山東省濰坊市2024屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1山東省濰坊市2024屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題1.已知向量，若，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為向量，且，所以，解得，故選：A.2.若“，”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】D【解析】，，只需的最小值小于即可，由于的最小值為，故.故選：D.3.已知集合，則滿足的實數(shù)的個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，因為，所以或，當時，，此時集合中有兩個1，所以不合題意，舍去，當時，得或，當時，集合和集合中均有兩個1，所以不合題意，舍去，當時，，符合題意，綜上，，所以滿足的實數(shù)的個數(shù)為1，故選：B.4.北京故宮博物院展示著一件來自2200年前的寶物——秦詔文權(quán)（如圖1）.此文權(quán)下部呈圓臺形，上部為鼻鈕，被譽為最美、最具文化、最有政治和歷史意義的文物之一.某公司仿照該文權(quán)制成一紙鎮(zhèn)（如圖2），已知該紙鎮(zhèn)下部的上、下底面半徑分別為，，高為，則該紙鎮(zhèn)下部的側(cè)面積與體積分別為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為圓臺紙鎮(zhèn)下部的上、下底面半徑分別為，，高為，所以圓臺的母線為長，則該紙鎮(zhèn)下部的側(cè)面積為，該紙鎮(zhèn)下部的體積為.故選：C.5.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且公差不為，若，，構(gòu)成等比數(shù)列，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為是等差數(shù)列的前項和，所以，得，因為，，成等比數(shù)列，所以，設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則，因為，解得，，，所以.故選：D.6.已知則，，大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以，，所以，所以，故選：B.7.設(shè)函數(shù)，則方程的實根個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，則方程即，當時，；當時，；當時，若，則，符合題意；若，則，不合題意；當時，若，則，符合題意；若，則，符合題意，即方程的實根個數(shù)為3，故選：B.8.已知其中則（）A B. C. D.【答案】C【解析】因為，，得，所以，所以，，所以，因為，，得，所以，，，所以，所以.故選：.二、多項選擇題9.在正方體中，直線平面，直線平面，直線平面，則直線的位置關(guān)系可能是（）A.兩兩垂直 B.兩兩平行C.兩兩相交 D.兩兩異面【答案】ACD【解析】對于A，當l為，m為，n為時，兩兩垂直，A正確；對于B，不妨假設(shè)，和不重合，因為平面，平面，則平面，又平面，平面平面，故，則，又平面，平面，故，則，即不可能兩兩平行，B錯誤；對于C，當l為，m為，n為時，兩兩相交，C正確；對于D，當l為，m為，n為時，兩兩異面，D正確，故選：ACD.10.已知函數(shù)，把的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則（）A.是奇函數(shù)B.的圖象關(guān)于直線對稱C.在上單調(diào)遞增D.不等式的解集為【答案】AB【解析】A選項，，由于的定義域為R，且，故為奇函數(shù)，A正確；B選項，，故的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；C選項，時，，其中在上不單調(diào)，故在上不單調(diào)，故C錯誤；D選項，，則，則，故，D錯誤.故選：AB.11.已知，為方程的兩個實根，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由題意得：，，，；對于A項：，因為：，所以：，所以得：，當且僅當時取等號，故A項正確；對于B項：由，所以得：，故B項錯誤；對于C項：，所以得：，故C項正確；對于D項：當時取等號，故D項正確.故選：ACD.12.已知正項數(shù)列滿足：，則（）A. B.是遞增數(shù)列C. D.【答案】BCD【解析】由得，即，解得，因為正項數(shù)列，所以，故A錯誤；因為，又正項數(shù)列，所以，即，因此是遞增數(shù)列，故B正確；由上可知，，所以，即，故C正確；因為，即，所以，，，…，，因此，，即，故D正確.故選：BCD.三、填空題13.已知點，將向量繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標為_____.【答案】【解析】，設(shè)，由題意得，所以，解得或，由圖可知，所以，故答案為：.14.諾沃爾（Knowall）在1740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出在1823年、1906年……人類都可以看到這顆彗星，即該彗星每隔年出現(xiàn)一次.從現(xiàn)在（2023年）開始到公元3000年，人類可以看到這顆彗星的次數(shù)為_________.【答案】【解析】由題意可知：彗星出現(xiàn)的年份構(gòu)成一個公差為，首項為的等差數(shù)列，所以，令，即，解得，又，所以、、、，所以從現(xiàn)在開始到公元3000年，人類可以看到這顆彗星的次數(shù)為次.故答案為：.15.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則_______.【答案】【解析】是奇函數(shù)，故，且，偶函數(shù)，故，則，，函數(shù)周期為，，故，，即，，，，，故，.故答案為：.16.如圖為幾何體的一個表面展開圖，其中的各面都是邊長為的等邊三角形，將放入一個球體中，則該球表面積的最小值為______；在中，異面直線與的距離為_________.【答案】【解析】因為的各面都是邊長為的等邊三角形，所以結(jié)合圖像可知，幾何體是由兩個相同的正四棱錐共底構(gòu)成.正四棱錐中將放入一個球體中，當球恰好外接時該球表面積的最小值，此時球半徑為，該球表面積的最小值為，因為正方形的對角線的交點,平分與，所以四邊形為平行四邊形，則,而與相交構(gòu)成平面，則異面直線與的距離即點到平面的距離，三棱錐的體積,令點到平面的距離為，則，解得，異面直線與的距離為.故答案為：，.四、解答題17.已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性，并證明；（2）解不等式.解：（1）因為定義域為，所以有，即，所以的定義域為，關(guān)于原點對稱，又因為，所以函數(shù)在定義域上為偶函數(shù).（2），所以即因為所以故只需即解得所以不等式的解集為.18.已知函數(shù)（其中均為常數(shù)，）的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在上的值域.解：（1）由圖象知，記周期為T，則所以所以又因為所以得因為所以所以；（2）因為所以所以所以所以函數(shù)的值域為19.在四棱柱中，底面是矩形，.（1）證明：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：設(shè)中點為,連接，，因為得，因為所以又所以在中，所以故為直角三角形，因為，平面，平面，故平面，因為平面，所以平面平面；（2）解：如圖，以為坐標原點，分別以方向為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系故，，，，則﹚設(shè)平面的一個法向量為則，即令,則，設(shè)平面的一個法向量為則即令則，，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為20.為方便居民休閑娛樂，某市計劃在一塊三角形空地上修建一個口袋公園，如圖所示.在公園內(nèi)部計劃修建景觀道路（道路的寬度忽略不計)，已知把三角形空地分成兩個區(qū)域，區(qū)域為兒童娛樂區(qū)，區(qū)域為休閑健身區(qū).經(jīng)測量，米，米.若兒童娛樂區(qū)每平方米的造價為元，休閑健身區(qū)每平方米的造價為元，景觀道路每米的造價為元.（1）若，求景觀道路的長度；（2）求為何值時，口袋公園的造價最低？解：（1）在中，，則，，所以在中，，由正弦定理得，，所以景觀道路的長度為米.（2）設(shè)，在中，，所以又所以所以投資總額因為當且僅當即時取等號.所以當時，取最小值.所以當為時，口袋公園造價最低.21.設(shè)為數(shù)列的前項和，（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列的最小項為第項，求；（3）設(shè)數(shù)的前項和為，證明：.（1）解：由題意知，當時，當時，符合上式，所以；（2）解：由（1）知，，，所以，當且僅當即時，等號成立.所以數(shù)列的最小項為第一項，故；（3）證明：由（1）知時，記，設(shè)為數(shù)列的前項和，則時，時，，因為所以綜上，22.已知函數(shù)（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在定義域上存在極值，求的取值范圍；（3）若恒成立，求.解：（1）當時，，，故切點坐標為，又因為，則切線斜率，所以切線方程為，即.（2），函數(shù)定義域為，，所以當時，恒成立，不符合題意.當時，令，，所以時，在定義域上單調(diào)遞增，，因為，所以，當時，，所以在上存在極值點當時，，，所以為的極值點.當時，，因為，，故所以在上存在極值點.綜上所述，的取值范圍是.（3）恒成立，得，設(shè)則，令，則①當時，在時，，，所以