13.3等腰三角形（重難點突破）原卷版

13.3等腰三角形（重難點）【知識點一、等腰三角形的性質(zhì)】（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形．其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊，∠A是頂角，∠B、∠C是底角．（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）．特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°．等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等．是證明角相等的一個重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．【知識點二、等腰三角形的判定】等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）．【知識點三、等邊三角形的性質(zhì)】等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形．由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60°．考點1：利用等腰三角形求角例1．如果等腰三角形的一個角為70°，則它的底角度數(shù)為（

）A．40° B．55°或70° C．40°或70° D．55°【變式訓(xùn)練1-1】．等腰三角形的頂角是50°，則這個三角形的底角的大小是（

）A．50° B．65°或50° C．65° D．80°【變式訓(xùn)練1-2】．若等腰三角形底角為72°，則頂角為（

）A．36° B．54° C．72° D．108°【變式訓(xùn)練1-3】．已知△ABC中，AB=AC，若∠B=55°，則∠A的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．70° D．75°考點2：利用等腰三角形求周長例2．△ABC是等腰三角形，AB=5,AC=7，則△ABC的周長為（

）A．12 B．12或17 C．14或19 D．17或19【變式訓(xùn)練2-1】．設(shè)等腰三角形的一邊長為5，另一邊長為10，則其周長為（）A．15 B．20 C．25 D．20或25【變式訓(xùn)練2-2】．等腰三角形的兩條邊長分別為2和4，則這個等腰三角形的周長為（

）A．8或10 B．8 C．10 D．11【變式訓(xùn)練2-3】．等腰三角形的兩邊長分別是4和8，則它的周長是（

）A．16 B．20 C．16或20 D．18考點3：數(shù)等腰三角形個數(shù)例3．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，點D在AC的垂直平分線DF上，AE平分∠BAD，則圖中等腰三角形的個數(shù)是()A．3 B．4 C．5 D．6【變式訓(xùn)練3-1】．如圖，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，則圖中一共有（）個等腰三角形．A．3 B．4 C．5 D．6【變式訓(xùn)練3-2】．已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BE是∠ABC的平分線，DE∥BC，則圖中等腰三角形一共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式訓(xùn)練3-3】．如圖，若∠BAC=108°，∠DAC=72°，∠B=36°，則圖中包含多少個等腰三角形？（

）A．1 B．2 C．3 D．4考點4：含30度直角三角形例4．如圖，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，點P為射線OC上一點，過點P作PD∥OA交OB于點D，點E為OA上一動點，連接PE，若PD=6，則線段PE長的最小值為

【變式訓(xùn)練4-1】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，D，E是AB邊上的兩個動點，滿足AD=BE，連接CD、CE，求CD+CE的最小值

【變式訓(xùn)練4-2】．如圖，在△ABC中，已知∠BCA=90°，∠ABC=30°，AC=6．A，B在直線l上．現(xiàn)將△ABC在直線l上進(jìn)行平移，當(dāng)△A'B'C【變式訓(xùn)練4-3】．如圖，在△ABC中，∠B=30°，點D是BC的中點，DE⊥BC交AB于點E，點O在DE上，OA=OC，OD=1，OE=2.5，則BE=，AE=．

考點5：三線合一的應(yīng)用例5．如圖，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，點E是線段BC延長線上一點，連接AE，點C在AE的垂直平分線上，若DE=8cm，則△ABC的周長是

【變式訓(xùn)練5-1】．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△BDM的周長的最小值為．【變式訓(xùn)練5-2】．如圖，已知△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線，如果△ABD的周長為12，△ABC的周長為16，那么AD的長是．

【變式訓(xùn)練5-3】．如圖，在等腰△ABC中，AC=AB，AD⊥BC，DE∥AB．若∠C=72°，則∠ADE的度數(shù)為

考點6：尺規(guī)作圖例6．尺規(guī)作圖如圖，已知線段c和∠α，求作：等腰△ABC，使其底角等于∠α，底邊長等于2c.（不寫作法保留作圖）

【變式訓(xùn)練6-1】．已知：∠ABC，射線BC上一點D（如圖所示）．求作：等腰三角形PBD，使線段BD為等腰三角形PBD的底邊，點P在∠ABC的內(nèi)部，且點P到∠ABC兩邊的距離相等，（要求：請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）

【變式訓(xùn)練6-2】．如圖1，在△ABC中，∠A=36°,AB=AC．用尺規(guī)作圖，在線段AC上作點D，使得AD=BD（不寫作法，保留作圖痕跡）．(1)如圖2，小明的作法是：以點B為圓心，BC為半徑作弧，交AC于點D，連接BD．請你幫助小明說明這樣作圖的理由；(2)請用另一種作法完成作圖．【變式訓(xùn)練6-3】．已知線段a和b．(1)用直尺和圓規(guī)作等腰△ABC，使得AB=AC，BC=a，BC邊上的高AD=b（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)用直尺和圓規(guī)作等腰△ABC，使得AB=AC=b，BC邊上的高AD=a（保留作圖痕跡，不寫作法）．考點7：等邊三角形的判定與性質(zhì)例7．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC分別與AD，AC交于點E，F(xiàn)

(1)求證：△AEF是等邊三角形；(2)若EF=2，求CF的長．【變式訓(xùn)練7-1】．如圖，在等邊△ABC中，D為AC上一點，E為AB延長線上一點，連接DE交BC于點F，且CD=BE，過點D作DM∥AB交BC于點

(1)求證：△CDM是等邊三角形；(2)求證：DF=EF．【變式訓(xùn)練7-2】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=5，點D在CB的延長線上，點M在∠ABD的平分線上，連接DM，AM，AD，且DM=AM

(1)求AB的