安徽省縣中聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

2023～2024學(xué)年安徽縣中聯(lián)盟高三12月聯(lián)考·數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米，黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)，必修第二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)第一章、選擇性必修第二冊(cè)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求解集合B，再利用補(bǔ)集運(yùn)算和交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算及除法運(yùn)算化簡(jiǎn)計(jì)算復(fù)數(shù)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選：B3.已知圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為1，3，其表面積為，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用圓臺(tái)的表面積公式求得母線長(zhǎng)，進(jìn)而求得圓臺(tái)的高，從而利用圓臺(tái)的體積公式即可得解.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為．高為．所以，解得，所以．所以該圓臺(tái)的體積．故選：D．4.已知是兩個(gè)單位向量，若在上的投影向量為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用投影向量公式，結(jié)合數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以，所以，所以．故選：A．5.已知直線是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)面面平行、垂直的判定與性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可【詳解】對(duì)于A：若．則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由，則設(shè)，當(dāng)時(shí)，也是符合條件的，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：在長(zhǎng)方體中，如圖所示：滿足，此時(shí)與相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則，故D正確．故選：D．6.在數(shù)列中，，且，則數(shù)列的前15項(xiàng)和為（）A.84 B.102 C.120 D.138【答案】C【解析】【分析】先利用等差中項(xiàng)判斷數(shù)列為等差數(shù)列，然后利用通項(xiàng)公式基本量的運(yùn)算求出通項(xiàng)，利用求和公式求出和，然后分組求和即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以是等差?shù)列，又，所以等差數(shù)列的公差，所以，所以單調(diào)遞減，且，所以的前項(xiàng)和，所以數(shù)列的前15項(xiàng)和為.故選：C7.17世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運(yùn)算，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊“對(duì)數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍”．已知，設(shè)，則所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以．故選：D．8.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得，再利用余弦定理可得，繼而利用輔助角公式化簡(jiǎn)，可得答案.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，即，所以．由正弦定理得．由余弦定理得．所以．其中，所以的最大值為，此時(shí)，即，故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用正、余弦定理并結(jié)合輔助角公式得，最后求得其最值.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知事件滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若與互斥，則C.若，則與相互獨(dú)立D.若與相互獨(dú)立，則【答案】BC【解析】【分析】由互斥事件、對(duì)立事件以及相互獨(dú)立事件的概率公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)椋裕蔄錯(cuò)誤；若與互斥．則，故B正確；因?yàn)椋耘c相互獨(dú)立．故C正確：因?yàn)榕c相互獨(dú)立．所以．所以，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10.已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為20 D.的最小值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合二次函數(shù)的最值與基本不等式對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以．又因?yàn)樗裕蔄錯(cuò)誤；．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)．即時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為16．故C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)．即時(shí)等號(hào)成立．故的最小值為，故D正確．故選：BD．11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則B.的周長(zhǎng)的最小值為C.若，則點(diǎn)到平面的距離為D.若平面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)由空間向量的線性運(yùn)算可得；記點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，所以的周長(zhǎng)最小值為，則B選項(xiàng)可求；建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到面的距離公式可求C；設(shè)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，確定點(diǎn)的軌跡為線段，則可求D.【詳解】若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．則，故A正確；記點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，所以的周長(zhǎng)，故B正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．如圖所示．所以，．所以，，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量為．所以令．解得，所以平面的一個(gè)法向量．所以點(diǎn)到平面的距離，故C錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)為．取的中點(diǎn)為．取的中點(diǎn)為．如圖所示．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，同理可得平面．又平面，所以平面平面．又平面．所以點(diǎn)的軌跡為線段．由，得，，，，所以．即為直角．所以線段長(zhǎng)度的取值范圍是．故D正確．故選：ABD．12.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的極值點(diǎn)為1B.C.若分別是曲線和上的動(dòng)點(diǎn).則的最小值為D.若對(duì)任意的恒成立，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出極值點(diǎn)；對(duì)于B，設(shè)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可求解；對(duì)于C，利用曲線與曲線互為反函數(shù)，可先求點(diǎn)到的最小距離，然后再求的最小值；對(duì)于D，利用同構(gòu)把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值即可.【詳解】．所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極值點(diǎn)為1，故A正確；設(shè)，則，由單調(diào)性的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增．又，則存在．使得，即，，所以當(dāng)時(shí)．，當(dāng)時(shí)．．所以在上單調(diào)遞減．在上單調(diào)遞增.所以，又，則，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)到的最小距離為，設(shè)函數(shù)上斜率為的切線為，，由得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，即，所以，所以的最小值為，故C正確；若對(duì)任意的恒成立，則對(duì)任意的恒成立，令，則．所以在上單調(diào)遞增，則，即，令，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以，即的最小值為，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別.三、填空題：本題共4小題、每小題5分，共20分．13.一組數(shù)據(jù)24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位數(shù)是____________．【答案】50【解析】【分析】由百分位數(shù)的概念求解即可.【詳解】先按照從小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78．共12個(gè)數(shù)據(jù)，，第9，10個(gè)數(shù)據(jù)分別為47，53，則第75百分位數(shù)為．故答案為：5014.已知空間向量，若共面，則____________．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)向量共面列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】若共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，即．所以，解得．所以．故答案為：15.已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】令，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出的單調(diào)性.進(jìn)而判斷的奇偶性.將不等式變形可得，即.結(jié)合的性質(zhì)即可得出不等式，求解不等式，即可得出答案.【詳解】令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且恒成立，所以在上單調(diào)遞減.又，所以是奇函數(shù)．由，可得，所以.又在上單調(diào)遞減，所以．整理可得，，解得，所以不等式的解集為．故答案為：.16.在三棱錐中，，且三棱錐的外接球的表面積為，記的面積分別為，則的最大值為_(kāi)___________．【答案】32【解析】【分析】根據(jù)球表面積公式得出外接球的半徑，設(shè)，由已知結(jié)合外接球的長(zhǎng)方體模型可得外接球，即可得出，在結(jié)合三角形面積公式與基本不等式得出，即可代入值得出答案.【詳解】設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，所以，解得．設(shè)，因?yàn)?所以由長(zhǎng)方體模型可知，即．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以的最大值為32．故答案為：32.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，且，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）首先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的的性質(zhì)，代入公式，即可求解；（2）由（1）的結(jié)果可得，再根據(jù)角的變換，利用兩角和的正弦公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意知．故函數(shù)的最小正周期．令．解得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋郑?，所以，所以?8.如圖，在直三棱柱中，分別為線段，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，即得，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：取中點(diǎn)，連接，如圖所示．在中，為中點(diǎn),為中點(diǎn)，所以且，在直三棱柱中，且．因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平而，所以平面．【小問(wèn)2詳解】在直三棱柱中，平而，又平面，所以,且,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,不妨設(shè)，所以，所以,設(shè)平面一個(gè)法向量為．所以,令,解得,所以平面的一個(gè)法向量．又平面的一個(gè)法向量可取為，設(shè)平面與平面的夾角為,所以，即平面與平面夾角的余弦值為．19.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大小；（2）若，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理與余弦定理求解即可；（2）由三角形的面積公式與余弦定理求解可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫矗捎嘞叶ɡ淼茫郑裕拘?wèn)2詳解】因?yàn)椋裕?，所以，即．在中，由余弦定理得，所以．解得或（舍）．所以的周長(zhǎng)．20.已知數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列通項(xiàng)公式，注意驗(yàn)證首項(xiàng)是否成立；（2）先利用裂項(xiàng)相消法求，再利用數(shù)列的單調(diào)性證明即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以,所以.當(dāng)時(shí)，，上式也成立.所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，所以.令，所以，又，所以.所以是遞增數(shù)列，所以，所以.21.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，二面角的大小為，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角正弦值為，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸．建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，設(shè)，可得，利用線面角的向量求法求出得可得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，連接，在菱形中，為中點(diǎn)，且，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸．建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，所以為二面角的平面角．所以．因?yàn)樗倪呅问橇庑危裕?，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，解得，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)，所以，設(shè)直線與平面所成角的大小為，所以，解得或（舍）．所以，所以．22.已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）直接求導(dǎo)，討論和，求出對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間即可；（2）將題設(shè)轉(zhuǎn)