專題1.5二元一次方程組精講精練（9大核心考點深度導練例題9道變式45道）-2022-2023學年七年級數(shù)學下學期復習備考高分秘籍【蘇科版】（解析版）

2022-2023學年七年級數(shù)學下學期復習備考高分秘籍【蘇科版】專題1.5二元一次方程組精講精練（9大核心考點深度導練，9道例題+45道變式）【知識梳理】二元一次方程：（1）二元一次方程的定義

含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程（2）二元一次方程需滿足三個條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個未知數(shù)．③所有未知項的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個條件的都不叫二元一次方程．（3）二元一次方程有無數(shù)解．求一個二元一次方程的整數(shù)解時，往往采用“給一個，求一個”的方法，即先給出其中一個未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對值較大的）的值，再依次求出另一個的對應值．2.二元一次方程組的定義：（1）二元一次方程組的定義：

由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組．

（2）二元一次方程組也滿足三個條件：

①方程組中的兩個方程都是整式方程．

②方程組中共含有兩個未知數(shù)．

③每個方程都是一次方程．3.二元一次方程組的解法：（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來．②將變形后的關系式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求出x（或y）的值．④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關系式中，求出另一個未知數(shù)的值．⑤把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解．

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．③解這個一元一次方程，求得未知數(shù)的值．④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值．⑤把所求得的兩個未知數(shù)的值寫在一起，就得到原方程組的解，用{x=ax=b的形式表示．4.二元一次方程組的應用（一）、列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系．

（2）設元：找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來．

（3）列方程組：挖掘題目中的關系，找出兩個等量關系，列出方程組．

（4）求解．

（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．

（二）、設元的方法：直接設元與間接設元．

當問題較復雜時，有時設與要求的未知量相關的另一些量為未知數(shù)，即為間接設元．無論怎樣設元，設幾個未知數(shù)，就要列幾個方程．【典例剖析】考點1二元一次方程（組）的定義【例1】若（a﹣1）x|a|﹣1+3y＝1是關于x、y的二元一次方程，則a＝（）A．1 B．2 C．﹣2 D．2和﹣2【分析】利用二元一次方程定義可得答案．【解析】由題意得：|a|﹣1＝1，且a﹣1≠0，解得：a＝±2，故選：D．【變式訓練】1．（2022春?慈溪市校級期中）下列方程中屬于二元一次方程的是（）A．3π+x＝2y B．xy＝2 C．x2﹣3x＝y(tǒng) D．x+2＝y(tǒng)﹣1【答案】A【分析】利用二元一次方程的定義，逐一分析各選項中的方程，即可得出結論．【解析】解：A．方程3π+x＝2y是二元一次方程，選項A符合題意；B．方程xy＝2是二元二次方程，選項B不符合題意；C．方程x2﹣3x＝y(tǒng)是二元二次方程，選項C不符合題意；D．方程x+2＝y(tǒng)﹣1是分式方程，選項D不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了二元一次方程的定義，牢記“含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程”是解題的關鍵．2．（2022春?單縣期中）下列方程組中，是二元一次方程組的是（）A．x+y=1y+z=2 B．x+y=6C．xy=4x+y=1 D．【答案】B【分析】根據二元一次方程組的定義逐個判斷即可．【解析】解：A．方程組是三元一次方程組，不是二元一次方程組，故本選項不符合題意；B．方程組是二元一次方程組，故本選項符合題意；C．方程組是二元二次方程組，不是二元一次方程組，故本選項不符合題意；D．方程組是二元二次方程組，不是二元一次方程組，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了二元一次方程組的定義，能熟練掌握二元一次方程組的定義是解此題的關鍵，有兩個或兩個以上的整式方程組成，一共含有兩個不同的未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是1，這樣的方程組叫二元一次方程組．3．（2022春?興文縣期中）已知關于x，y的方程組(m-3)x=2x-A．﹣2 B．2或﹣2 C．﹣3 D．3或﹣3【答案】C【分析】根據組成二元一次方程組的兩個方程應共含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的項最高次數(shù)都應是一次的整式方程解答．【解析】解：由題意可得：m-解得：m＝﹣3．故選：C．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的定義，解答時，一定要緊扣二元一次方程組的定義：組成二元一次方程組的兩個方程應共含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的項最高次數(shù)都應是一次的整式方程．4．（2023春?岱岳區(qū)校級月考）已知方程：（n﹣3）x|n|﹣2+y＝3為二元一次方程，則n的值為﹣3．【答案】﹣3．【分析】根據二元一次方程的定義解答即可．【解析】解：因為方程（n﹣3）x|n|﹣2+y＝3為二元一次方程，所以n-解得n＝﹣3．故答案為：﹣3．【點睛】本題考查了二元一次方程的定義，二元一次方程必須符合以下三個條件：（1）方程中只含有2個未知數(shù)；（2）含未知數(shù)項的最高次數(shù)為一次；（3）方程是整式方程．5．（2022秋?清河區(qū)校級期末）若關于x，y的方程xm+n+5ym﹣n+2＝8是二元一次方程，則mn的值是0．【答案】0．【分析】根據二元一次方程定義可得m+n=1m-n+2=1，據此可得m、n【解析】解：∵關于x，y的方程xm+n+5ym﹣n+2＝8是二元一次方程，∴m+n=1m-n+2=1解得：m=0n=1∴mn的值是0．故答案為：0．【點睛】此題主要考查了二元一次方程，關鍵是掌握二元一次方程需滿足三個條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個未知數(shù)．③所有未知項的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個條件的都不叫二元一次方程．考點2二元一次方程（組）的解【例2】已知x=-2y=1是方程組x-2y=2mA．4 B．﹣4 C．0 D．不能確定【分析】把x與y的值代入方程組求出m與n的值，即可求出m+n的值．【解析】把x=-2y=1解得：m＝﹣2，n＝2，則m+n＝﹣2+2＝0，故選：C．【變式訓練】6．（2023春?東城區(qū)校級月考）已知x=2y=-1是二元一次方程y﹣kx＝7的解，則kA．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【答案】D【分析】將x=2y=-1代入二元一次方程y﹣kx＝7，得到關于k【解析】解：根據題意得，﹣1﹣2k＝7，解得：k＝﹣4．故選：D．【點睛】本題考查了二元一次方程的解的定義，掌握二元一次方程的解的定義是解題的關鍵．7．（2023?建湖縣一模）已知二元一次方程2x+3y＝3，其中x與y互為相反數(shù)，則x，y的值為（）A．x＝﹣4，y＝4 B．x＝4，y＝﹣4 C．x＝3，y＝﹣3 D．x＝﹣3，y＝3【答案】D【分析】x與y互為相反數(shù)，那么y＝?x，然后代入2x+3y＝3求出x的值，即可求解．【解析】解：由題意得x+y＝0，即y＝?x，代入2x+3y＝3，得2x?3x＝3，解得x＝?3，則y＝3．故選：D．【點睛】此題考查了二元一次方程的解，熟練掌握二元一次方程解的含義是解本題的關鍵．8．（2023?青龍縣一模）已知關于x，y的二元一次方程2x﹣3y＝t，其取值如下表，則p的值為（）xmm+2ynn﹣3t5pA．17 B．18 C．19 D．20【答案】B【分析】將表格中的數(shù)據帶入方程列出關系式，計算即可求出p的值．【解析】解：根據題意得2m﹣3n＝5，2（m+2）﹣3（n﹣3）＝p，∴2（m+2）﹣3（n﹣3）＝2m﹣3n+13＝5+13＝18，∴p＝18．故選：B．【點睛】本題考查了二元一次方程組，掌握二元一次方程組的解法是關鍵．9．（2023春?秀英區(qū)校級月考）若某個二元一次方程組的解是x=2y=1，則這個方程可以是x+y=3x-y=1【答案】x+y=3x-y=1【分析】由x，y的值，可求出x+y，x﹣y的值，進而可得出x=2y=1是二元一次方程組x+y=3【解析】解：∵x＝2，y＝1，∴x+y＝2+1＝3，x﹣y＝2﹣1＝1，∴x=2y=1是二元一次方程組x+y=3故答案為：x+y=3x-y=1【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，牢記“一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解”是解題的關鍵．10．（2023春?朝陽區(qū)校級月考）如果方程組x+y=?2x+y=16的解為x=6y=?，那么被“?”遮住的數(shù)是【答案】10．【分析】根據已知條件可得x＝6是方程2x+y＝16的解，進而可得y的值．【解析】解：將x＝6代入2x+y＝16中得：2×6+y＝16，解得：y＝4，∴被遮住的數(shù)為：6+4＝10．故答案為：10．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，解決本題的關鍵是掌握二元一次方程組的解法．考點3解二元一次方程組【例3】解方程組：（1）x+2y=7x-2y=9（2）x+y2【分析】（1）利用加減消元法可求解；（2）利用加減消元法可求解．【解析】（1）x+2y=7①①+②得：2x＝16，解得：x＝8，將x＝8代入①得：8+2y＝7，解得：y=-∴方程組的解為x=8y=-（2）原方程組變形為：3x+y=-①﹣②×3得：﹣8y＝﹣24，解得：y＝3，將y＝3代入①得：3x+3＝﹣12，解得：x＝﹣5，∴方程組的解為x=-【變式訓練】11．（2023春?任城區(qū)校級月考）方程組6x+2y=4①3x-3y=-6②，下列步驟可以消去未知數(shù)A．①×2+②×2 B．①×3﹣②×2 C．①﹣②×2 D．①+②×2【答案】C【分析】根據加減消元法進行求解即可．【解析】解：A、①×2+②×2，得9x﹣y＝﹣2，變形后不能消元，故不符合題意；B、①×3+②×2，得x+y＝12，變形后不能消元，故不符合題意；C、①﹣②×2，得8y＝16，可以消去x，故符合題意．D、①+②×2，得3x﹣y＝﹣2，變形后不能消元，故不符合題意；C、①﹣②×2，得8y＝16，可以消去x，故符合題意．故選：C．【點睛】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是解本題的關鍵．12．（2023春?襄都區(qū)校級月考）在解二元一次方程組6x+my=3①2x-ny=-6②時，若①﹣②可直接消去未知數(shù)y，則m和A．m＝n B．mn＝1 C．m+n＝0 D．m+n＝1【答案】C【分析】根據加減消元法，即可求解．【解析】解：6x+my=3①由①﹣②得：4x+（m+n）y＝9，∵①﹣②可直接消去未知數(shù)y，∴m+n＝0．故選：C．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，掌握用加減消元法解二元一次方程組的步驟是解題關鍵．13．（2023春?南崗區(qū)校級月考）解下列方程組：（1）5x-（2）12【答案】（1）x=25y=15；（2）x=12【分析】（1）加減消元法解方程組即可；（2）加減消元法解方程組即可．【解析】解：（1）5x-①×9+②得：44x＝1100，解得：x＝25，將x＝25代入①得：5×25﹣y＝110，解得：y＝15，原方程組的解為：x=25y=15（2）12①﹣②得：2y＝﹣8，解得：y＝﹣4，將y＝﹣4代入①得：12解得：x＝12，∴原方程組的解為：x=12y=-4【點睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握消元法是解題關鍵．14．（2023春?南崗區(qū)校級月考）小李、小張兩位同學同時解方程組ax+by=2mx-7y=-8，小李解對了，得：x=-2y=3，小張抄錯了m，得：【答案】﹣1．【分析】把小李、小張計算結果代入方程ax+by＝2，得到關于a與b的方程組，求出方程組的解即可得到a的值．【解析】解：將x=-2y=3、x=-2y=-2代入-2a+3b=2①﹣②，得5b＝0，解得b＝0，把b＝0代入①，得﹣2a＝2，解得a＝﹣1．【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．15．（2022春?偃師市校級期中）規(guī)定acbd=ad﹣bc，如2-130=2×（1）-235x+1（2）若3-2nm=1，32m【答案】（1）x＝﹣7；（2）m﹣n＝2．【分析】（1）根據新定義得出﹣2（x+1）﹣15＝﹣3，再解一元一次方程即可；（2）根據新定義得出兩個二元一次方程，解方程組求得m、n的值，即可求得m﹣n＝2．【解析】解：（1）∵-23∴﹣2（x+1）﹣15＝﹣3，∴x＝﹣7；（2）∵3-2nm=1∴3m+2n=1①①×2+②×3得13n＝﹣13．解得n＝﹣1，把n＝﹣1代入①得3m﹣2＝1，解得m＝1，∴m﹣n＝2．【點睛】本題考查了解一元一次方程，解二元一次方程組，能根據新定義得出方程或方程組是解此題的關鍵．考點4二元一次方程組的含參問題【例4】方程組x+2y=k，2x+y=1的解滿足x+y＝3，則A．k＝﹣8 B．k＝2 C．k＝8 D．k＝﹣2【分析】方程組兩方程相加表示出x+y，代入已知方程計算即可求出k的值．【解析】x+2y=k①①+②得：3x+3y＝k+1，即x+y=k+1代入x+y＝3得：k+1＝9，解得：k＝8，故選：C．【變式訓練】16．（2023春?南崗區(qū)校級月考）若方程組4x+3y=7ax+(a-1)y=3的解x與y相等，則aA．0 B．﹣1 C．1 D．2【答案】D【分析】把x＝y(tǒng)代入4x+3y＝7中，求出x，y的值，再將x，y的值代入ax+（a﹣1）y＝3，求出a的值即可．【解析】解：由題意，得：x＝y(tǒng)，把x＝y(tǒng)代入4x+3y＝7，得：4y+3y＝7，解得：y＝1，∴x＝y(tǒng)＝1，把x＝y(tǒng)＝1代入ax+（a﹣1）y＝3，得：a+（a﹣1）＝3，解得：a＝2．故選：D．【點睛】本題考查根了據二元一次方程組的解的情況，求參數(shù)的值，掌握解二元一次方程組的步驟是關鍵．17．（2023春?原陽縣月考）如果方程組x=3ax+by=5的解與方程組y=4bx+ay=2的解相同，則a、A．a=1b=2 B．a=-1b=2 C．a=1【答案】B【分析】由兩方程組的解相同，可得出方程組ax+by=5bx+ay=2的解為x=3y=4，代入后可得出關于a，【解析】解：根據題意得：方程組ax+by=5bx+ay=2的解為x=3∴3a+4b=53b+4a=2解得：a=-故選：B．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，牢記“一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解”是解題的關鍵．18．（2023春?汨羅市月考）已知關于x，y的方程組x+3y=4-①x=5y=-1②當a＝2時，x，y的值互為相反數(shù)；③當a＝1時，方程組的解也是方程x﹣2y＝3的解；④x，y間的數(shù)量關系是x+y＝4﹣a．其中正確的是（）A．②③ B．①②③ C．①③ D．①③④【答案】C【分析】①將x＝5，y＝﹣1代入檢驗即可做出判斷；②將a＝2代入方程組求出方程組的解即可做出判斷；③將a＝1代入方程組求出方程組的解，代入方程中檢驗即可；④消去a得到關于x與y的方程，即可做出判斷．【解析】解：①將x＝5，y＝﹣1代入方程組得：5-解得：a＝2，故原說法正確；②將a＝2代入方程組得：x+3y=2①①﹣②得：4y＝﹣4，即y＝﹣1，將y＝﹣1代入②得：x+1＝6，即x＝5，則x與y不是互為相反數(shù)，故原說法錯誤；③將a＝1代入方程組得：x+3y=3①解得：x=3y=0將x＝3，y＝0代入方程x﹣2y＝3的左邊得：3﹣0＝3，是方程x﹣2y＝3的解，故原說法正確；④x+3y=4-由①得：a＝4﹣x﹣3y，代入②得：x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），整理得：x+2y＝3，故原說法錯誤，綜上所述，正確的為①③．故選：C．【點睛】此題考查了二元一次方程組的解，解題的關鍵是明確方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．19．（2023春?杭州月考）已知關于x，y的方程組x+3y=7x-3y+mx+3=0（1）請寫出方程x+3y＝7的所有正整數(shù)解；（2）若方程組的解滿足2x﹣3y＝2，求m的值；（3）如果方程組有正整數(shù)解，求整數(shù)m的值．【答案】（1）x=4y=1，x=1（2）-2（3）2或0或﹣1．【分析】（1）求出x＝7﹣3y＞0，求出y＜73，求出整數(shù)（2）求出x+3y=72x-3y=2的解，把x=3y=43代入x﹣3y+mx+3＝0得出3﹣4+3m+3＝（3）①+②得出2x+mx+3＝7，求出x=42+m，根據方程組有正整數(shù)解和m為整數(shù)得出2+m＝4或2+m＝2或2+m＝1，再求出【解析】解：（1）x+3y＝7，x＝7﹣3y，∵x、y為正整數(shù)，∴7﹣3y＞0，∴y＜7∴y只能為1和2，當y＝1時，x＝4；等y＝2時，x＝1，所以方程x+3y＝7的所有正整數(shù)解是x=4y=1，x=1（2）x+3y=7x-3y+mx+3=0∵方程組的解滿足2x﹣3y＝2，∴得出方程組x+3y=72x-3y=2解方程組得：x=3y=把x=3y=43代入x﹣3y+mx+3＝0，得3﹣4+3m+3解得：m=-（3）x+3y=7①①+②，得2x+mx+3＝7，解得：x=4∵方程組有正整數(shù)解，m為整數(shù)，∴2+m＝4或2+m＝2或2+m＝1，解得：m＝2或0或﹣1．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，二元一次方程組的解和二元一次方程的解等知識點，能正確解二元一次方程（或二元一次方程組）是解此題的關鍵．20．（2023春?朝陽區(qū)校級月考）已知，關于x，y的二元一次方程組3x-5y=36bx+ay=-8（1）求這兩個方程組的相同解：（2）求（2a+b）2023的值．【答案】（1）x=2y=-6；（2）1【分析】（1）根據題意聯(lián)立2x+5y=-26①3x-5y=36②，求出（2）把x=2y=-6代入ax-by=-4【解析】解：由題意得：2x+5y=-①+②得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入①得：4+5y＝﹣26，解得：y＝﹣6，原方程組的解為：x=2y=-6∴這兩個方程組的解為：x=2y=-6（2）把x=2y=-6代入ax-by=化簡得：a+3b=-①×3得：3a+9b＝﹣6③，②+③得：10b＝﹣10，解得：b＝﹣1，把b＝﹣1代入②得：﹣1﹣3a＝﹣4，解得：a＝1，∴（2a+b）2023＝（2﹣1）2023＝12023＝1，∴（2a+b）2023的值為1．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，熟練掌握同解方程組是解題的關鍵．考點5利用整體思想解二元一次方程組【例5】若關于x、y的二元一次方程組3x-my=52x+ny=6，的解是x=1y=3，則關于a、b的二元一次方程組3(a+b)-【分析】根據已知得出關于a，b的方程組進而得出答案．【解析】∵關于x、y的二元一次方程組3x-my=52x+ny=6∴方程組3(a+b)-m(a-解得：a=2b=-1故答案為：a=2b=-1【變式訓練】21．（2023?泗陽縣校級一模）已知二元一次方程組3a+2b=52a+3b=4，則a﹣b＝1【答案】1．【分析】①﹣②得出（3a+2b）﹣（2a+3b）＝5﹣4，再求出a﹣b＝1即可．【解析】解：3a+2b=5①①﹣②，得（3a+2b）﹣（2a+3b）＝5﹣4，即a﹣b＝1．故答案為：1．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，能選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關鍵．22．（2023?寧陽縣校級一模）關于xy的方程組x+y=m-13x+5y=2m+3，則x+3y的值等于【答案】5．【分析】②﹣①×2得出（3x+5y）﹣2（x+y）＝（2m+3）﹣2（m﹣1），去括號后合并同類項即可．【解析】解：x+y=m-②﹣①×2，得（3x+5y）﹣2（x+y）＝（2m+3）﹣2（m﹣1），整理得：x+3y＝5．故答案為：5．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，能選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關鍵．23．（2022秋?順德區(qū)期末）關于x、y的方程組x+2y=k-（1）當k＝1時，解方程組；（2）若方程組的解滿足x+y＝5，求k的值．【答案】（1）x=6y=-3（2）k＝2．【分析】（1）把k＝1代入方程組，解方程組即可；（2）①+②得x+y＝2k+1，根據x+y＝5，可得2k+1＝5，解方程即可求出k的值．【解析】解：（1）當k＝1時，可得x+2y=0①①×②﹣②，得y＝﹣3，把y＝﹣3代入①，得x﹣6＝0，∴x＝6，∴x=6y=-3（2）x+2y=k-①+②，得3x+3y＝6k+3，∴x+y＝2k+1，∵方程組的解滿足x+y＝5，∴2k+1＝5，∴k＝2．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的方法是解題的關鍵．24．（2023春?原陽縣月考）閱讀理解：在數(shù)學課上，李老師遇到下面問題：已知x，y滿足方程組x+3y=-13x+y=5，求x小紅：把方程組解出來，再求x+y的值．小剛：把兩個方程直接相加得4x+4y＝4方程兩邊同時除以4解得x+y＝1．李老師對兩位同學的講解進行點評：指出“小剛”同學的思路體現(xiàn)了數(shù)學中【整體思想】的運用．請你參考小紅或小剛同學的做法，解決下面的問題．（1）已知關于x、y的方程組2x+y=2a+1x+2y=5-5a的解滿足x+y＝﹣3，求a（2）運用【整體思想】解答：若方程組ax+y=bx-by=a的解是x=1y=1，求【答案】（1）a＝5；（2）2．【分析】（1）利用（①+②）÷3，可求出x+y＝2﹣a，結合x+y＝﹣3，可得出關于a的一元一次方程，解之即可求出a的值；（2）將x=1y=1代入原方程組，可求出a-b=-1a+b=1，再將其代入（a+b）2﹣（a﹣【解析】解：（1）2x+y=2a+1①（①+②）÷3得：x+y＝2﹣a，又∵x+y＝﹣3，∴2﹣a＝﹣3，解得：a＝5，∴a的在值為5；（2）將x=1y=1代入原方程組得：a+1=b整理得：a-∴（a+b）2﹣（a﹣b）（a+b）＝12﹣（﹣1）×1＝1+1＝2．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解、整式的加減以及解二元一次方程組，解題的關鍵是：（1）利用整體思想，找出x+y＝2﹣a；（2）將方程組的解代入原方程組，找出a-25．（2023春?沙坪壩區(qū)校級月考）閱讀探索：材料一：解方程組(a-1)+2(b+2)=6解：設a﹣1＝x，b+2＝y(tǒng)，原方程組可化為x+2y=62x+y=6解得x=2y=2，即a-1=2材料二：解方程組4x+10y=6①解：將方程②8x+20y+2y＝10，變形為2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，則y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程組的解為：x=4y=-1根據上述材料，解決下列問題：（1）運用換元法解求關于a，b的方程組：(a（2）若關于x，y的方程組a1x+b1y=c1a2（3）已知x、y、z，滿足3x-2z+12y=47①【答案】（1）a=12b=-3（2）m=5n=0（3）z＝2．【分析】（1）用換元法替換a4-1和（2）用換元法替換5（m﹣3）和3（n+2），根據已知條件解方程組即可；（3）仿照題意將方程①變形為32(2x+z+8y)-72z=47③，然后把將方程②【解析】解：（1）設a4-1=x，∴原方程可以化為x+2y①用②﹣①×2得：﹣3y＝﹣3，解得y＝1，把y＝1代入到①得：x+2＝4，解得x＝2，∴方程組的解為x=2y=1即a4解得a=12b=-3∴原方程組的解為a=12b=-3（2）解：設5(m-3)=x則方程化為：a1即5(m-3)=10解得m=5n=0（3）解：將方程①3x﹣2z+12y＝47，變形為32將方程②代入③得：32解得z＝2．【點睛】本題主要考查了用換元法解二元一次方程組；換元法：如果方程或方程組由某幾個代數(shù)式整體組成，那么可以引入一個或幾個新的變量來代替它們，使之轉化為新的方程或方程組，然后求解，進而求原方程的解．考點6解三元一次方程組【例6】方程組x+y-z=7x+y=32x-y-z=4的解為【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．【解析】x+y-③﹣①得：x﹣2y＝﹣3④，②﹣④得：3y＝6，解得：y＝2，把y＝2代入②得：x＝1，把x＝1，y＝2代入①得：z＝﹣4，則方程組的解為x=1y=2【變式訓練】26．若方程組x+4=y2x-y=2z中x是y的2倍，則zA．﹣9 B．8 C．﹣7 D．﹣6【答案】D【分析】分析題意，首先對已知方程組變形得x-y=-42x-y=2z；用加減消元法對以上方程組求解，可得x＝2z+4，y＝2z+8；接下來根據x是y的2倍，可得2z+4＝2（2【解析】解：對已知方程組變形得x-根據x是y的2倍，可得y＝﹣4，x＝﹣8，把x＝﹣4，y＝﹣8代入2x﹣y＝2z得，2z+4＝2（2z+8），解得z＝﹣6．故選：D．【點睛】本題側重考解查二元一次方程組，掌握加減消元法是解題關鍵．27．（2022春?通道縣期中）已知方程組x+y=4y+z=-6z+x=8，則x+y+A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】把三個方程相加即可得到x+y+z的值．【解析】解：x+y=4①①+②+③得：2x+2y+2z＝4+（﹣6）+8＝6，∴x+y+z＝3．故選：A．【點睛】本題考查解三元一次方程組．理解和掌握解方程過程中的整體思想是解題的關鍵．28．（2022春?荷塘區(qū)校級期中）已知代數(shù)式ax2+bx+c，當x＝﹣1時，其值為4；當x＝1時，其值為8；當x＝2時，其值為25；則當x＝3時，其值為（）A．4 B．8 C．62 D．52【答案】D【分析】根據已知條件可知a+b+c=8②a-b+c=4①4a+2b+c=25③，由此解方程組求出a、b【解析】解：由題意得知a+b+c=8②用①+②得：a+c＝6④，用①×2+③得：2a+c＝11⑤，用⑤﹣④得：a＝5，把a＝5代入④得：5+c＝6，解得c＝1，把a＝5，c＝1代入①得：5﹣b+1＝4，解得b＝2，∴ax2+bx+c＝5x2+2x+1，∴當x＝3時，ax2+bx+c＝5×32+2×3+1＝45+6+1＝52．故選：D．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，解三元一次方程，正確建立三元一次方程組求出a、b、c的值是解題的關鍵．29．（2022春?秀英區(qū)校級期中）三元一次方程組2x+y=10x-y+z=43x-y-z=0的解是x=3【答案】x=3y=4【分析】先把第二個方程和第三個方程相加消去z，則可組成關于x、y的二元一次方程組，再解二元一次方程組，然后利用代入法求出z的值，從而得到原方程組的解．【解析】解：2x+y=10①②+③得4x﹣2y＝4，整理得2x﹣y＝2④，由①④組成方程組得2x+y=102x-y=2解得x=3y=4把x＝3，y＝4代入②得3﹣4+z＝4，解得z＝5，所以原方程組的解為x=3y=4故答案為：x=3y=4【點睛】本題考查了解三元一次方程組：利用代入法或加減法把三元一次方程組轉化為二元一次方程組．30．（2022春?西峽縣期中）解方程組x+y=-【答案】方程組的解為x=1y=-3【分析】利用加減消元法求解即可．【解析】解：x+y=-由①﹣②得：y﹣z=-7由①﹣③得：23y﹣2z＝﹣3⑤④×2﹣⑤得：43y＝﹣4解得：y＝﹣3，把y＝﹣3代入①得：x＝1，把x＝1代入②得：z=1則方程組的解為x=1y=-3【點睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法考點7由實際問題抽象二元一次方程組【例7】程大位，明代商人，珠算發(fā)明家，被稱為珠算之父、卷尺之父．少年時，讀書極為廣博，對數(shù)學頗感興趣，60歲時完成其杰作《直指算法統(tǒng)宗》（簡稱《算法統(tǒng)宗》）．在《算法統(tǒng)宗》里記載了一道趣題：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾??？意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完．試問大、小和尚各多少人？如果設大和尚有x人，小和尚有y人，那么根據題意可列方程組為．【分析】根據100個和尚分100個饅頭，正好分完．大和尚一人分3個，小和尚3人分一個得到等量關系為：大和尚的人數(shù)+小和尚的人數(shù)＝100，大和尚分得的饅頭數(shù)+小和尚分得的饅頭數(shù)＝100，依此列出方程即可．【解析】設大和尚有x人，小和尚有y人，根據題意得：x+y=1003x+故答案是：x+y=1003x+【變式訓練】31．（2023?鐵西區(qū)模擬）小明與小新共讀一本書，小明4天里閱讀的總頁數(shù)比小新5天里閱讀的總頁數(shù)少100頁，小新平均每天閱讀的頁數(shù)比小明平均每天閱讀的頁數(shù)的2倍少10頁．若小明、小新平均每天分別閱讀x頁、y頁，則所列方程組為5y-4x=100【答案】5y-【分析】小明、小新平均每天分別閱讀x頁、y頁，則由“明4天里閱讀的總頁數(shù)比小新5天里閱讀的總頁數(shù)少100頁，小新平均每天閱讀的頁數(shù)比小明平均每天閱讀的頁數(shù)的2倍少10頁”可列出方程組．【解析】解：由題意得：5y-故答案為：5y-【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程組．32．（2023?余姚市校級模擬）“雞兔同籠”是我國古代算術名著《孫子算經》中的第31題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雞兔各幾何？”若設雞有x只，兔有y只，則可以列出關于x、y的二元一次方程組為x+y=352x+4y=94【答案】x+y=352x+4y=94【分析】根據“雞的數(shù)量+兔的數(shù)量＝35，雞的腳的數(shù)量+兔子的腳的數(shù)量＝94”，可列出相應的方程組．【解析】解：由題意可得，x+y=352x+4y=94故答案為：x+y=352x+4y=94【點睛】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解題的關鍵是理解題意，找到等量關系，列出相應的方程組．33．（2023春?吉林月考）《孫子算經》中記載：“今有甲、乙二人，持錢不知其數(shù)．甲得乙中半，可滿四十八．乙得甲太半，亦滿四十八．問甲、乙二人元持錢各幾何？”題目大意是：“甲、乙兩人各帶了若干錢，如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢48錢；如果乙得到甲所有錢的23，那么乙也共有錢48錢．問甲、乙兩人各帶了多少錢？”設甲帶了x錢，乙?guī)Я藋錢，則可列方程組為x+1【答案】x+1【分析】設甲帶了x錢，乙?guī)Я藋錢，根據題意可得，甲的錢+乙的錢的一半＝48，乙的錢+甲所有錢的23=【解析】解：根據題意，得x+1故答案為：x+1【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程組求解．34．（2022春?雄縣期末）小明作業(yè)本中有一頁被墨水污染了，已知他所列的方程組是正確的，寫出題中被墨水污染的條件和第一個方程，并求解這道應用題．應用題：小東在某商場看中的一臺電視和一臺空調在“五一”前共需要5500元，由于該商場開展“五一”促銷活動，同樣的電視打八折銷售，于是小東在促銷期間購買了同樣的電視一臺，空調兩臺，共花費7200元，求“五一”前同樣的電視和空調每臺各多少元？解：設“五一”前同樣的電視每臺x元，空調每臺y元，根據題意，得■■■■①0.8x+2(y-400)=7200②被墨水污染的條件是：同樣的空調每臺降價400元．被墨水污染的第一個方程是：x+y＝5500．【答案】同樣的空調每臺降價400元，x+y＝5500．【分析】根據方程②可找出（y﹣400）表示每臺空調在“五一”促銷活動中的售價，進而可得出被墨水污染的條件為同樣的空調每臺降價400元，根據小東在某商場看中的一臺電視和一臺空調在“五一”前共需要5500元，可得出x+y＝5500．【解析】解：∵設“五一”前同樣的電視每臺x元，空調每臺y元，方程②為0.8x+2（y﹣400）＝7200，∴（y﹣400）表示每臺空調在“五一”促銷活動中的售價，∴被墨水污染的條件是：同樣的空調每臺降價400元．∵小東在某商場看中的一臺電視和一臺空調在“五一”前共需要5500元，∴被墨水污染的第一個方程是：x+y＝5500．故答案為：同樣的空調每臺降價400元；x+y＝5500．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．35．（2023春?內鄉(xiāng)縣月考）在《九章算術》的“方程”一章中，一次方程組是由算籌布置而成的，已知圖1所示的算籌圖表示的方程組為3x+2y=19x+4y=23（1）任務一：圖2所表示的方程組為2x+y=114x+3y=27（2）任務二：請解你所列的方程組．（3）任務三：請聰明的你嘗試用不同的方法解你所列的方程組．【答案】（1）2x+y=114x+3y=27（2）x=3y=5（3）x=3y=5【分析】（1）根據圖1所表示的方程組可得出圖2所表示的方程組；（2）利用加減法解方程組即可；（3）利用代入法求解即可．【解析】解：（1）根據圖1所示的算籌的表示方法，可推出圖2所示的算籌的表示的方程組：2x+y=114x+3y=27故答案為：2x+y=114x+3y=27（2）2x+y=11①①×2﹣②得，﹣y＝﹣5，即y＝5，把y＝5代入②得，4x+3×5＝27，x＝3．所以方程組的解為：x=3y=5（3）由①得，y＝11﹣2x③，將③代入②得4x+3（11﹣2x）＝27，解得x＝3，把x＝3代入③得，y＝5．所以方程組的解為：x=3y=5【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解二元一次方程組，觀察圖形，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．考點8二元一次方程的應用【例8】把60個乒乓球分別裝在兩種不同型號的盒子里，大盒裝6個，小盒裝4個，當把乒乓球都裝完的時候恰好把盒子都裝滿，那么不同的裝球方法有（）A．2種 B．4種 C．6種 D．8種【分析】可設大盒x盒，小盒y盒，根據等量關系：大盒的乒乓球個數(shù)+小盒的乒乓球個數(shù)＝60，列出方程，再根據正整數(shù)的定義即可求解．【解析】設大盒x盒，小盒y盒，依題意有6x+4y＝60，y=30-3x∵x，y都是正整數(shù)，∴x＝2時，y＝12；x＝4時，y＝9；x＝6時，y＝6；x＝8時，y＝3；故不同的裝球方法有4種．故選：B．【變式訓練】36．（2023春?沙坪壩區(qū)校級月考）把一根長15m的鋼管截成2m長和3m長兩種規(guī)格均有的短鋼管，且沒有余料，設某種截法中2m長的鋼管有a根，則a的值可能有2種．【答案】2．【分析】設3m長的鋼管有b根，根據題意可得2a+3b＝15，即b=5-2a3，再由a、b【解析】解：設3m長的鋼管有b根，由題意得，2a+3b＝15，∴b=15-2a∵a、b都是正整數(shù)，∴5-∴2a＝6或2a＝12，∴a＝3或a＝6，∴a的值可能有2種，故答案為：2．【點睛】本題運用了二元一次方程的整數(shù)解的知識點，運算準確是解此題的關鍵．37．（2022秋?平度市期末）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，已知A型汽車每輛的進價為25萬元，B型汽車每輛的進價為10萬元．若該公司計劃正好用200萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），則不同的購買方案共有3種．【答案】3．【分析】該公司購進x輛A型汽車，y輛B型汽車，利用總價＝單價×數(shù)量，可得出關于x，y的二元一次方程，結合x，y均為正整數(shù)，即可得出該公司共有3種不同的購買方案．【解析】解：該公司購進x輛A型汽車，y輛B型汽車，根據題意得：25x+10y＝200，∴y＝20-52又∵x，y均為正整數(shù)，∴x=2y=15或x=4y=10或∴該公司共有3種不同的購買方案．故答案為：3．【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵．38．（2022秋?萊州市期末）一個兩位數(shù)，把其十位數(shù)字與個位數(shù)字交換位置后，所得的數(shù)比原數(shù)多9，這樣的兩位數(shù)的個數(shù)有8個．【答案】8．【分析】設十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，根據“把其十位數(shù)字與個位數(shù)字交換位置后，所得的數(shù)比原數(shù)多9”，可得出關于x，y的二元一次方程，結合“1≤x≤9，0≤y≤9，且x，y均為整數(shù)”，即可得出這樣的兩位數(shù)有8個．【解析】解：設十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，根據題意得：10y+x﹣（10x+y）＝9，∴y＝x+1．又∵1≤x≤9，0≤y≤9，且x，y均為整數(shù)，∴x=1y=2或x=2y=3或x=3y=4或x=4y=5或x=5y=6或x=6∴這樣的兩位數(shù)有8個．故答案為：8．【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵．39．（2022春?綿陽期中）面對當前疫情形勢，某工廠迅速反應，研發(fā)出兩種新型口罩和消毒液．已知1平方米甲型布料可以制成20個A型口罩和10個B型口罩．1平方米乙型布料可以制成10個A型口罩和20個B型口罩，現(xiàn)需要制作1500個A型口罩和1800個B型口罩．為了支援某災區(qū)，現(xiàn)有消毒液19噸．計劃同時租用甲型車a輛，乙型車b輛，一次運完，甲型車一次滿載2噸，乙型車一次滿載3噸，且恰好每輛車都載滿消毒液．根據以上信息，解答下列問題：（1）恰好需要甲，乙布料各多少平方米？（2）在運送消毒液時，請你設計所有可能的租車方案．【答案】（1）恰好需要40平方米甲型布料，70平方米乙型布料；（2）共有3種租車方案，方案1：租用8輛甲型車，1輛乙型車；方案2：租用5輛甲型車，3輛乙型車；方案3：租用2輛甲型車，5輛乙型車．【分析】（1）設恰好需要x平方米甲型布料，y平方米乙型布料，根據現(xiàn)需要制作1500個A型口罩和1800個B型口罩，可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）根據租用的車可一次運輸19噸消毒液且恰好每輛車都滿載，可得出關于a，b的二元一次方程，結合a，b均為正整數(shù)，即可得出各租車方案．【解析】解：（1）設恰好需要x平方米甲型布料，y平方米乙型布料，根據題意得：20x+10y=150010x+20y=1800解得：x=40y=70答：恰好需要40平方米甲型布料，70平方米乙型布料；（2）根據題意得：2a+3b＝19，∴a=19-3b又∵a，b均為正整數(shù)，∴a=8b=1或a=5b=3或∴共有3種租車方案，方案1：租用8輛甲型車，1輛乙型車；方案2：租用5輛甲型車，3輛乙型車；方案3：租用2輛甲型車，5輛乙型車．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關系，正確列出二元一次方程．40．（2022春?岳麓區(qū)校級期末）已知：現(xiàn)有A型車和B型車載滿貨物一次可運貨情況如下表：A型車（輛）B型車（輛）共運貨（噸）32172318某物流公司現(xiàn)有35噸貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據以上信息，解答下列問題：（1）1輛A型車和l輛B型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？（2）請你幫該物流公司設計租車方案；（3）若A型車每輛需租金200元/次，B型車每輛需租金240元/次，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．【答案】（1）l輛A型車載滿貨物一次可運貨3噸，l輛B型車載滿貨物一次可運貨4噸；（2）共有3種租車方案，方案1：租用A型車1輛，B型車8輛；方案2：租用A型車5輛，B型車5輛；方案3：租用A型車9輛，B型車2輛；（3）最省錢的租車方案是方案1：租用A型車1輛，B型車8輛，最少租車費為2120元．【分析】（1）設l輛A型車載滿貨物一次可運貨x噸，l輛B型車載滿貨物一次可運貨y噸，根據表格中的數(shù)據，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）根據租用的車一次運完35噸貨物且恰好每輛車都載滿貨物，即可得出關于a，b的二元一次方程，再結合a，b均為自然數(shù)，即可得出各租車方案；（3）分別求出選擇各方案所需租車費用，比較后即可得出結論．【解析】解：（1）設l輛A型車載滿貨物一次可運貨x噸，l輛B型車載滿貨物一次可運貨y噸，依題意得：3x+2y=172x+3y=18解得：x=3y=4答：l輛A型車載滿貨物一次可運貨3噸，l輛B型車載滿貨物一次可運貨4噸．（2）依題意得：3a+4b＝35，∴b=35-3a又∵a，b均為自然數(shù)，∴a=1b=8或a=5b=5或∴共有3種租車方案，方案1：租用A型車1輛，B型車8輛；方案2：租用A型車5輛，B型車5輛；方案3：租用A型車9輛，B型車2輛．（3）選擇方案1所需租車費為1×200+8×240＝2120（元）；選擇方案2所需租車費為5×200+5×240＝2200（元）；選擇方案3所需租車費為9×200+2×240＝2280（元）．∵2120＜2200＜2280，∴最省錢的租車方案是方案1：租用A型車1輛，B型車8輛，最少租車費為2120元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、二元一次方程的應用以及有理數(shù)的混合運算，找準等量關系，正確列出二元一次方程組（或二元一次方程）是解題的關鍵．考點9二元一次方程組的實際問題【例9】某制紙廠生產A型、B型兩種不同規(guī)格的紙，需用甲、乙兩種不同的原料．若甲原料成本為0.5元/m3，乙原料成本為1元/kg，其它相關數(shù)據如下表所示：甲原料/m3乙原料/kg售價/元每百張A型紙124每百張B型紙1.235（1）若生產這兩種紙需用甲原料108m3、乙原料240kg，則這兩種規(guī)格的紙各多少百張？（2）若該廠生產A型紙a百張，則生產這種A型紙的利潤是多少元（用含a的代數(shù)式表示）？（利潤＝售價﹣成本）（3）該廠發(fā)現(xiàn)，當制紙總量超過10000百張時，需額外支出8800元的設備維護費，現(xiàn)該廠接到一筆訂單，要求生產A型紙的數(shù)量是B型紙數(shù)量的2倍，若該廠希望獲得13200元的利潤，則有哪幾種生產方案？【分析】（1）列方程組求解即可；（2）用代數(shù)式表示售價和成本，利用利潤＝售價﹣成本得出結果；（3）設未知數(shù)，利用方程，求解即可．【解析】（1）設生產A型紙x百張，B型紙y百張，由題意得，x+1.2y=1082x+3y=240解得，x=60y=40答：生產A型紙60百張，B型紙40百張；（2）4a﹣（0.5×a×1+1×a×2）＝1.5a，答：生產這種A型紙的利潤是1.5a元；（3）設生產B型紙m百張，則生產A型紙2m百張，由題意得，每百張A型紙的利潤為4×2m﹣（0.5×2m×1+1×2m×2）＝3m，每百張B型紙的利潤為5m﹣（1.2×m×0.5+3×m×1）＝1.4m，①當m+2m＜10000時，有3m+1.4m＝13200，解得m＝3000，則2m＝6000，即生產A型紙6000百張，則生產B型紙3000百張；②當m+2m＞10000時，有3m+1.4m＝13200+8800，解得m＝5000，則2m＝10000，即生產A型紙10000百張，則生產B型紙5000百張；因此有兩種生產方案，A型紙6000百張，B型紙3000百張或A型紙10000百張，B型紙5000百張．【變式訓練】41．（2022秋?成都期末）列方程組解應用題：為了豐富學生的課外體育活動，八年級2班需要購買排球和跳繩．根據下列對話，求出肖雨所購買的排球和跳繩的單價．【答案】排球的單價為24元，跳繩的單價為18元．【分析】首先先設出未知數(shù)，然后根據題中給出的條件列出方程組，解出方程組的解即可．【解析】解：設排球的單價為x元，跳繩的單價為y元，根據題意可列方程組得：2x+5y=1384x+8y=240解得：x=24y=18答：排球的單價為24元，跳繩的單價為18元．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的應用，解題關鍵是根據等量關系列出方程組．42．（2022秋?于洪區(qū)期末）列方程組解古算題：“今有甲、乙二人持錢不知其數(shù)．甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十．甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢．如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50．如果乙得到甲所有錢的23，那么乙也共有錢50【答案】甲帶錢752，乙?guī)уX25【分析】設甲帶錢x，乙?guī)уX