高考橢圓幾種題型

第第頁高考橢圓幾種題型―引言在高考之中占有比較重要的地位，并且占的分?jǐn)?shù)也多。分析歷年的高考試題，在選擇題，填空題，大題都有橢圓的題。所以我們對(duì)知識(shí)必須系統(tǒng)的掌握。對(duì)各種題型，基本的解題方法也要有一定的了解。二橢圓的知識(shí)（一）、定義1平面內(nèi)與與定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于定長2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，其中F1、F2稱為橢圓的焦點(diǎn)，|F1F2|稱為焦距。其復(fù)數(shù)形式的方程為|Z-Z1|+|Z-Z2|=2a(2a>|Z1-Z2|)2一動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和它到一條直線的距離之比是一個(gè)大于0小于1的常數(shù)，則這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓，其中F稱為橢圓的焦點(diǎn)，l稱為橢圓的準(zhǔn)線。（二）、方程1中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：2中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上：3參數(shù)方程：4一般方程：（三）、性質(zhì)1頂點(diǎn)：或2對(duì)稱性：關(guān)于，軸均對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱。3離心率：4準(zhǔn)線5焦半徑：設(shè)為上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為左、右焦點(diǎn)，則，；設(shè)為上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為下、上焦點(diǎn)，則，。三橢圓題型（一）橢圓定義1.橢圓定義的應(yīng)用例1橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．分析：題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置．解：（1）當(dāng)為長軸端點(diǎn)時(shí)，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)，給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況．例2已知橢圓的離心率，求的值．分析：分兩種情況進(jìn)行討論．解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，得．由，得．當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，得．由，得，即．∴滿足條件的或．說明：本題易出現(xiàn)漏解．排除錯(cuò)誤的辦法是：因?yàn)榕c9的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點(diǎn)可能在軸上，也可能在軸上．故必須進(jìn)行討論．已知方程表示橢圓，求的取值范圍．解：由得，且．∴滿足條件的的取值范圍是，且．說明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：由得，故的取值范圍是．出錯(cuò)的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個(gè)條件，當(dāng)時(shí)，并不表示橢圓．已知表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍．分析：依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系．再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍．合，就能簡捷求解．解：如上圖，，，，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，由，，∴，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)、、共線．由，∴，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)、、共線．建立、的直線方程，解方程組得兩交點(diǎn)、．綜上所述，點(diǎn)與重合時(shí)，取最小值，點(diǎn)與重合時(shí)，取最大值．（三）、直線與橢圓相交問題(1)常用分析一元二次議程解的情況，僅有△還不夠，且用數(shù)形結(jié)合的思想。(2)弦的中點(diǎn)，弦長等，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，但△>0這一制約條件不同意。例1.已知直線過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，斜率為2，與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，求弦的長。解：由得。方法一：由弦長公式方法二：例2已知長軸為12，短軸長為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過它對(duì)的左焦點(diǎn)作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長．分析：可以利用弦長公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來求．解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解．．因?yàn)?，，所以．因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為，左焦點(diǎn)，從而直線方程為．由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：．設(shè)，為方程兩根，所以，，，從而．(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解．由題意可知橢圓方程為，設(shè)，，則，．在中，，即；所以．同理在中，用余弦定理得，所以．(法3)利用焦半徑求解．先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，，它們分別是，的橫坐標(biāo)．再根據(jù)焦半徑，，從而求出（四）、“點(diǎn)差法”解題?！霸O(shè)而不求”的思想。當(dāng)涉及至平行法的中點(diǎn)軌跡，過定點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡，過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在直線方程，用“點(diǎn)差法”來求解。步驟：1.設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2)分別代入橢圓方程；2.設(shè)為AB的中點(diǎn)。兩式相減，3.得出注：一般的，對(duì)橢圓上弦及中點(diǎn)，，有說明：（1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡．（2）解法二是“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率．（3）有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法”．有關(guān)二次曲線問題也適用．例1已知橢圓，（1）求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線、斜率滿足，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．分析：此題中四問都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法．解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)，則①－②得．由題意知，則上式兩端同除以，有，將③④代入得．⑤（1）將，代入⑤，得，故所求直線方程為：．⑥將⑥代入橢圓方程得，符合題意，為所求．（2）將代入⑤得所求軌跡方程為：．（橢圓內(nèi)部分）（3）將代入⑤得所求軌跡方程為：．（橢圓內(nèi)部分）（4）由①＋②得：，⑦，將③④平方并整理得，⑧，，⑨將⑧⑨代入⑦得：，⑩再將代入⑩式得：，即．此即為所求軌跡方程．當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決．例2已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程．解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得，∴，，，∴，∴為所求．例5分析：已知是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線的方程．本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題．通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出，(或，)的值代入計(jì)算即得．并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的．解：方法一：設(shè)所求直線方程為．代入橢圓方程，整理得①設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，，則、是①的兩根，∴∵為中點(diǎn)，∴，．∴所求直線方程為．方法二：設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)，．∵為中點(diǎn)，∴，．又∵，在橢圓上，∴，兩式相減得，即．∴．∴直線方程為．方法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，另一個(gè)交點(diǎn)．∵、在橢圓上，∴①。②從而，在方程①－②的圖形上，而過、的直線只有一條，∴直線方程為．（五）、軌跡問題這一問題難，但是解決法非常多，有如下幾種。1.直接法：根據(jù)條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)(x，y)，直接列出動(dòng)點(diǎn)所應(yīng)滿足的方程。2.代入法：一個(gè)是動(dòng)點(diǎn)Q(x0,y0)在已知曲線F(x,y)=0，上運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與Q點(diǎn)滿足某種關(guān)系，要求P點(diǎn)的軌跡。其關(guān)鍵是列出P、Q兩點(diǎn)的關(guān)系式3.定義法：通過對(duì)軌跡點(diǎn)的分析