hù)次數(shù)與指標(biāo)Y有關(guān)，具體見(jiàn)表．質(zhì)量指標(biāo)Y[9.4，9.8）[9.8，10.2]（10.2，10.6]頻數(shù)82416一年內(nèi)所需維護(hù)次數(shù)201（1）以每個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值作為每組指標(biāo)的代表，用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該廠產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)Y的平均值（保留兩位小數(shù)）；（2）用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取6件產(chǎn)品，再?gòu)?件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，求這2件產(chǎn)品的指標(biāo)Y都在[9.8，10.2]內(nèi)的概率；（3）已知該廠產(chǎn)品的維護(hù)費(fèi)用為300元/次．工廠現(xiàn)推出一項(xiàng)服務(wù)：若消費(fèi)者在購(gòu)買(mǎi)該廠產(chǎn)品時(shí)每件多加100元，該產(chǎn)品即可一年內(nèi)免費(fèi)維護(hù)一次．將每件產(chǎn)品的購(gòu)買(mǎi)支出和一年的維護(hù)支出之和稱(chēng)為消費(fèi)費(fèi)用．假設(shè)這48件產(chǎn)品每件都購(gòu)買(mǎi)該服務(wù)，或者每件都不購(gòu)買(mǎi)該服務(wù)，就這兩種情況分別計(jì)算每件產(chǎn)品的平均消費(fèi)費(fèi)用，并以此為決策依據(jù)，判斷消費(fèi)者在購(gòu)買(mǎi)每件產(chǎn)品時(shí)是否值得購(gòu)買(mǎi)這項(xiàng)維護(hù)服務(wù)？【解答】解：（1）指標(biāo)Y的平均值為：9.6×1（2）由分層抽樣法知，先抽取的件產(chǎn)品中，指標(biāo)Y在[9.8，10.2]內(nèi)的有3件，記為A1，A2，A3，指標(biāo)Y在（10.2，10.6]內(nèi)的有2件，記為B1，B2，指標(biāo)Y在[9.4，9.8）內(nèi)的有1件，記為C，從6件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，共有基本事件15個(gè)，分別為：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C），（B1，B2），（B1，C），（B2，C），其中，指標(biāo)Y都在[9.8，10.2]內(nèi)的概率為P=3（3）不妨設(shè)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元，假設(shè)這48件樣品每件都不購(gòu)買(mǎi)該服務(wù)，則購(gòu)買(mǎi)支出為48x元，其中有16件產(chǎn)品一年內(nèi)的維護(hù)費(fèi)用為300元/件，有8件產(chǎn)品一年內(nèi)的維護(hù)費(fèi)用為600元/件，此時(shí)平均每件產(chǎn)品的消費(fèi)費(fèi)用為η=148（48x+16×300+8×600）＝假設(shè)為這48件產(chǎn)品每件產(chǎn)品都購(gòu)買(mǎi)該項(xiàng)服務(wù)，則購(gòu)買(mǎi)支出為48（x+100）元，一年內(nèi)只有8件產(chǎn)品要花費(fèi)維護(hù)，需支出8×300＝2400元，平均每件產(chǎn)品的消費(fèi)費(fèi)用：ξ=148×[48（x+100）+8×∴該服務(wù)值得購(gòu)買(mǎi)．6．為了響應(yīng)教育部頒布的《關(guān)于推進(jìn)中小學(xué)生研學(xué)旅行的意見(jiàn)》，某校計(jì)劃開(kāi)設(shè)八門(mén)研學(xué)旅行課程，并對(duì)全校學(xué)生的選課意