高一數學函數的單調性教案

函數的單調性

教學目標1．使學生理解函數單調性的概念，并能判斷一些簡單函數在給定區(qū)間上的單調性．2．通過函數單調性概念的教學，培養(yǎng)學生分析問題、認識問題的能力．通過例題培養(yǎng)學生利用定義進行推理的邏輯思維能力．3．通過本節(jié)課的教學，滲透數形結合的數學思想，對學生進行辯證唯物主義的教育．

教學重點與難點教學重點：函數單調性的概念．教學難點：函數單調性的判定．

教學過程設計一、引入新課師：請同學們觀察下面兩組在相應區(qū)間上的函數，然后指出這兩組函數之間在性質上的主要區(qū)別是什么？（用投影幻燈給出兩組函數的圖象．）第一組：第二組：生：第一組函數，函數值y隨x的增大而增大；第二組函數，函數值y隨x的增大而減?。畮煟海ㄊ謭?zhí)投影棒使之沿曲線移動）對．他（她）答得很好，這正是兩組函數的主要區(qū)別．當x變大時，第一組函數的函數值都變大，而第二組函數的函數值都變?。m然在每一組函數中，函數值變大或變小的方式并不相同，但每一組函數卻具有一種共同的性質．我們在學習一次函數、二次函數、反比例函數以及冪函數時，就曾經根據函數的圖象研究過函數的函數值隨自變量的變大而變大或變小的性質．而這些研究結論是直觀地由圖象得到的．在函數的集合中，有很多函數具有這種性質，因此我們有必要對函數這種性質作更進一步的一般性的討論和研究，這就是我們今天這一節(jié)課的內容．（點明本節(jié)課的內容，既是曾經有所認識的，又是新的知識，引起學生的注意．）

二、對概念的分析（板書課題：函數的單調性）師：請同學們打開課本第51頁，請××同學把增函數、減函數、單調區(qū)間的定義朗讀一遍．（學生朗讀．）師：好，請坐．通過剛才閱讀增函數和減函數的定義，請同學們思考一個問題：這種定義方法和我們剛才所討論的函數值y隨自變量x的增大而增大或減小是否一致？如果一致，定義中是怎樣描述的？生：我認為是一致的．定義中的“當時，都有”描述了y隨x的增大而增大；“當時，都有”描述了y隨x的增大而減少．師：說得非常正確．定義中用了兩個簡單的不等關系“”和“或”，它刻劃了函數的單調遞增或單調遞減的性質．這就是數學的魅力！（通過教師的情緒感染學生，激發(fā)學生學習數學的興趣．）師：現在請同學們和我一起來看剛才的兩組圖中的第一個函數和的圖象，體會這種魅力．（指圖說明．）師：圖中對于區(qū)間[a，b]上的任意，，當時，都有，因此在區(qū)間[a，b]上是單調遞增的，區(qū)間[a，b]是函數的單調增區(qū)間；而圖中對于區(qū)間[a，b]上的任意，，當時，都有，因此在區(qū)間[a，b]上是單調遞減的，區(qū)間[a，b]是函數的單調減區(qū)間．（教師指圖說明分析定義，使學生把函數單調性的定義與直觀圖象結合起來，使新舊知識融為一體，加深對概念的理解．滲透數形結合分析問題的數學思想方法．）師：因此我們可以說，增函數就其本質而言是在相應區(qū)間上較大的自變量對應……（不把話說完，指一名學生接著說完，讓學生的思維始終跟著老師．）生：較大的函數值的函數．師：那么減函數呢？生：減函數就其本質而言是在相應區(qū)間上較大的自變量對應較小的函數值的函數．（學生可能回答得不完整，教師應指導他說完整．）師：問得好．這說明你想的很仔細，思考問題很嚴謹．容易證明：若f（x）在[a，b]上單調（增或減），則f（x）在（a，b）上單調（增或減）．反之不然，你能舉出反例嗎？一般來說．若f（x）在[a，b]上單調（增或減），且[，][a，b]，則f（x）在[，]（增或減）．反之不然．例2證明函數f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函數．師：從函數圖象上觀察函數的單調性固然形象，但在理論上不夠嚴格，尤其是有些函數不易畫出圖象，因此必須學會根據解析式和定義從數量上分析辨認，這才是我們研究函數單調性的基本途徑．（指出用定義證明的必要性．）師：怎樣用定義證明呢？請同學們思考后在筆記本上寫出證明過程．（教師巡視，并指定一名中等水平的學生在黑板上板演．學生可能會對如何比較和的大小關系感到無從入手，教師應給以啟發(fā)．）師：對于和我們如何比較它們的大小呢？我們知道對兩個實數a，b，如果a＞b，那么它們的差a-b就大于零；如果a=b，那么它們的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它們的差a-b就小于零，反之也成立．因此我們可由差的符號來決定兩個數的大小關系．生：（板演）設，是（-∞，+∞）上任意兩個自變量，當時，，所以f（x）是增函數．師：他的證明思路是清楚的．一開始設，是（-∞，+∞）內任意兩個自變量，并設（邊說邊用彩色粉筆在相應的語句下劃線，并標注“①→設”），然后看，這一步是證明的關鍵，再對式子進行變形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，這一步可概括為“作差，變形”（同上，劃線并標注”②→作差，變形”）．但美中不足的是他沒能說明為什么＜0，沒有用到開始的假設“”，不要以為其顯而易見，在這里一定要對變形后的式子說明其符號．應寫明“因為x1＜x2，所以，從而＜0，即．”這一步可概括為“定符號”（在黑板上板演，并注明“③→定符號”）．最后，作為證明題一定要有結論，我們把它稱之為第四步“下結論”（在相應位置標注“④→下結論”）．這就是我們用定義證明函數增減性的四個步驟，請同學們記?。枰赋龅氖堑诙?，如果函數y=f（x）在給定區(qū)間上恒大于零，也可以?。▽W生的做法進行分析，把證明過程步驟化，可以形成思維的定勢．在學生剛剛接觸一個新的知識時，思維定勢對理解知識本身是有益的，同時對學生養(yǎng)成一定的思維習慣，形成一定的解題思路也是有幫助的．）調函數嗎？并用定義證明你的結論．師：你的結論是什么呢？上都是減函數，因此我覺得它在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數．生乙：我有不同的意見，我認為這個函數不是整個定義域內的減函數，因為它不符合減函數的定義．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），顯然成立，而，，顯然有，而不是，因此它不是定義域內的減函數．生：也不能這樣認為，因為由圖象可知，它分別在（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數．域內的增函數，也不是定義域內的減函數，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一個單調區(qū)間內都是減函數．因此在函數的幾個單調增（減）區(qū)間之間不要用符號“∪”連接．另外，x=0不是定義域中的元素，此時不要寫成閉區(qū)間．上是減函數．（教師巡視．對學生證明中出現的問題給予點拔．可依據學生的問題，給出下面的提示：（1）分式問題化簡方法一般是通分．（2）要說明三個代數式的符號：k，，．要注意在不等式兩邊同乘以一個負數的時候，不等號方向要改變．對學生的解答進行簡單的分析小結，點出學生在證明過程中所出現的問題，引起全體學生的重視．）

四、課堂小結師：請同學小結一下這節(jié)課的主要內容，有哪些是應該特別注意的？（請一個思路清晰，善于表達的學生口述，教師可從中給予提示．）生：這節(jié)課我們學習了函數單調性的定義，要特別注意定義中“給定區(qū)間”、“屬于”、“任意”、“都有”這幾個關鍵詞語；在寫單調區(qū)間時不要輕易用并集的符號連接；最后在用定義證明函數的單調性時，應該注意證明的四個步驟．

五、作業(yè)1．課本P53練習第1，2，3，4題．數．．（*）+b＞0．由此可知（*）式小于0，即．

課堂教學設計說明函數的單調性是函數的一個重要性質，是研究函數時經常要注意的一個性質．并且在比較幾個數的大小、對函數作定性分析、以及與其他知識的綜合應用上都有廣泛的應用．對學生來說，函數的單調性早已有所知，然而沒有給出過定義，只是從直觀上接觸過這一性質．學生對此有一定的感性認識，對概念的理解有一定好處，但另一方面學生也會覺得是已經學過的知識，感覺乏味．因此，在設計教案時，加強了對概念的分析，希望能夠使學生認識到看似簡單的定義中有不少值得去推敲、去琢磨的東西，其中甚至包含著辯證法的原理．另外，對概念的分析是在引進一個新概念時必須要做的，對概念的深入的正確的理解往往是學生認知過程中的難點．因此在本教案的設計過程中突出對概念的分析不僅僅是為了分析函數單調性的