天津市東麗區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1天津市東麗區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題（共9題，每題5分，滿分45分）1.直線的傾斜角為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線傾斜角為，則，，.故選：C.2.與橢圓C：共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即，所以，記，所以，所以，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：C.3.設(shè)，則“”是直線：和直線：平行的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，則有，所以或，當(dāng)時(shí)，，故重合，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿足條件，所以，所以“”是“”的充要條件，故選：C.4.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用面積為48的矩形截某圓錐得到橢圓C，且橢圓C與矩形的四邊相切.設(shè)橢圓C在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，則下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知：，所以，A：，不滿足；B：，不滿足；C：，滿足；D：，不滿足；故選：C.5.向量，，，則（）A9 B.3 C.1 D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，解得，則，所以.故選：A.6.雙曲線C：（，）的一條漸近線過(guò)點(diǎn)，，是C的左右焦點(diǎn)，且，若雙曲線上一點(diǎn)M滿足，則（）A.或 B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，所以或（舍），又因?yàn)殡p曲線的漸近線過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，所以，若在左支上，，符合要求，所以，若在右支上，，不符合要求，所以，故選：B.7.已知點(diǎn)，，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，則的面積的最大值為（）A.12 B. C. D.6【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)閳A的方程為，所以圓心為，半徑為，所以圓上點(diǎn)到直線最大距離為，所以的面積的最大值為，故選：D.8.過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且滿足.若M為直線上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】橢圓方程.因?yàn)?，則在橢圓內(nèi)，可知直線與橢圓總有兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)椋礊榫€段的中點(diǎn)，設(shè)，顯然，則，，可得，則，即，所以，即直線的斜率，所以直線為，即，因?yàn)镸為直線上任意一點(diǎn)，所以的最小值為點(diǎn)到直線的距離.故選：B.9.已知雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與圓：相切，與雙曲線在第四象限交于一點(diǎn)，且有軸，則離心率為（）A.3 B. C. D.2【答案】C【解析】圓：的圓心為，半徑，對(duì)于雙曲線，令，解得，則，設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，則，又，，，所以，所以，則，所以，即，解得或（舍去）.故選：C二、填空題（共6題，每題5分，滿分30分．）10.橢圓C：（）的焦點(diǎn)為，，短軸端點(diǎn)為P，若，則________.【答案】【解析】記坐標(biāo)原點(diǎn)為，因，所以焦點(diǎn)在軸上，且，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，故答案為?11.直線l過(guò)點(diǎn)且被圓C：截得的弦長(zhǎng)最短，則直線l的方程為_(kāi)_______.【答案】【解析】由圓的方程知圓心，半徑為，當(dāng)圓被直線截得的弦最短時(shí)，圓心與的連線垂直于弦，由圓心與的連線斜率為，所以直線l的斜率為1，直線l的方程為即.故答案為：.12.圓與圓的公共弦的長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】【解析】將圓與圓相減可得，即兩圓的公共弦所在的直線方程為，又圓圓心到直線的距離，圓的半徑為，所以公共弦長(zhǎng)為.故答案為：.13.如圖所示，四邊形為正方形，為矩形，且它們所在的平面互相垂直，，為對(duì)角線上的一個(gè)定點(diǎn)，且，則到直線的距離為_(kāi)_______.【答案】【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)?，所以，所以，，令，，所以，，則點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：14.直線l：與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則m的取值范圍________.【答案】【解析】即為，表示圓心在原點(diǎn)半徑為的圓位于軸右側(cè)的部分，直線即為，過(guò)定點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中作出直線和半圓的圖象如下圖所示：圓與坐標(biāo)軸交于，且直線的斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，此時(shí)，解得，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，解得或（舍），根據(jù)圖象可知，若直線與半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則，故答案為：.15.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，O為原點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線C準(zhǔn)線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線C上，且，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，不妨取，，?zhǔn)線，作關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)，則，所以的最小值即為，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，所以的最小值為，故答案為：.三、解答題（共5題，滿分75分．）16.已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心C在直線上，（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線方程（3）求x軸被圓所截得的弦長(zhǎng)解：（1）設(shè)圓心，則，所以，解得，所以圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，圓心到直線的距離為，滿足條件；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，所以，解得，所以直線方程為，所以切線方程為或；（3）因?yàn)閳A心到軸()的距離為，且，所以，所以軸被圓所截得的弦長(zhǎng)為.17.如圖，平面，，，，，（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.解：（1）因?yàn)槠矫妫?，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，所以，，所以，，即，，又，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，取，又平面的法向量可以為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）點(diǎn)到平面的距離.18.如圖，在三棱錐中，底面，，點(diǎn)D，E，N分別為棱，，的中點(diǎn)，M是線段的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）已知點(diǎn)H在棱上，且直線NH與直線所成角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).解：（1）取中點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫妫云矫?（2）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又，所以，設(shè)平面一個(gè)法向量為，所以，所以，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)，且，所以，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍），所以.19.設(shè)橢圓（）的左右焦點(diǎn)分別為，，左右頂點(diǎn)分別為A，B，，.（1）求橢圓的方程；（2）已知P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線交y軸于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形與三角形的面積之比為，求點(diǎn)P坐標(biāo).解：（1）因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以橢圓方程為；（2）如下圖所示：因?yàn)樗倪呅闻c三角形的面積之比為，所以三角形與三角形的面積比為，所以，所以，顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，所以，所以，，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，綜上可知，點(diǎn)坐標(biāo)為或.20.已知橢圓（）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)