2021屆重慶一中高考數(shù)學押題試卷(一)(含答案解析)

2021屆重慶一中高考數(shù)學押題試卷（一）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.己知集合4={x|-1<x<1],B={x\x>0},則4n(CR8)=()

A.｛x|-1<%<0｝B.｛x|-1<%<0]

C.｛x|-1<%<1｝D.（x\x<1｝

2.不全相等的五個數(shù)〃、b、c、m、〃具有關系如下：〃、b、c成等比數(shù)列，a、m、人和〃、小c

都成等差數(shù)列，則理存￡=（）

蹴！糜

A.-2B.OC.2D.不能確定

3.在正四面體（每一個面都是正三角形的四面體）ABCD中，E,尸分別在AB,AC上，滿足BE=3,

EF=4,且E尸與平面BCD平行，則ADEF的面積為（）

A.2733B.2V34C.2^35D.12

4.i是虛數(shù)單位，復數(shù)z=詈是純虛數(shù)，則實數(shù)。團（）

A.-1B.1C.4D.—4

5.下列關于命題的說法正確的是（）

A.命題“若爐=1,則％=1”的否命題為“若/=1,則%*1”

B.“x=-l”是“一―5久一6=0”的必要不充分條件

C.命題“mx6R,使得/+%+1<0”的否定是“VxCR,均有/+萬一1>0”

D.命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為真命題

6.已知函數(shù)〃x）=cosx,數(shù)列｛an｝中，即=/次="[誓]，數(shù)列也｝中，“=合濟"篇），

n€N*,則下列說法正確的是（）

A.｛an｝是遞增數(shù)列且即>1,｛%｝是遞減數(shù)列且匕>1

B.｛斯｝是遞增數(shù)列且即<1,｛%｝是遞增數(shù)列且bn>1

C.｛即｝是遞增數(shù)列且an<1,｛%｝是遞減數(shù)列且%<1

D.｛an｝是遞減數(shù)列且即>1,｛%｝是遞增數(shù)列且垢<1

7.己知點P（2,l）是拋物線C：/=7ny上一點，A,B是拋物線C上異于P的兩點，A,B在x軸上

的射影分別為4,B],若直線PA與直線PB的斜率之差為1,。是圓（X-1）2+（y+4）2=1上

一動點，則△A/i。的面積的最大值為（）

A.6B.8C.10D.16

8.已知函數(shù)/（%）=/一9一1,若f（x）2kx在xe[0,+8）時總成立，則實數(shù)A的取值范圍是（）

A.（-co,1]B.（-0°,e]C.（-oo,2e]D.（-°o,e2]

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.下列四個命題的否定為真命題的是（）

A.p：所有四邊形的內(nèi)角和都是360。

B.q-3xG/?,x24-2x+2<0

C.r：mx6{x|x是無理數(shù)},/是無理數(shù)

D.s：對所有實數(shù)“，都有|a|>0

10.設函數(shù)/'（x）=cos2x+sin2x,則下列選項正確的有（）

A./（X）的最小正周期是兀

B./（x）滿足/?+彳）=//一為

C.在[a,b]上單調(diào)遞減，那么b-a的最大值是三

D.y=/（x）的圖象可以由y=或cos2x的圖象向右平移9個單位得到

11.己知點4（一，0）,拋物線C：必=2x的焦點為F,點P在拋物線C上，直線4P交y軸于點M,

且麗=2而，則下列表述正確的是（）

A.點尸的縱坐標為1B.A/IPF為銳角三角形

C.點A與點F關于坐標原點對稱D.點P的橫坐標為]

12.已知x>0,y>0,且/+y2=4,則下列不等式中一定成立的是（）（）

A.3x+y<2-710B.x+y>2y/2

xy

C.log2x+log2y41D.22<4e

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.。一》（2%+》5的展開式中，常數(shù)項為.

14.函數(shù)/'（x）=sin（x+B）sinx的最小正周期為

15.將4個不同的小球裝入4個不同的盒子，則在至少一個盒子為空的條件下，恰好有兩個盒子為

空的概率是.

16.已知圓錐的底面半徑為1,高為2vL則該圓錐的側面積為.

四、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且我a—cs譏B=V^bcosC.

(1)求角2的大小；

(2)若a=3,c=2,。為BC邊上一點，CD=±DB,求sin4BOA的值.

18.17.(15分)已知中心在原點，焦點在日軸的橢圓網(wǎng)，長軸長為可，過焦點垂直于日軸的直線被

該

橢圓截得的弦長為目.

(1)求橢圓日的方程；

(2)—

S

19.某市2013年發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬張，電動型汽車2萬張.為了節(jié)

能減排和控制總量，從2013年開始，每年電動型汽車牌照按50%增長，而燃油型汽車牌照每一

年比上一年減少0.5萬張，同時規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每一年發(fā)放的電動

車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.

(1)記2013年為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)構成數(shù)列｛即｝,每年發(fā)放的電動型汽車牌照數(shù)

為構成數(shù)列｛%｝，完成下列表格，并寫出這兩個數(shù)列的通項公式；

%=10a2=9.5=-------=____???

匕3二--------------

瓦=2Z?2=____t>4=---------—

（2）從2013年算起，求二十年發(fā)放的汽車牌照總量.

20.“雙十二”是繼“雙十一”之后的又一個網(wǎng)購狂歡節(jié)，為了刺激“雙十二”的消費，某電子商

務公司決定對“雙十一”的網(wǎng)購者發(fā)放電子優(yōu)惠券.為此，公司從“雙十一”的網(wǎng)購消費者中

用隨機抽樣的方法抽取了100人,將其購物金額（單位：萬元）按照[0.1,0.2）,[02,0.3）,...[091]

分組，得到如圖頻率分布直方圖：

根據(jù)調(diào)查，該電子商務公司制定了發(fā)放電子優(yōu)惠券的辦法如下：

購物金額（單位：萬元）

[0.3,0.6)[0,6,0,8)[0.8,1]

分組

發(fā)放金額（單位：元）50100200

（I）求購物者獲得電子優(yōu)惠券金額的平均數(shù)；

（n）從購物者中隨機抽取io人，這io人中獲得電子優(yōu)惠券的人數(shù)為x,求x的數(shù)學期望.

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（x）=lnx-2.

X

（I）若a》0,試判斷/（X）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；

（n）若/（了）在[1,e]匕的最小值為三，求實數(shù)I的值:

（皿）若/卜）＜/在（1,丑0）上恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

22.在四棱錐p_4BCD中，R4_L平面ABCD，A1SC是正三角形，.4c與3D的交點.”恰好是

中點，又E4=.18=4,42X4=120°,點N在線段網(wǎng)上，且PN=也.

(/)求證：MV//平面PDC：

(n)求二面角.4-PC-5的余弦值

【答案與解析】

1.答案：A

解析：解：由集合B={x|x>0},全集為R,

得到CR8={x\x<0},

又集合4={x|-1<x<1},

則an(CRB)={x|-1<%<o}.

故選：A

由集合8和全集R,求出集合3的補集，然后求出集合A和集合5補集的交集即可.

此題考查學生會進行補集及交集的運算，是一道基礎題.學生在求補集時注意全集的范圍.

2.答案：C

解析：試題分析：由已知得，球=蟠，徐第一頌出愚，麓;凝，故愀="四，%=—,所以

翦需

-fr-=

如1外生=級③甌帶磁丁1_染酎*磷^呼_公

翻忸額‘彩桿黜：?開:據(jù)舟地二帶；瞰一-”

考點：等差中項和等比中項.

3.答案：A

解析：解：依題意，ABCQ為正四面體，所以每個面都是正三角形，

vEF與平面BCD平行，EFu平面ABC,

平面力BC。平面BCD=BC,

所以EF〃BC,

所以三角形AEF為等邊三角形，

所以4E=AF=EF=4,AB=AE+BE=3+4=7.

又因為三角形ACE三三角形AOF,

所以由余弦定理DE=DF=V42+72-2x4X7xcos600=V37>

取EF中點G,連接。G,則DG=7DE2一EG?==國.

所以三角形DE尸的面積S=ixFFxDG=ix4xV33=2733.

故選：A.

由EF與平面BCD平行，可得EF〃BC,所以4E=AF=EF=4,AB=AE+BE=7.又三角形AOE三

三角形AOF,然后求￡>E、DF,面積即可求解.

本題借助正四面體考查了空間直線的位置關系、三角形的全等、余弦定理等知識，考查空間想象能

力和計算能力.屬于中檔題.

4.答案：A

解析：解：由2=鬻=需篝=等+1々是純虛數(shù),

Z+l+I)55

R=o

得心力0,即。=-1.

故選：A.

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為0且虛部不為0列式求解.

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題.

5.答案：D

解析：解：命題“若好=1,則X=1”的否命題為“若/*1,則X*1"，所以A不正確；

%=-1”推出“小一5刀一6=0"，反之不成立，所以“x=-l”是“尤2一5%一6=0”的充分

不必要條件，所以B不成立；

命題使得/+x+l<0”的否定是“VxeR,均有久2+X-INO"，所以C不成立；

命題“若x=y,則sinx=siny”因為原命題是真命題，所以它的逆否命題為真命題，所以。正確；

故選：D.

利用四種命題的逆否關系判斷A；判斷。；充要條件判斷8；命題的否定判斷C.

本題考查命題的真假的判斷與應用，考查充要條件，四種命題的的逆否關系，是基礎題.

6.答案：D

解析：解：根據(jù)題意，得

7T/-?,1.23,,71—1、-,*

(z?

Cln=—vCOSO+COS—7T+COS—71+COS—7T+,+COS------71),72EN;

2n2n2n2n2n7

???%=^cosO=^>1,a2=￡(cosO+cosTT)=X<^x2=^=ax,

.??{〃}是遞減的數(shù)列，且0n>1;

in,n.23.4.九、-a*

b=—(cos——FCOS—IT+tcos—7T+COS—Tt11-------FCOS—兀)，71GN;

n2n'2n2n2n2n2nJ

???瓦=(嗎=0,%=W(cosRCOS9=?X曰=等,

???瓦V〈V1,.??｛bn｝是遞增數(shù)列;

故選：D.

根據(jù)題意，得通項公式與、bn,求出由、a2的值，驗證｛an｝是遞減的數(shù)列，且曲>1，求出瓦、電的

值，驗證｛%｝是遞增數(shù)列，且“<1，得出正確的答案.

本題考查了數(shù)列的通項公式的應用問題，解題時應根據(jù)通項公式，求出數(shù)列對應的項，從而判定結

論是否正確，是較難的題目.

7.答案：C

解析:

本題考查了直線與拋物線的應用問題，也考查了圓的標準方程應用問題，屬于中檔題.

由題意求得，”的值，寫出拋物線的方程，設出點A、B的坐標，表示出直線PA與直線PB的斜率之

差，求出|公&|,再求出點。到x軸的最大距離，從而求得△4當。面積的最大值.

解：點P（2,l）是拋物線C/二m'上一點,

.??m=4,x2—4y；

設拋物線上的點4Qi，彳），8（小曲，

則A,B在x軸上的射影分別為Ai（Xi，0）,（尤2,0）；

???直線PA與直線PB的斜率之差為:

.2]

2T*1_XI+2_X2+2_卬-0_],

kpA~kpB=；

X2-2X2-2444

—?=4,即MiBJ=4；

又。是圓。一1）2+（y+4）2=1上一動點,

且。到無軸的最大距離為d=4+1=5,

為81D面積的最大值為:

Lilxd=|x4x5=10.

故選：c.

8.答案：A

解析：

本題考查利用導數(shù)的綜合運用，考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查邏輯推理能力，屬于中

檔題.

當x=0時，顯然成立；當x>0時，則e*-|x2-kx-1>0恒成立，令g(x)=ex-^x2-kx-1(%>

0),分kWl及k>l討論即可.

解:當久=。時，f(x)>kx顯然恒成立；

當x>。時，/(x)>kx即為e*-^x2-kx-1>0,設g(x)=ex-^x2-kx-l(x>0),

則g'(x)=ex—x—k,令/i(x)=g'(x)=ex—x—k,

h'(x)=ex-1>0,

?,?函數(shù)g'(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

①當kW1時，g'(x)>g'(0)=1-kN0,故函數(shù)g(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

二9(x)>g(0)=0，即f(x)2依成立；

②當k>1時，g'(0)=1-k<0,g'(k)=ek-2k>0,故存在加6(0#),使得g'Q。)=0,

.??當x6(0,&)時，g'(x)<o，g(x)單調(diào)遞減，則g(x)<g(0)=0,即/'(x)<kx,不符題意；

綜上所述，實數(shù)人的取值范圍為(-8,1].

故選：A.

9.答案:BD

解析：解：對于4有的四邊形的內(nèi)角和不是360。，是假命題；

對于B，~~I7：Vx6/?,x2+2x+2>0,是真命題，

因為/+2x+2=(x+I)2+1>1>0恒成立；

對于C,~r：Vx6{x|x是無理數(shù)},好不是無理數(shù)，是假命題，如x=n'時；

對于。，飛：存在實數(shù)小使|a|WO，是真命題，如a=0時.

故選：BD.

根據(jù)題意，分別寫出選項中命題的否定命題，再判斷命題的真假性.

本題考查了命題與它的否定命題應用問題，命題的真假性判斷問題，是基礎題.

10.答案：AC

解析：

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質，考查了函數(shù)y=4sin(3x+p)的圖象變換規(guī)律，考查了函數(shù)

思想，屬于中檔題.

利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的周期公式即可求函數(shù)最小正周期，即可判

斷4;分別求解和/(?+%),即可判斷B：利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；利用三角函

數(shù)的平移變換即可判斷D.

解：v/(x)=cos2x+sin2x=>/2(^cos2x+~sin2x)=V2sin(2x+?),

對于選項A：T=胃=兀,即A正確：

對于選項B：f?+x)=V2sin[2(^+/)+?]=V2sin(2x+與)=V2sin(^—2x),

一x)=V2sin[2(^—x)+g=Vising—2x)=V2cos(^—2x),

即x=?不是y=/(x)的對稱軸，故B錯誤：

對于選項C：1+24兀<2x+EW與+2/OT時，y=/(x)單調(diào)遞堿，

故減區(qū)間為S+丹+/ot],k&Z,6-&的最大值是等一?)=3故C正確；

對于。：y=&cos2x的圖象向右平移處單位得到y(tǒng)=V2cos[2(x-=)]=V2cos(2x-=

V2sin2xV2sin(2x+^),故。錯誤.

故選：AC.

11.答案：CD

解析：解：由拋物線的方程可得c正確，

若9=2宿，則點M是線段4P的中點，又坐標原點。是線段A尸的中點，

所以0M是三角形AP尸的中位線，所以0M〃尸F(xiàn),

因為。Mix軸，所以PF_Lx軸，所以三角形APF為直角三角形，B錯誤，

設點P(x,y),則x=：,代入拋物線方程可得y=±l,A錯誤，。正確，

故選：CD.

求出點尸的坐標，再由已知向量關系求出點M是AP的中點，進而得到0M是三角形AP尸的中位線，

進而可以求解.

本題考查了直線與拋物線的位置關系的應用，涉及到三角形中位線的問題，屬于基礎題.

12.答案：CD

解析：解：對于A,設％=2cosa,y=2sina,0<a<p

???3%4-y=6cosa+2sina=2V10sin(a4-0)>2\/TU,其中tcmJ=3,

故A錯誤；

對于8,4=x2+y2>(^)2,即x+yW2或，當且僅當x=y=或時，等號成立，故8錯誤；

z2

對于C,4=x+y>2xy,則xy<2,log2x+log2y=log2xy<log22=1,當且僅當久=y=V2

時，等號成立，故C正確；

對于。，由B得x+yW2近，則2'2丫=2'+〃422在=4四，當且僅當x=y=應時，等號成立，

故。正確.

故選：CD.

根據(jù)基本不等式，以及指數(shù)和對數(shù)的運算性質即可求出.

本題考查了基本不等式的應用，考查了運算能力和運算能力，屬于基礎題.

13.答案:-40

解析:

本題主要考查了二項式定理的應用問題，屬于基礎題.

根據(jù)(X-》(2x+展開式中常數(shù)項是(2x+》5展開式中的?頁與X的乘積，加上X項與一i的乘積；

利用(2X+》5展開式的通項公式求出對應的項即可.

解：(x—》(2x+》5展開式中常數(shù)項是

(2x+展開式中的3頁與X的乘積，加上X項與一l的乘積；

(2x+》5展開式的通項公式為

Tr+1=黑?(2x)5-.(>r=25—.Cr.產(chǎn)-2\

令5-2r=-l,解得r=3,二痣=22*僚*工="；

3

令5-2r=1,解得r=2,/.T3=2xC5x%=80x；

所求展開式的常數(shù)項為

401

—,x4~80%,(—)=40—80=-40.

xX

故答案為-40.

14.答案：7T

解析：解：函數(shù)f(%)=sin(x+^)sinx=(ysinx4-ycosx)sinx=j4"^sin2x=|sin(2x—

巳)+烏

故它的最小正周期為

故答案為：71.

由題意利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，得出結論.

本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性，屬于基礎題.

15.答案：

解析：

將4個不同的小球裝入4個不同的盒子，分別求出恰好有一個盒子為空的基本事件、恰好有兩個盒

子為空的基本事件、恰好有三個盒子為空的基本事件的個數(shù)，由此能求出在至少一個盒子為空的條

件下，恰好有兩個盒子為空的概率.

本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用.

解：將4個不同的小球裝入4個不同的盒子，

恰好有一個盒子為空的基本事件有：底?罷?幽=144.

月2

恰好有兩個盒子為空的基本事件有：(或或+等)?"=84,

恰好有三個盒子為空的基本事件有：Al=4,

...在至少一個盒子為空的條件下，恰好有兩個盒子為空的概率是：

8421

產(chǎn)V=-1-4-4-+-8-4-+-4=—58.

故答案為：

5o

16.答案：37r

解析：解：?.?圓錐的底面半徑為1,高為2近，

.,?母線長為：,1+8=3,

二圓錐的側面積為：nrl=7Tx1x3=3兀，

故答案為：37r.

首先根據(jù)底面半徑和高利用勾股定理求得母線長，然后直接利用圓錐的側面積公式代入求出即可.

本題考查了圓錐的側面積的計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題

的關鍵.

17.答案：解：(1)因為百Q(mào)—csinB=y/SbcosC9

由正弦定理得值si幾4—sinCsinB=asinBcosC，

故V^sinBcosC+時sinCcosB—sinCsinB=y/3sinBcosC，

所以V^sinCcosB-sinCsinB=0，

因為sinC>0,

所以siziB=y/3cosBf即tauB=遮,

因為8E(0,7r),

所以8冶；

(2)因為a=3,CD=*DB,

所以CD=}DB=|,

△480中，由余弦定理得，AD2=22+(|)2-2x2x|x|=y,

所以皿=亨，

由正弦定理得嗯二丁喝工，

stnBs\nz.BDA

2X號277

故sinZ_8Z)A=-j=-=—.

~2~

解析：(1)由已知結合正弦定理及和差角公式，誘導公式進行化簡可求tanB,進而可求B；

(2)由已知結合余弦定理先求4。，然后結合正弦定理可求.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的應用，屬于中檔題.

18.答案:

解析:

目

19.答案：9；8.5；3；4.5；6.75

解析：解：（1）

=

%=10a2=9.5=98.5

瓦=2/?2=3壇=4.5%=6.75

...(2分)

當1SnW20且nGN*,an=10+(n-1)x(-0.5)=-0.5n+10.5；

當n>21且nGN*,an=0.

-0.5n+10.5,1<n<20KnG/V

???an=...(5分)

0,n>21且?guī)住闚*

而。4+4=15.25>15

2■（-）71-1,且nCN*

2

?1?bn=,...（8分）

6.75,n>5且n6N*

（2）%+a2+…+a20=lOx20+等?（-}=105...（10分）

bx+b2+b3+b4+b5++b2o=為皂+6.75x16=124.25...（13分）

r-2

.?.從2013年算起，二十年發(fā)放的汽車牌照總量為229.25萬張....（14分）

（1）利用從2013年開始，每年電動型汽車牌照按50%增長，而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5

萬張，同時規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每一年發(fā)放的電動車的牌照的數(shù)量維持在這

一年的水平不變，可填寫表格，并寫出這兩個數(shù)列的通項公式；

(2)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，可求從2013年算起，求二十年發(fā)放的汽車牌照總量.

本題考查數(shù)列的應用，考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查數(shù)列的求和，考查學生分析解決問題

的能力，屬于中檔題.

20.答案：解：(I)由頻率分布直方圖得：

購物者獲得50元優(yōu)惠券的概率為：(1.5+2+2.5)x0.1=0.6,

購物者獲得100元優(yōu)惠券的概率為：(1.5+0.5)x0.1=0.2,

購物者獲得200元優(yōu)惠券的概率為：(0.5+0.2)x0.1=0.07.

??.獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)為：50X0.6+100X0.2+200X0.07=64(元).

(II)從購物者中任取一人獲得電子優(yōu)惠券的概率為：0.6+0.2+0.07=0.87,

依題意:X?8(10,0.87),所以E(X)=10x0.87=8.7.

解析：(I)由頻率分布直方圖能求出獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù).

(H)從購物者中任取一人獲得電子優(yōu)惠券的概率為0.87,依題意：X?8(10,0.87),由此能求出E(X).

本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的期望的求法，考查頻率分布直方圖等基礎知識，考查

運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

21.答案：(I)單調(diào)遞增；

(口)；

(皿).

解析：(I)由題意得f(x)的定義域是(0,+8),且亡(x)=U，

X2

Va>0,/.fz(x)>0,

故f(X)在(0,+8)單調(diào)遞增；

x^a

(II)由(I)可得(x)=

產(chǎn)

①若則x+a》0,即f(x)》。在［1,e］上恒成立,

此時f(x)在［1,e］上遞增，

33人

f(x)min=f(1)=-a=—,/-a=--［舍)，

7?

22~

②若aW-e,則x+aWO,即f'(x)W。在［1,e］上恒成立,

此時f(x)在［1,e］上遞減，

H3Q

f(x)min=f(e)=1--=—，a=--(舍)，

e22

③若-e<a<-l,令件