【中考數(shù)學考點專項突破課件】-20.專題五 與多邊形有關的證明和計算

01考點解讀020304考點梳理真題剖析實戰(zhàn)提分專題五與多邊形有關的證明與計算01考點解讀

與多邊形有關的證明及計算是中考的必考內(nèi)容之一,通常以填空題、選擇題的形式單獨出現(xiàn),或結合三角形、相似形、三角函數(shù)等知識以計算題、證明題的形式綜合考查.這類問題的主要考查內(nèi)容有:(1)求多邊形的內(nèi)外角和、邊數(shù);(2)平行四邊形的性質與判定;(3)特殊平行四邊形的性質與判定;(4)正多邊形和圓.02考點梳理1.解決多邊形內(nèi)、外角和及邊數(shù)的有關問題,其關鍵是抓住多邊形的內(nèi)外角和定理及公式,多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關系是(n-2)·180°,它隨邊數(shù)的變化而變化;而任意多邊形的外角和都是360°,不隨邊數(shù)的改變而改變.2.四邊形問題主要涉及平行四邊形、矩形、菱形、正方形等,解決這類問題時要熟知各種圖形的性質與判定,有時還需要三角形的相關知識,因此能把所學的各種知識融會貫通、靈活運用是解決此類問題的關鍵.3.正多邊形和圓關系密切,任何正多邊形都有一個外接圓.正n邊形的每個內(nèi)角都是,中心角是.在遇到正多邊形與圓的有關問題時,常用數(shù)形結合思想與轉化思想來解決.5．解法指津：（1）計算一個數(shù)的0次冪，直接根據(jù)其法則a0=1，但一定要注意底數(shù)a≠0．（2）計算負指數(shù)冪時，要記得法則為：，即先把負整數(shù)指數(shù)冪變?yōu)檎麛?shù)指數(shù)冪再計算．（3）特殊角的三角函數(shù)的記憶可借助一副三角板：含30°角的三角板三邊之比為1::2；含45°角的三角板三邊之比為1:1:．（4）根式的化簡，將被開方數(shù)拆分成一個平方數(shù)和某個數(shù)字的乘積，然后將平方數(shù)開方放到根號外面．（5）乘方時要注意先確定乘方結果的符號，負數(shù)的偶次方為正，負數(shù)的奇次方為負；負數(shù)的乘方底數(shù)是加括號的，如：-22≠(-2)2，-22底數(shù)為2，(-2)2底數(shù)是-2．（6）在分式的加減運算中，如需要通分時，一定要先把分母可以分解因式的多項式分解因式后再找最簡公分母，分式的乘除運算中，需要約分時，也要先把可以分解因式的多項式先分解因式再約分．（7）在實數(shù)的混合運算中，要特別注意其運算順序：先乘方、開方，再乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的．另外，運算過程有加減法的可以統(tǒng)一成加法，有乘除法的將其統(tǒng)一成乘法．

4.解法指津:(1)求多邊形內(nèi)、外角和及邊數(shù)時,一定要熟記公式,很多情況下都是通過公式建立方程,然后通過解方程使問題得到解決.(2)證明一個四邊形是平行四邊形的方法很多,可以分別從邊、角、對角線三個方面找關系:兩組對邊分別平行、兩組對角分別相等、一組對邊平行且相等;兩組對角分別相等;對角線互相平分等等.應用平行四邊形的性質計算邊長或角度時,結合圖形和已知條件,構建全等三角形,很容易找到解題的方向.(3)矩形、菱形都是特殊的平行四邊形,它們都具有平行四邊形的所有性質.要證明一個四邊形是矩形或菱形,可以從邊、角及對角線三方面入手.由于矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰直角三角形,并且分成的四個等腰三角形的面積相等;菱形的兩條對角線把菱形分成四個全等的直角三角形,因此,在解答矩形和菱形的有關計算問題時,常常要轉化為三角形的問題來求解.5．解法指津：（1）計算一個數(shù)的0次冪，直接根據(jù)其法則a0=1，但一定要注意底數(shù)a≠0．（2）計算負指數(shù)冪時，要記得法則為：，即先把負整數(shù)指數(shù)冪變?yōu)檎麛?shù)指數(shù)冪再計算．（3）特殊角的三角函數(shù)的記憶可借助一副三角板：含30°角的三角板三邊之比為1::2；含45°角的三角板三邊之比為1:1:．（4）根式的化簡，將被開方數(shù)拆分成一個平方數(shù)和某個數(shù)字的乘積，然后將平方數(shù)開方放到根號外面．（5）乘方時要注意先確定乘方結果的符號，負數(shù)的偶次方為正，負數(shù)的奇次方為負；負數(shù)的乘方底數(shù)是加括號的，如：-22≠(-2)2，-22底數(shù)為2，(-2)2底數(shù)是-2．（6）在分式的加減運算中，如需要通分時，一定要先把分母可以分解因式的多項式分解因式后再找最簡公分母，分式的乘除運算中，需要約分時，也要先把可以分解因式的多項式先分解因式再約分．（7）在實數(shù)的混合運算中，要特別注意其運算順序：先乘方、開方，再乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的．另外，運算過程有加減法的可以統(tǒng)一成加法，有乘除法的將其統(tǒng)一成乘法．

4.解法指津:(4)正方形是特殊的平行四邊形,它既是平行四邊形又是矩形和菱形,因此它具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質.所以,要證明一個四邊形是正方形,應首先考慮這個四邊形是平行四邊形還是矩形或菱形,然后選擇相應的判定方法,尋找判定正方形所需的條件.在解答正方形的有關計算問題時,其有效方法同樣是轉化為三角形的問題來求解.(5)解決正多邊形與圓的有關問題時,要從圖形的特征和正多邊形的性質等出發(fā)尋找數(shù)量關系,通過作正n邊形的半徑和邊心距,把正n邊形分成2n個直角三角形,即正多邊形的有關計算一般都轉化到直角三角形中進行,再利用勾股定理、三角函數(shù)求解.03真題剖析【感悟】在進行實數(shù)的運算時，掌握運算的先后順序是解題的關鍵.真題剖析考點1：求多邊形的內(nèi)角和、外角和以及邊數(shù)【例1】(2017·山東臨沂)一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍,這個多邊形是().(A)四邊形(B)五邊形(C)六邊形(D)八邊形【點撥與解答】根據(jù)已知條件可求得多邊形的內(nèi)角和為720°,然后由多邊形內(nèi)角和公式即可求得多邊形的邊數(shù).【解】∵多邊形的外角和為360°,而內(nèi)角和是外角和的2倍,∴內(nèi)角和為360°×2=720°.由多邊形的內(nèi)角和公式,得(n-2)·180°=720°.解得n=6,所以是六邊形.故選C.【感悟】牢固掌握相關公式是解決多邊形邊與角問題的關鍵.【感悟】在進行實數(shù)的運算時，掌握運算的先后順序是解題的關鍵.真題剖析考點2：平行四邊形的性質與判定（高頻考點）

【例2】(2018·湖南永州)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,以線段AB為邊向外作等邊△ABD,點E是線段AB的中點,連接CE并延長交線段AD于點F.(1)求證:四邊形BCFD為平行四邊形;(2)若AB=6,求平行四邊形BCFD的面積.【點撥與解答】本題考查平行四邊形的判定和性質、直角三角形斜邊中線定理、等邊三角形的性質、解直角三角形、勾股定理等知識,正確尋找全等三角形是解決本題的關鍵.(1)在Rt△ABC中,E為AB的中點,則CE=AB,BE=AB,∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC,得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°,得∠AFE=∠D=60°,∴FC∥BD.又∵∠BAD=∠ABC=60°,∴AD∥BC,即FD∥BC.則四邊形BCFD是平行四邊形.(2)在Rt△ABC中,求出BC,AC即可解決問題.【感悟】在進行實數(shù)的運算時，掌握運算的先后順序是解題的關鍵.真題剖析考點2：平行四邊形的性質與判定（高頻考點）

【例2】(2018·湖南永州)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,以線段AB為邊向外作等邊△ABD,點E是線段AB的中點,連接CE并延長交線段AD于點F.(1)求證:四邊形BCFD為平行四邊形;(2)若AB=6,求平行四邊形BCFD的面積.【解】(1)證明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∴∠ABC=60°.在等邊△ABD中,∠BAD=60°,∴∠BAD=∠ABC=60°.∵E為AB的中點,∴AE=BE.又∵∠AEF=∠BEC,∴△AEF≌△BEC.在△ABC

中,∠ACB=90°,E為AB的中點,∴CE=AB,BE=AB.【感悟】在進行實數(shù)的運算時，掌握運算的先后順序是解題的關鍵.真題剖析考點2：平行四邊形的性質與判定（高頻考點）

【例2】(2018·湖南永州)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,以線段AB為邊向外作等邊△ABD,點E是線段AB的中點,連接CE并延長交線段AD于點F.(1)求證:四邊形BCFD為平行四邊形;(2)若AB=6,求平行四邊形BCFD的面積.∴CE=AE.∴∠EAC=∠ECA=30°.∴∠BCE=∠EBC=60°.又∵△AEF≌△BEC,∴∠AFE=∠BCE=60°.又∵∠D=60°,∴∠AFE=∠D=60°.∴FC∥BD.又∵∠BAD=∠ABC=60°,∴AD∥BC,即FD∥BC.∴四邊形BCFD

是平行四邊形.(2)解:在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AB=6,∴BC=AB=3,AC=BC=,∴S?BCFD

=3×=.【感悟】熟練掌握平行四邊形的判定是解決此類問題的關鍵.【感悟】在進行實數(shù)的運算時，掌握運算的先后順序是解題的關鍵.真題剖析考點3：特殊平行四邊形的性質與判定（高頻考點）

【例3】(2020·河南)如圖,在邊長為的正方形ABCD中,點E,F分別是邊AB,BC的中點,連接EC,FD,點G,H分別是EC,FD的中點,連接GH,則GH的長度為

.【點撥與解答】本題主要考查了正方形的判定與性質,三角形的中位線與勾股定理等知識,正確作出輔助線是解答此題的關鍵.過點E作EP⊥DC,過點G作GQ⊥DC,過點H作HR⊥BC,HR與GQ相交于I,分別求出HI和GI的長,再在Rt△HIG利用勾股定理即可求解.【感悟】在進行實數(shù)的運算時，掌握運算的先后順序是解題的關鍵.真題剖析考點3：特殊平行四邊形的性質與判定（高頻考點）

【例3】(2020·河南)如圖,在邊長為的正方形ABCD中,點E,F分別AB,BC的中點,連接EC,FD,點G,H分別是EC,FD的中點,連接GH,則GH的長度為

.【解】過E作EP⊥DC,過G作GQ⊥DC,過

H作HR⊥BC,垂足分別為

P,Q,R,HR

與GQ相交于I.∵四邊形

ABCD

是正方形,∴AB=AD=DC=BC=.∴∠A=∠ADC=90°.∴四邊形AEPD

是矩形.∴EP=AD=.∵點E,F

分別是AB,BC邊的中點,∴PC=DC=,FC=BC=.∵EP⊥DC,GQ⊥DC,∴GQ∥EP.∵點G是EC的中點,∴GQ是△EPC的中位線∴GQ=EP=.同理可求:HR=.由作圖可知四邊形HIQP是矩形,又HP=FC,HI=HR=PC,而FC=PC,【感悟】在進行實數(shù)的運算時，掌握運算的先后順序是解題的關鍵.真題剖析考點3：特殊平行四邊形的性質與判定（高頻考點）

【例3】(2020·河南)如圖,在邊長為的正方形ABCD中,點E,F分別AB,BC的中點,連接EC,FD,點G,H分別是EC,FD的中點,連接GH,則GH的長度為

.∴HI=HP.∴四邊形HIQP是正方形.∴IQ=HP=.∴GI=GQ-IQ=-==HI.∴△HIG是等腰直角三角形.∴GH=HI=1.【感悟】理清矩形、正方形、菱形與平行四邊形間的關系是解決特殊平行四邊形問題的關鍵.【感悟】在進行實數(shù)的運算時，掌握運算的先后順序是解題的關鍵.真題剖析考點4：正多邊形和圓

【例4】(2017·湖南岳陽)我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)立了“割圓術”,他認為圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時,周長就越接近圓周長,由此求得了圓周率π的近似值.設半徑為r的圓內(nèi)接正n邊形的周長為L,圓的直徑為d.如圖所示,當n=6時,π≈==3,那么當n=12時,π≈=

(結果精確到0.01,參考數(shù)據(jù):sin15°=cos75°≈0.259).【點撥與解答】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質,如圖所示,圓的內(nèi)接正十二邊形被半徑分成12個等腰三角形,求出等腰三角形的頂角(即正多邊形的中心角)為30°,從而求出底角為75°.過點B作BC⊥AO于點C,求出∠ABC=15°,然后解Rt△ABC得出正十二邊形的邊長AB(用含r的代數(shù)式表示),再根據(jù)d=2r,代入π≈即可求得答案.【感悟】在進行實數(shù)的運算時，掌握運算的先后順序是解題的關鍵.真題剖析考點4：正多邊形和圓

【例4】(2017·湖南岳陽)我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)立了“割圓術”,認為圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時,周長就越接近圓周長,由此求得了圓周率π的近似值.設半徑為r的圓內(nèi)接正n邊形的周長為L,圓的直徑為d.如圖所示,當n=6時,π≈==3,那么當n=12時,π≈=

(結果精確到0.01,參考數(shù)據(jù):sin15°=cos75°≈0.259).【解】圓的內(nèi)接正十二邊形被半徑分成12個等腰三角形,其中一個三角形如圖.該三角形頂角為30°,即∠O=30°,∠ABO=∠A=75°.作

BC⊥AO于點C,則∠ABC=15°.∵AO=BO=r,∴BC=r,OC=r.∴AC=.在Rt△ABC

中,cosA=,即0.259=,【感悟】在進行實數(shù)的運算時，掌握運算的先后順序是解題的關鍵.真題剖析考點4：正多邊形和圓

【例4】(2017·湖南岳陽)我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)立了“割圓術”,認為圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時,周長就越接近圓周長,由此求得了圓周率π的近似值.設半徑為r的圓內(nèi)接正n邊形的周長為L,圓的直徑為d.如圖所示,當n=6時,π≈==3,那么當n=12時,π≈=

(結果精確到0.01,參考數(shù)據(jù):sin15°=cos75°≈0.259).∴AB≈0.517r.∴L=12×0.517r=6.204r.又∵d=2r,∴π≈=≈3.10【感悟】把多邊形轉化為三角形是解決多邊形問題的重要思想方法.04實戰(zhàn)提分1.(2016·廣西柳州)在四邊形ABCD中,若∠A+∠B+∠C=260°,則∠D的度數(shù)為().(A)120°(B)110°(C)100°(D)40°基礎過關2.(2019·遼寧鞍山)如圖,某人從點A出發(fā),前進8m后向右轉60°,再前進8m后又向右轉60°,按照這樣的方式一直走下去,當他第一次回到出發(fā)點A時,共走了().(A)24m(B)32m(C)40m(D)48mDB基礎過關3.(2020·內(nèi)蒙古通遼)如圖,AD是△ABC的中線,四邊形ADCE是平行四邊形,增加下列條件,能判斷?ADCE是菱形的是().(A)∠BAC=90°(B)∠DAE=90°(C)AB=AC(D)AB=AE4.(2019·湖南婁底)順次連接菱形四邊中點得到的四邊形().(A)平行四邊形(B)菱形(C)矩形(D)正方形AC基礎過關A基礎過關6.(2018·湖南株洲)如圖,矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,AC=10,P,Q分別為AO,AD的中點,則PQ的長度為

.2.5基礎過關7.(2019·山東棗莊)用一條寬度相等的足夠長的紙條打一個結(如圖1所示),然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形ABCDE.圖中,∠BAC=°.8.(2020·江蘇徐州)如圖,A、B、C、D為一個正多邊形的頂點,O為正多邊形的中心,若∠ADB=18°,則這個正多邊形的邊數(shù)為

.3610拓展提升D2.(2020·寧夏)如圖,菱形ABCD的邊長為13,對角線AC=24,點E、F分別是邊CD、BC的中點,連接EF