考點02 復數(shù)（解析版）-2024年新高考藝體生一輪復習

考點02復數(shù)一．復數(shù)的有關概念1.定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，a叫做復數(shù)z的實部，b叫做復數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位)規(guī)定：i2=1復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實數(shù)（b＝0），,虛數(shù)（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)（a＝0，b≠0），,非純虛數(shù)（a≠0，b≠0）.))))3.復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)實部等于實部，虛部等于虛部（實同虛反）4.共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)實部相同，虛部相反數(shù)5.模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數(shù)z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)實虛勾股注意：z1?二．復數(shù)的幾何意義復數(shù)z＝a＋bi與復平面內的點Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系．橫實縱虛三．復數(shù)的運算1.運算法則：設，則①加法：；②減法：；③乘法：；④除法：方法總結：復數(shù)問題實際就是實部與虛部問題，所以只考復數(shù)只要把復數(shù)化簡成復數(shù)的一般形式，然后代入相應的公式即可。四．易錯點1.虛部不含i2.復數(shù)的乘法：復數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．3.復數(shù)的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式，除法則需分母實數(shù)化．4.兩個虛數(shù)不能比較大?。?.注意不能把實數(shù)集中的所有運算法則和運算性質照搬到復數(shù)集中來．例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在復數(shù)范圍內有可能成立．考點一復數(shù)的基本運算【例11】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故選：D.【例12】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】因為，所以，即．故選：A．【例13】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】故選：C.【例14】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，則.故選：B.【例14】（2023·全國·模擬預測）已知復數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，由，所以，即，則.故選：D.【變式】1．（2023·全國·模擬預測）（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故選：C3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由題設有，故，故，故選：D4．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，，所以，，故選：D5．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知：，則，所以：.故A項正確.故選：A.6．（2023·全國·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以.故選：D．考法二復數(shù)的實部與虛部【例21】（2023·全國·模擬預測）已知，則的虛部為（

）A．4 B．2 C． D．【答案】B【解析】，所以，則的虛部為2，故選：B．【例22】（2023云南）已知，且為實數(shù)，則實數(shù)（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】因為為實數(shù)，所以.故選：A【變式】1．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預測）若，則的虛部為（

）A．1 B．1 C． D．【答案】A【解析】設，故，故，得，即，，虛部為1.故選：A.2．（2023·四川南充·四川省南充高級中學校考三模）已知，則復數(shù)的虛部為（

）A．3i B． C．3 D．【答案】D【解析】由，得，所以復數(shù)的虛部為.故選：D3（2023·全國·模擬預測）復數(shù)的實部是（

）A．1 B．－1 C．0 D．【答案】C【解析】，故z的實部為0．故選：C．考點三復數(shù)的分類【例31】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預測）復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值是（

）A．1 B．1 C．0或1 D．0或1【答案】A【解析】因為復數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得：.故選：A.【例32】（2024·廣東）若復數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】依題意，，因，且z是實數(shù)，則，解得，所以實數(shù).故選：A【變式】1（2023·安徽）若為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（

）A．－4 B．2 C．－2 D．4【答案】D【解析】，因為z為純虛數(shù)，所以，則，故選：D．2．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考一模）如果復數(shù)是純虛數(shù)，是虛數(shù)單位，則（

）A．且 B．C． D．或【答案】C【解析】由復數(shù)是純虛數(shù)，得解得:.故選:C.3.（2023·遼寧）設（i為虛數(shù)單位），若為實數(shù)，則a的值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【解析】，因為為實數(shù)，所以，解得.故選：A.考法四復數(shù)相等【例41】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設，則（

）A．1 B．0

· C．1 D．2【答案】C【解析】因為，所以，解得：．故選：C.【例42】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，且，其中a，b為實數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由,結合復數(shù)相等的充要條件為實部、虛部對應相等，得,即故選:【變式】1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，而為實數(shù)，故，故選：B.2（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設，其中為實數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為R，，所以，解得：．故選：A.3．（2023上·江蘇連云港）若復數(shù)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，∵，∴，解得：.故選：A.考法五復數(shù)的幾何意義【例51】．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【解析】由題意可得，則.故選：C.【例52】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在復平面內，對應的點位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因為，則所求復數(shù)對應的點為，位于第一象限.故選：A.【例53】（2023·全國·模擬預測）已知復數(shù)在復平面內對應點的坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知，∴，∴，故選：D．【變式】1.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若．則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，所以．故選：D.2．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）復數(shù)z滿足，則在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】,,對應點的坐標為在第一象限故選：A.3．（2023·湖南）若，則在復平面內對應的點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，，所以在復平面內對應的點的坐標為．故選：A．4．（2023·河北）已知，則在復平面內對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由，得，則，故在復平面內對應的點為，在第一象限．故選：A．考法六復數(shù)范圍內解方程【例6】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）已知復數(shù)是方程的一個根，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由復數(shù)是方程的一個根，得，解得，故選：D.【變式】1．（2023·重慶）若虛數(shù)單位是關于x的方程的一個根，則（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】B【解析】由題，是方程的一個根，所以，即，則，所以，即，所以，選：B2．（2022·山東棗莊·一模）設，是方程在復數(shù)范圍內的兩個解，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由方程得，由求根公式得，不妨設，.，A錯誤；，B錯誤；，C錯誤；，D正確.故選：D.3．（2024黑龍江）復數(shù)滿足，且使得關于的方程有實根，則這樣的復數(shù)的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】設,因為,所以,所以將代入方程整理，因為關于的方程有實根，所以所以當時，解得，此時關于的方程為或，易知方程無實數(shù)根，故舍去，所以；當時，解得，，所以，所以，此時方程有實數(shù)根，滿足條件.綜上，或.故這樣的復數(shù)的個數(shù)為個.故選：C1．（2023上·河北廊坊）（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】.故選：.2．（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預測）設復數(shù)，則其共軛復數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，故.故選：B3．（2023·全國·模擬預測）已知，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以.故選：D．4．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）已知，則在復平面內對應的點在第（

）象限.A．四 B．三 C．二 D．一【答案】A【解析】，則，所以對應點為，在第四象限.故選：A5．（2023·云南大理·統(tǒng)考一模）復平面內，復數(shù)z對應的點的坐標是，則z的共軛復數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】z在復平面對應的點是，根據(jù)復數(shù)的幾何意義得，由共軛復數(shù)的定義可知.故選：D6．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預測）已知復數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以的虛部為.故選：A.7．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預測）若復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故復數(shù)的虛部是.故選：C8．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）復數(shù)滿足，則在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由得，則，即在復平面內對應的點為，位于第四象限，故選：D9．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）若，則（

）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，所以.故選：B.10．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，所以.故選：A11．（2023·山西·?？寄M預測）已知復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由題意可得，則復數(shù)在復平面內對應的點為，該點位于第二象限.故選：B.12．（2023上·廣東佛山·高三統(tǒng)考階段練習）已知復數(shù)與復數(shù)都是純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為是純虛數(shù)，故設（且），又因為是純虛數(shù)，所以且，解得，所以.故選：D．13．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若復數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【解析】由題意有，故．故選：B．14．（2023·全國·模擬預測）若復數(shù)，則（

）A．5 B． C．25 D．【答案】A【解析】由，有，則，所以，故選：A．15．（2023·全國·模擬預測）復數(shù)在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】，所以在復平面內，復數(shù)對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：A．16．（2023·湖南）若，則在復平面內對應的點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，，所以在復平面內對應的點的坐標為．故選：A．17．（2023·全國·模擬預測）已知復數(shù)，則（

）A．13 B． C． D．【答案】B【解析】由題設.故選：B18．（2023·全國·模擬預測）是虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】方法一：由，則，所以.故選：D.方法二：設，則，所以，即，所以，解得，所以.故選：D.19．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）若復數(shù)，，則（

）A．8 B． C．4 D．【答案】A【解析】因為，所以，所以.故選：A.20．（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考一模）已知與互為共軛復數(shù)，則（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】C【解析】因為與互為共軛復數(shù)，所以，，所以．故選：C.21．（2023·新疆·統(tǒng)考三模）已知，其中，為虛數(shù)單位，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】，則，則，解得，故選：D.22．（2023·陜西西安）若，則在復平面內所對應的點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題設有，則，所以在復平面內所對應的點的坐標為．故選：B23．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）已知復數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，．故選：A.24．（2024上·浙江·高三舟山中學校聯(lián)考開學考試）已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為復數(shù)（為虛數(shù)單位），則，因此，.故選：A.25．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）已知復數(shù)z滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以．故選：A26．（2023·全國·模擬預測）已知復數(shù)的共軛復數(shù)是，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則，所以，即，所以，解得，因此，故選：C．27．（2023·上海）若為純虛數(shù)，且，則（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】由為純虛數(shù)，設，則，所以，解得，則，所以，故選：A．28．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學校?？寄M預測）已知復數(shù)在復平面內對應的點在實軸上，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】D【解析】由題意知，，所以復數(shù)z在復平面內對應的點的坐標為，又該點在實軸上，所以，解得，所以，則.故選：D.29（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）已知在復平面內對應的點位于第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】將整理化簡可得，所以復數(shù)在復平面內對應的點坐標為，由點位于第四象限可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A30．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預測）下列關于復數(shù)的說法，正確的是（

）A．復數(shù)是最小的純虛數(shù)B．在復數(shù)范圍內，模為1的復數(shù)共有和四個C．與是一對共軛復數(shù)D．虛軸上的點都表示純虛數(shù)【答案】C【解析】虛數(shù)不能比大小，故A錯誤；對于復數(shù)，但凡滿足，其模均為1，顯然不僅四個，比如時，，故B錯誤；由共軛復數(shù)的定義可知C正確；原點也在虛軸上，但不表示純虛數(shù)，故D錯誤.故選：C1．（2023春·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學?？茧A段練習）已知復數(shù)滿足，則（

）A． B． C．3 D．5【答案】B【解析】由，得，整理得．設，則，所以，，所以，所以.故選：B2．（2022·陜西）已知復數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，，所以，，解得，所以．故選：D．3．（2023春·上海嘉定）復數(shù)z滿足，則下列結論正確的是（

）A． B．C．在復平面內對應的點位于第四象限 D．【答案】D【解析】由可得，所以，故A錯誤；由知，故B錯誤；在復平面內對應的點位于第三象限，故C錯誤；由知，故D正確.故選：D4．（2023春·上海嘉定·高三上海市育才中學?？茧A段練習）復數(shù)z滿足，則下列結論正確的是（

）A． B．C．在復平面內對應的點位于第四象限 D．【答案】D【解析】由可得，所以，故A錯誤；由知，故B錯誤；在復平面內對應的點位于第三象限，故C錯誤；由知，故D正確.故選：D5．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）（多選）若復數(shù)滿足，則（

）A．的虛部為 B．C． D．z在復平面內對應的點位于第四象限【答案】BC