江西省2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1江西省2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，故，又，故.故選：D.2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】設(shè)，，則，因為，所以，則，解得，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.3.已知函數(shù)的部分圖象如圖，該函數(shù)的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由圖可知為奇函數(shù)過原點，對于A項，易知即是奇函數(shù)，且滿足在時，及，A符合；對于B項，是偶函數(shù)，且，故排除B；對于C項在時，，與圖象不符，故排除C；對于D項，因為，故排除D.故選：A.4.造紙術(shù)是我國古代四大發(fā)明之一，目前我國紙張采用國際標(biāo)準(zhǔn)，復(fù)印紙A系列紙張尺寸的長寬比都是，.紙張的面積為1平方米，長寬比為，將紙張的長邊對折切開得到兩張紙張，將的長邊對折切開得到兩張紙張，依次類推得到紙張，，…，.則紙張的長等于（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.210毫米 B.297毫米 C.149毫米 D.105毫米【答案】C【解析】由已知的面積分別為平方米，的面積為平方米，設(shè)的長寬分別為，，則，故.故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，故，所以.故選：B.6.在中，為邊上一點（不含端點），，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為為邊上一點（不包含端點），即三點共線，且，可得，則，且，由，在中，因為，，，由余弦定理得，所以，整理得，解得或（舍去）.故選：A.7.已知，則（）A B.C. D.【答案】C【解析】由，得，即，，又，所以.故選：C.8.若，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以，因為，所以，所以，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號故選：D.二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.下列選項中，是的必要不充分條件的是（）A.， B.，且C.， D.，【答案】ABD【解析】對于A中，由不等式，可得或，所以時的必要不充分條件，所以A正確；對于B中，如，此時滿足，但且不成立，即充分性不成立；反之：若且，可得一定成立，即必要性成立，所以是且的必要不充分條件，所以B正確；對于C中，由，可得，所以，則，即充分性成立；反之：若，可得，即，所以，即必要性成立，所以是的充要條件，所以C不正確；對于D中，當(dāng)時，不恒成立，即充分性不成立；反之：若時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得函數(shù)和相切于點，如圖所示：結(jié)合圖象，可得，所以成立，即必要性成立，所以是的必要不充分條件，所以D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖，則（）A. B.函數(shù)為偶函數(shù)C.函數(shù)為奇函數(shù) D.函數(shù)在上有4個極值點【答案】ABD【解析】由圖可知的周期為：，又，所以；由，得，又，所以；由，所以，故，所以，故A正確；因為為偶函數(shù)，故B正確；因為不是奇函數(shù)，故C錯誤；因為，，，，所以函數(shù)在上有4個極值點，故D正確.故選：ABD.11.在正方體中，，分別是，的中點，則（）A.平面B.C.平面截此正方體所得截面為四邊形D.平面截此正方體所得截面為四邊形【答案】ABC【解析】對于A：取的中點，連接、，則，又平面，平面，所以平面，又且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面，故A正確；對于B：由正方體的性質(zhì)可得平面，平面，所以，同理可證，，平面，所以平面，又平面，所以，故B正確；對于C：取的中點，的中點，連接、、、、、，則且，所以為平行四邊形，所以，又，所以，所以、、、四點共面，即四邊形為平面截此正方體所得截面，故C正確；對于D：連接并延長交的延長線于點，連接并延長交于點，交的延長線于點，連接交于點，連接、，則五邊形即為平面截此正方體所得截面，故D錯誤.故選：ABC.12.不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)中一個非常重要的定理，其應(yīng)用非常廣泛.對于函數(shù)，定義方程的根稱為的不動點.已知有唯一的不動點，則（）A. B.的不動點為C.極大值為2 D.極小值為【答案】ABC【解析】由方程有唯一解，即有唯一解，令，可得，解得，所以函數(shù)在遞增，在遞減，所以，由，可得，此時，此時，可得，當(dāng)，可得，遞增；當(dāng)，，遞減，所以的極大值為.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，為平面內(nèi)向量的一組基底，，，若，則______.【答案】【解析】由得，，解得.故答案為：.14.已知數(shù)列的首項為2，且滿足，則的前14項和______.【答案】【解析】由已知得，所以，所以，所以是周期為4的數(shù)列，則，，，，，…，且，所以.故答案為：.15.2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖，為了測量山頂處的海拔高度，從山腳處沿斜坡到達(dá)處，在處測得山頂?shù)难鼋菫?5°，山腳的俯角為15°.已知兩地的海拔高度分別為100m和200m.記在水平面的射影分別為，則山頂?shù)暮０胃叨葹開_____m.【答案】【解析】如圖，過點作于，由題意知，在中，，，則，在中，由正弦定理，，在中，，則，則山頂?shù)暮０胃叨葹?故答案為：.16.已知正三棱錐的內(nèi)切球半徑為l，若底面邊長為，則該棱錐體積為______.【答案】【解析】設(shè)正三棱錐的高為，內(nèi)切圓的圓心為，則，由，所以，即，直角中，，，解得，，所以體積.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，，.（1）求的最小正周期；（2）求滿足的的集合.解：（1）依題意，，所以的最小正周期為.（2）由（1）及已知，得，則或，，解得或，，所以滿足的的集合為或.18.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，記為數(shù)列的前項和，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求，.解：（1）設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，則，，由，故，因為，所以，解得，，故.（2）當(dāng)，時，，，所以，當(dāng)，時，，，所以，由已知，故，不能同時為奇數(shù)或偶數(shù)，所以，為奇數(shù)與偶數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)，為偶數(shù)時，則，所以，，；當(dāng)為偶數(shù)，為奇數(shù)時，則，所以，，，因為，所以，.19.已知內(nèi)角，，的對邊長分別為，，，.（1）求；（2）若為銳角三角形，，求面積的取值范圍.解：（1）由正弦定理得：，則,由余弦定理得：，又，所以.（2）在中，因為，，由正弦定理得：，，又，又因為為銳角三角形，所以，，故，所以，故，所以，所以面積的取值范圍是.20.已知函數(shù)，，直線與曲線，都相切.（1）求實數(shù)，的值；（2）記，求的最值.解：（1）設(shè)直線與曲線的切點為，因為，所以，故，所以切點為，故，設(shè)直線與曲線的切點為，因為，所以，解得，所以切點為，故，即.（2）由（1）知：，，則，（），所以，令，易知均在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，又，，故存在，使得，即，，當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增，所以無最大值，有最小值為.21.如圖，在幾何體中，四邊形菱形，為梯形，，，且.（1）求證：；（2）當(dāng)時，是否存在菱形，使平面與平面的夾角為60°？若存在求出該菱形的邊長，若不存在請說明理由.解：（1）證明：設(shè)，交點為，連接，因為四邊形為菱形，所以，，又因為，所以，因為，平面，且，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）由，，，在中，可得，所以，故，又由（1）知平面平面，平面平面，且平面，所以平面，以為原點，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，則，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，故，設(shè)平面法向量為，則，取，可得，，故，因為平面與平面的夾角為60°，故，解得或，此時或，故存在邊長為或的菱形，使平面與平面的夾角為.22.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，有兩個零點，，且，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域為，，記，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，記，則，所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以的極小值為，故，故，所以在上單調(diào)遞減，綜上：故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時，因為，所以，此時在無零點；當(dāng)時，由（1）可知在