5.5.2 簡單的三角恒等變換（5大題型）精講（原卷版）

簡單的三角恒等變換重點：能用兩角和與差公式、二倍角公式、積化和差、和差化積、半角公式進行簡單的恒等變換，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)；難點：能利用三角恒等變換對三角函數(shù)化簡、求值，并能進行一些簡單的應(yīng)用。一、升（降）冪縮（擴）角公式利用余弦的二倍角公式變形可得：升冪公式：，降冪公式：，二、半角公式（只要求推導(dǎo)，不要求記憶）＝±，＝±，以上三個公式分別稱作半角正弦、余弦、正切公式，它們是用無理式表示的．；以上兩個公式稱作半角正切的有理式表示．三、積化和差與和差化積公式1、積化和差2、和差化積四、輔助角公式對于形如的式子，可變形如下：=由于上式中和的平方和為1，故令，則==其中角所在象限由的符號確定，角的值由確定，或由和共同確定．五、萬能公式；；六、三角函數(shù)化簡“三看”原則七、三角恒等變換綜合應(yīng)用的解題思路（1）將化為的形式；（2）構(gòu)造（3）和角公式逆用，得(其中φ為輔助角)；（4）利用研究三角函數(shù)的性質(zhì)；（5）反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范．題型一半角公式與萬能公式的應(yīng)用【例1】（2023下·高一課時練習(xí)）若，且為第一象限角，則（）A．B．C．D．【變式11】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為銳角，，則（）．A．B．C．D．【變式12】（2023·江蘇南京·高一寧海中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，且，則（）A．B．C．D．或【變式13】（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測）已知，則．題型二積化和差與和差化積的應(yīng)用【例2】（2023·全國·高一課時練習(xí)）的值是（）A．B．C．D．1【變式21】（2022·全國·高一課時練習(xí)）（）A．+cos4xB．sin4xC．+cos4xD．+sin4x【變式22】（2023·全國·高一課時練習(xí)）若，，則的值為（）A．2B．C．－2D．【變式23】（2023·全國·高一課時練習(xí)）把下列各式化成積的形式：（1）；（2）；（3）；（4）．題型三輔助角公式及其應(yīng)用【例3】（2023·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）求值：（）A．0B．C．2D．【變式31】（2023·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是（）A．πB．C．2πD．【變式32】（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)，的最小值為．【變式33】（2023·全國·高一課時練習(xí)）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．題型四三角恒等變換的化簡問題【例4】（2023·河北石家莊·高一石家莊市第二十一中學(xué)?？计谥校┑扔冢ǎ〢．1B．2C．D．【變式41】（2023·陜西商洛·高一鎮(zhèn)安中學(xué)?？计谥校┗啠海咀兪?2】（2023·江蘇徐州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）化簡：（2）化簡：．【變式43】（2023·河北石家莊·高一石家莊市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計算.（1）求的值；（2）化簡.題型五三角形中的三角恒等變換【例5】（2023·江西吉安·高一峽江中學(xué)校考期末）在△ABC中，若，則△ABC是（）A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【變式51】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，若，則此三角形為（）A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【變式52】（2023·重慶·高一重慶南開中學(xué)?？计谥校┰谥?，，則的形狀為（）A．等邊三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形【變式53】（2023