高考球類型及例題

高考球類型及例題球定義球面距離經(jīng)度緯度：此類題主要目的在于明確經(jīng)度和緯度概念，注意及利用圓的有關(guān)性質(zhì)，弧長公式，球的截面的性質(zhì)等球截面：涉及到球的截面的問題，總是使用關(guān)系式解題，我們可以通過兩個(gè)量求第三個(gè)量，也可能是抓三個(gè)量之間的其它關(guān)系，求三個(gè)量．球內(nèi)接多面體：解決與球有關(guān)的接、切問題時(shí)，一般作一個(gè)適當(dāng)?shù)慕孛?，將問題轉(zhuǎn)化為平面問題多面體內(nèi)切球、：解決有關(guān)幾何體接切的問題，如何選取截面是個(gè)關(guān)鍵．5、球與球外切：球心是決定球的位置關(guān)鍵點(diǎn)，本題利用球心到正三棱錐四個(gè)面的距離相等且為球半徑來求出，以球心的位置特點(diǎn)來抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問題常用的方法．比總之：通過此類題目，明確球的有關(guān)計(jì)算問題需先將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，進(jìn)一步熟悉有關(guān)圓的基礎(chǔ)知識(shí)，熟練使用方程思想，合理設(shè)元，列式，求解．類型例題一球定義例1過球面上兩點(diǎn)作球的大圓，可能的個(gè)數(shù)是（）．A．有且只有一個(gè)B．一個(gè)或無窮多個(gè)C．無數(shù)個(gè)D．以上均不正確分析：對球面上兩點(diǎn)及球心這三點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論．當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，可以作一個(gè)大圓；當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可作無數(shù)個(gè)大圓，故選B．答案：B說明：解此易選出錯(cuò)誤判斷A．其原因是忽視球心的位置．類型例題二球面距離經(jīng)度緯度例1．已知地球的半徑為，球面上兩點(diǎn)都在北緯45圈上，它們的球面距離為，點(diǎn)在東經(jīng)30上，求點(diǎn)的位置及兩點(diǎn)所在其緯線圈上所對應(yīng)的劣弧的長度．分析：求點(diǎn)的位置，如圖就是求的大小，只需求出弦的長度．對于應(yīng)把它放在中求解，根據(jù)球面距離概念計(jì)算即可．解：如圖，設(shè)球心為，北緯45圈的中心為，由兩點(diǎn)的球面距離為，所以=，為等邊三角形．于是．由，．即=．又點(diǎn)在東經(jīng)30上，故的位置在東經(jīng)120，北緯45或者西經(jīng)60，北緯45．兩點(diǎn)在其緯線圈上所對應(yīng)的劣?。f明：此題主要目的在于明確經(jīng)度和緯度概念，及利用球的截面的性質(zhì)和圓的有關(guān)性質(zhì)設(shè)計(jì)計(jì)算方案．類型例題三球截面例1在球心同側(cè)有相距的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為和．求球的表面積．分析：可畫出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)，求球的半徑．解：如圖為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，，且若、分別為兩截面圓的圓心，則，．設(shè)球的半徑為．∵，∴同理，∴設(shè)，則．在中，；在中，，分析：此題欲計(jì)算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個(gè)封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)．解：以為從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，則另外四個(gè)頂點(diǎn)必在球面上，故長方體是球的內(nèi)接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑．=．說明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計(jì)算．例2半徑為的球內(nèi)接一個(gè)各棱長都相等的四棱錐．求該四棱錐的體積．分析：四棱錐的體積由它的底面積和高確定，只需找到底面、高與球半徑的關(guān)系即可，解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是如何選取截面，如圖所示．解：∵棱錐底面各邊相等，∴底面是菱形．∵棱錐側(cè)棱都相等，∴側(cè)棱在底面上射影都相等，即底面有外接圓．∴底面是正方形，且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面中心，此棱錐是正棱錐．過該棱錐對角面作截面，設(shè)棱長為，則底面對角線，故截面是等腰直角三角形．又因?yàn)槭乔虻拇髨A的內(nèi)接三角形，所以，即．∴高，體積．說明：在作四棱錐的截面時(shí)，容易誤認(rèn)為截面是正三角形，如果作平等于底面一邊的對稱截面（過棱錐頂點(diǎn)，底面中心，且與底面一邊平行），可得一個(gè)腰長為斜高、底為底面邊長的等腰三角形，但這一等腰三角形并不是外接球大圓的內(nèi)接三角形．可見，解決有關(guān)幾何體接切的問題，如何選取截面是個(gè)關(guān)鍵．解決此類問題的方法通常是先確定多面體的棱長（或高或某個(gè)截面內(nèi)的元素）與球半徑的關(guān)系，再進(jìn)一步求解．例3在球面上有四個(gè)點(diǎn)、、、，如果、、兩兩互相垂直，且．求這個(gè)球的表面積．分析：，因而求球的表面關(guān)鍵在于求出球的半徑．解：設(shè)過、、三點(diǎn)的球的截面半徑為，球心到該圓面的距離為，則．由題意知、、、四點(diǎn)不共面，因而是以這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐（如圖所示）．的外接圓是球的截面圓．由、、互相垂直知，在面上的射影是的垂心，又，所以也是的外心，所以為等邊三角形，且邊長為，是其中心，從而也是截面圓的圓心．據(jù)球的截面的性質(zhì)，有垂直于⊙所在平面，因此、、共線，三棱錐是高為的球內(nèi)接正三棱錐，從而．由已知得，，所以，可求得，∴．說明：涉及到球與圓柱、圓錐、圓臺(tái)切接問題，一般作其軸截面；涉及到球與棱柱、棱錐、棱臺(tái)的切接問題，一般過球心及多面體中特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問題化為平面問題，進(jìn)而利用平面幾何的知識(shí)尋找?guī)缀误w元素間的關(guān)系．例4球面上有三點(diǎn)、、組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中，、，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積．分析：求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內(nèi)接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關(guān)系式求出球半徑．解：∵，，，∴，是以為斜邊的直角三角形．∴的外接圓的半徑為，即截面圓的半徑，又球心到截面的距離為，∴，得．∴球的表面積為．說明：涉及到球的截面的問題，總是使用關(guān)系式解題，我們可以通過兩個(gè)量求第三個(gè)量，也可能是抓三個(gè)量之間的其它關(guān)系，求三個(gè)量．例如，過球表面上一點(diǎn)引三條長度相等的弦、、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長度．由條件可抓住是正四面體，、、、為球上四點(diǎn)，則球心在正四面體中心，設(shè)，則截面與球心的距離，過點(diǎn)、、的截面圓半徑，所以得．例5正三棱錐的側(cè)棱長為，兩側(cè)棱的夾角為，求它的外接球的體積．分析：求球半徑，是解本題的關(guān)鍵．解：如圖，作底面于，則為正的中心．∵底面，∴、、三點(diǎn)共線．∵，．∴．∴，設(shè)，作于，在中，∵，又，∴．在中，∵，∴．說明：解決與球有關(guān)的接、切問題時(shí)，一般作一個(gè)適當(dāng)?shù)慕孛?，將問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決，這類截面通常指圓錐的軸截面、球的大圓、多面體的對角面等，在這個(gè)截面中應(yīng)包括每個(gè)幾何體的主要元素，且這個(gè)截面必須能反映出體和體之間的主要位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．類型例題五球外切圖1例1．如圖1所示，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切．（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時(shí)，兩球體積之和最?。畧D1分析：此題的關(guān)鍵在于作截面，一個(gè)球在正方體內(nèi)，學(xué)生一般知道作對角面，而兩個(gè)球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對角線上，故仍需作正方體的對角面，得如圖2的截面圖，在圖2中，觀察與和棱長間的關(guān)系即可．解：如圖2，球心和在上，過，分別作的垂線交于．圖2則由得．圖2，．（1）設(shè)兩球體積之和為，則==當(dāng)時(shí)，有最小值．當(dāng)時(shí)，體積之和有最小值．例2．設(shè)正四面體中，第一個(gè)球是它的內(nèi)切球，第二個(gè)球是它的外接球，求這兩個(gè)球的表面積之比及體積之比．分析：此題求解的第一個(gè)關(guān)鍵是搞清兩個(gè)球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個(gè)關(guān)鍵是兩個(gè)球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來解決的．解：如圖，正四面體的中心為，的中心為，則第一個(gè)球半徑為正四面體的中心到各面的距離，第二個(gè)球的半徑為正四面體中心到頂點(diǎn)的距離．設(shè)，正四面體的一個(gè)面的面積為．依題意得，又即．所以．．說明：正四面體與球的接切問題，可通過線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即定有內(nèi)切球的半徑(為正四面體的高)，且外接球的半徑．例3已知棱長為3的正四面體，、是棱、上的點(diǎn)，且，．求四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑．分析：可用何種法求內(nèi)切球半徑，把分成4個(gè)小體積(如圖)．解：設(shè)四面體內(nèi)切球半徑為，球心，外接球半徑，球心，連結(jié)、、、，則．四面體各面的面積為，，．各邊邊長分別為，，∴．∵，，∴，∴．如圖，是直角三角形，其個(gè)心是斜邊的中點(diǎn)．設(shè)中心為，連結(jié)，過作平面的垂線，必在此垂線上，連結(jié)、．∵，，∴，．在直角梯形中，，，，，又∵，∴，解得：．綜上，四面體的內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為．說明：求四面體外接半徑的關(guān)鍵是確定其球心．對此多數(shù)同學(xué)束手無策，而這主要是因本題圖形的背景較復(fù)雜．若把該四面體單獨(dú)移出，則不參發(fā)現(xiàn)其球心在過各面三角形外心且與該三角形所在平面垂直的直線上，另還須注意其球心不一定在四面體內(nèi)部．本題在求四面體內(nèi)切球半徑時(shí)，將該四面體分割為以球心為頂點(diǎn)，各面為底面的四個(gè)三棱錐，通過其體積關(guān)系求得半徑．這樣分割的思想方法應(yīng)給予重視．例4一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個(gè)半徑為的鐵球，這時(shí)水面恰好和球面相切．問將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？分析：先作出軸截面，弄清楚圓錐和球相切時(shí)的位置特征，利用鐵球取出后，錐內(nèi)下降部分(圓臺(tái))的體積等于球的體積，列式求解．解：如圖，作軸截面，設(shè)球未取出時(shí)，水面高，球取出后，水面高．∵，，則以為底面直徑的圓錐容積為，．球取出后，水面下降到，水的體積為．又，則，解得．答：球取出后，圓錐內(nèi)水平面高為．說明：抓住水的何種不變這個(gè)關(guān)鍵，本題迅速獲解．例5正三棱錐的高為1，底面邊長為，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切．求球的表面積與體積．分析：球與正三棱錐四個(gè)面相切，實(shí)際上，球是正三棱錐的內(nèi)切球，球心到正三棱錐的四個(gè)面的距離相等，都為球半徑．這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，而點(diǎn)面距離?？梢杂玫润w積法解決．解：如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個(gè)面的距離都是球的半徑．是正三棱錐的高，即．是邊中點(diǎn)，在上，的邊長為，∴．∴可以得到．由等體積法，∴得：，∴．∴．說明：球心是決定球的位置關(guān)鍵點(diǎn)，本題利用球心到正三棱錐四個(gè)面的距離相等且為球半徑來求出，以球心的位置特點(diǎn)來抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問題常用的方法．比如：四個(gè)半徑為的球兩兩外切，其中三個(gè)放在桌面上，第四個(gè)球放在這三個(gè)球之上，則第四個(gè)球離