內蒙古自治區(qū)赤峰市紅山區(qū)校級聯(lián)考2023-2024學年高三上學期12月期中文數試題(含答案)

高三文科數學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時.選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復數，則（）A. B.2 C. D.3.向量，，在正方形網格中的位置如圖所示.若向量與共線，則實數（）A. B. C.1 D.24.下列函數中，既是偶函數，又在區(qū)間內是增函數的為（）A.， B.，且C.， D.，5.已知雙曲線的一個焦點到它的一條漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（）A. B.2 C.3 D.46.已知函數，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的最大值為2C.的圖象關于軸對稱 D.在區(qū)間上單調遞減7.《算法統(tǒng)宗》是中國古代數學名著，由明代數學家程大位所著，該作完（開始善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的底轉變，該作中有題為“李白潔酒”“李白街上走，提壺去買酒.遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒.借問此壺中，原有多少酒？”，如圖為該問題的程序框圖，若輸出的值為0，則開始輸入的值為（）A. B. C. D.8.設，，，則（）A. B. C. D.9.已知數列是等差數列，若，，則（）A.18 B.17 C.15 D.1410.若實數，滿足不等式組，則的最大值為（）A.4 B. C. D.611.已知等比數列的各項都為正數，則，，成等差數列，則的值是（）A. B. C. D.12.已知函數，其中是自然對數的底數.若，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則______.14.函數在點處的切線方程為______.15.已知直線和圓交于，兩點，為坐標原點，若，則實數______.16.已知拋物線的焦點為，，是拋物線上的兩個動點，若，則的最大值為______.三、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.2022年北京冬奧運動會即第24屆冬季奧林匹克運動會將在2022年2月4日至2月20日在北京和張家口舉行，某研究機構為了了解大學生對冰壺運動的興趣，隨機從某大學生中抽取了100人進行調查，經統(tǒng)計男生與女生的人數比為9:11，男生中有20人表示對冰壺運動有興趣，女生中有15人對冰壺運動沒有興趣.（1）完成列聯(lián)表，并判斷能否有99%把握認為“對冰壹運動是否有興趣與性別有關”？有興趣沒有興趣合計男20女15合計100（2）用分層抽樣的方法從樣本中對冰壺運動有興趣的學生中抽取6人，求抽取的男生和女生分別為多少人？若從這6人中選取兩人作為冰壺運動的宣傳員，求選取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率.附：，其中.0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.0763.8415.0246.63518.已知在的三個內角分別為，，，，.（Ⅰ）求的大?。唬á颍┤?，求長.19.四棱雉中，，，，，平面，在棱上.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求證：平面.20.已知橢圓的焦距為2，且長軸長與短軸長之比為.（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）若不與坐標軸平行的直線與橢圓相切于點，為坐標原點，求直線與直線的斜率之積.21.已知函數.（1）求函數的單調區(qū)間與極值；（2）若函數有兩個極值點時，求的取值范圍.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數方程]22.（10分）在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線，直線的參數方程為：（為參數），直線與曲線分別交于，兩點.（1）寫出曲線和直線的普通方程；（2）若點，求的值.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數.（Ⅰ）若，解關于的不等式；（Ⅱ）若當時，恒成立，求實數的取值范圍.參考答案1.【思路分析】容易求出，然后進行交集的運算即可.【解析】：，且；.故選：D.【總結歸納】考查描述法、列舉法表示集合的概念，以及交集的運算.2.【思路分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的計算公式求解.【解析】：，.故選：C.【總結歸納】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數模的求法，是基礎題.3.【思路分析】根據圖形便可看出，這樣即可得出的值.【解析】：根據圖形可看出；滿足與共線；.故選：D.【總結歸納】考查向量加法和數乘的幾何意義，共線向量的概念.4.【思路分析】利用函數奇偶性的定義可排除C，D，再由在區(qū)間內有增區(qū)間，有減區(qū)間，可排除A，從而可得答案.【解析】：對于A，令，則，為偶函數，而在上單調遞減，在上單調遞增，故在上單調遞減，在上單調遞增，故排除A；對于B，令，且，同理可證為偶函數，當時，，為增函數，故B滿足題意；對于C，令，，，為奇函數，故可排除C；而D，為非奇非偶函數，可排除D；故選：B.5.【思路分析】根據題意，設雙曲線的焦點為，由雙曲線的方程求出漸近線的方程，結合點到直線的距離公式可得，可得的值，由雙曲線的幾何性質計算求出的值，由離心率公式即可得答案.【解析】：根據題意，設雙曲線的一個焦點為，其中一條漸近線的方程為，即若雙曲線的一個焦點到它的一條漸近線的距離為，則有，則，則雙曲線的離心率；故選：B.【總結歸納】本題考查雙曲線的幾何性質，涉及雙曲線的標準方程，屬于基礎題.6.【思路分析】先利用同角平方關系及二倍角余弦個公式對已知函數進行化簡可得，結合余弦函數的性質對選項進行判斷即可.【解析】：，函數的最小正周期，，為偶函數，其圖象關于軸對稱，在上單調遞減，故在上單調遞增.故選：C.【總結歸納】本題主要考查了同角平方關系及二倍角公式，余弦函數的性質等知識的綜合應用.7.【思路分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.【解析】：模擬程序的運行，可得當時，，，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；當時，，，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；當時，，，不滿足條件，退出循環(huán)體，輸出，所以，.故選：B.【總結歸納】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是基礎題.8.【思路分析】利用對數函數的單調性進行求解.當時函數為增函數當時函數為減函數，如果底不相同時可利用1做為中介值.【解析】：，故選：A.【總結歸納】本題考查的是對數函數的單調性，這里需要注意的是當底不相同時可用1做為中介值.9.【思路分析】利用等差數列通項公式和前項和公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出.【解析】：數列是等差數列，，，.解得，，.故選：B.【歸納與總結】本題考查數列的第7項的求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.10.【思路分析】先作可行域，再根據目標函數所表示的直線，結合圖象確定最優(yōu)解，代入得結果.【解析】：作可行域如圖，

則直線過點時取最大值4，故選：A.【總結歸納】本題考查線性規(guī)劃求最值，考查基本分析求解能力，屬基礎題.11.【思路分析】設等比數列的公比為，且，由題意和等差中項的性質列出方程，由等比數列的通項公式化簡后求出，由等比數列的通項公式化簡所求的式子，化簡后即可求值.【解析】：設等比數列的公比為，且，，，成等差數列，，則，化簡得，，解得，則，故選：A.【總結歸納】本題考查等比數列的通項公式，以及等差中項的性質的應用，屬于基礎題.12.【思路分析】令，.判斷其奇偶性單調性即可得出.【解析】：令，.則，在上為奇函數.，函數在上單調遞增.，化為：，即，化為：，，即，解得.實數的取值范圍是.故選：C.【總結歸納】本題考查了構造法、利用導數研究函數的單調性奇偶性、方程與不等式的解法、等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題.13.【思路分析】由的值及的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出與的值，代入原式計算即可.【解析】：，，，，則，故答案為：14.【思路分析】先求出的導數，再求出切點處的函數值，導數值，最后利用直線方程的點斜式，得切線方程.【解析】：由已知得，所以，，故切線方程為，即.故答案為：.【總結歸納】本題考查導數的幾何意義.切線方程的求法.同時考查學生的運算能力.屬于基礎題.15.【思路分析】聯(lián)立，得，由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數量積能求出.【解析】：由題可得圓心即為原點，聯(lián)立可得，，解得，設，，則，，，則，解得，故選：A.【總結歸納】本題考查直線與圓交點個數與方程解個數的轉化，考查實數值的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、向量的數量積的合理運用.是中檔題，16.【思路分析】依拋物線的定義，可得，，可得，由余弦定理得的范圍，即可求解.【解析】：如圖，依拋物線的定義，可得，，，由余弦定理得故答案為：.【總結歸納】本題考查了拋物線的性質，均值不定式的應用，余弦定理，屬于中檔題17.【思路分析】（1）根據題目所給的數據填寫列聯(lián)表，計算的觀測值，對照題目中的表格，得出統(tǒng)計結論.（2）利用古典概型定義列舉所有基本事件，找出滿足條件的基本事件可得要求的概率.【解析】：（1）根據題意得如下列聯(lián)表：有興趣沒有興趣合計男201545女401555合計6040100所以，所以有99%把握認為“對冰壺運動是否有興趣與性別有關”.（2）對冰壺運動有興趣的學生共60人，從中抽取6人，抽取的男生數、女生數分別為：，.記2名男生為，；生為，，，，則從中選取2人的基本事件為：，，，，，，，，，，，，，，共15個，其中含有1男1女的基本事件為：，，，，，，，共8個，記“對冰壺運動有興趣的學生中抽取6人做宣傳員，恰好一男一女”的事件為，則，故選取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率為.【總結歸納】本題考查了獨立性檢驗和古典概型的應用問題，也考查了計算能力的應用問題，是中檔題目.18.【思路分析】（1）由已知結合同角平方關系可求，進而可求；（2）由已知結合和差角公式可求，然后結合正弦定理可求.【解析】：（1）中，，，即，解得，.（2）由正弦定理得，.【總結歸納】本題考查三角恒等變換，應用正余弦定理解決問題.19.【思路分析】（Ⅰ）過作于，推導出，，從而平面，由此能求出；（Ⅱ）設到平面的距離為，由已知體積列式求得，可得，連接交于，連接，再由三角形相似證得，可得，得到，再由直線與平面平行的判定可得平面.【解答】證明：（Ⅰ）過作于，，，，四邊形為正方形，則，，得，又底面，平面，，又，平面，，平面，又平面，；（Ⅱ）設到平面的距離為，則，得.又，則.，，，連接交于，連接，，，得，，則.又平面，平面，平面.【總結歸納】本題考查直線與平面平行、垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了多面體體積的求法，是中檔題.20.【思路分析】（Ⅰ）通過焦距，結合長軸長與短軸長之比為.求出，，然后求解橢圓方程.（Ⅱ）設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，設切點為，利用，推出直線的斜率為，直線的斜率為，然后求解即可.【解答】解：（Ⅰ）已知橢圓中，且，又，可得橢圓的方程為.（Ⅱ）由題意：可設的方程為（存在且）與橢圓聯(lián)立消去可得，由直線與橢圓相切，可設切點為，由判別式可得.解得，因此，直線的斜率為，直線的斜率為，即直線與直線的斜率之積為.【總結歸納】本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題.21.【思路分析】（1）求出函數的導函數，根據導函數即可求出單調區(qū)間以及極值.（2）求出的導函數，使導函數有兩個根，采用分離參數法，結合（1）中的值域即可求出參數的取值范圍.【解析】：（1）由，則，令，則，令，即，解得，所以函數的單調遞增區(qū)間為；令，即，解得，所以函數的單調遞減區(qū)間為；故函數的極小值為.綜上所述，單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為；極小值為2；（2）由，則，若有兩個極值點，則有兩個根即有兩解，即，即與有兩個交點，由（1）可知在上單調遞減；在上單調遞增，所以.若與有兩個交點，則.【總結歸納】本題主要考查導數在函數單調性中的應用以及由函數的極值點個數求參數的取值范圍，考查了轉化、化歸思想，屬于中檔題.22.【思路分析】（1）根據，將曲線極坐標方程化為直角坐標方程，利用消元法化直線的參數方程為普通方程；（2）先化直線的參數方程為標