期末典例專練25：等積轉(zhuǎn)化問題-2023-2024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)上冊典型例題系列（解析版）蘇教版

第第頁2023-2024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)上冊典型例題系列期末典例專練25：等積轉(zhuǎn)化問題1．明明在手工社團(tuán)課上用橡皮泥捏各種造型。他先捏了一個長8厘米，寬5厘米，高4厘米的長方體。后又把這塊橡皮泥改造成了一個長10厘米，寬8厘米的長方體，改造后長方體的高是多少厘米？【答案】2厘米【分析】由題意可知，改造前后橡皮泥的體積不變，根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，據(jù)此求出橡皮泥的體積，已知長方體的長和寬，求高，根據(jù)h＝V÷a÷b，據(jù)此代入數(shù)值進(jìn)行計算即可?！驹斀狻?×5×4÷10÷8＝40×4÷10÷8＝160÷10÷8＝16÷8＝2（厘米）答：改造后長方體的高是2厘米。【點睛】本題考查長方體的體積，明確改造前后橡皮泥的體積不變是解題的關(guān)鍵。2．王官村鄉(xiāng)村振興改造公路，工人叔叔把3立方米的瀝青混凝土鋪在一條寬6米的公路上，鋪了5厘米厚，這些混凝土能鋪多少米長的公路？【答案】10米【分析】瀝青混凝土的體積不變，先統(tǒng)一單位，再通過長方體的體積公式：V＝abh，代入數(shù)據(jù)即可求出這些混凝土能鋪多少米長的公路。【詳解】5厘米＝0.05米3÷6÷0.05＝10（米）答：這些混凝土能鋪10米長的公路?！军c睛】此題的解題關(guān)鍵是熟練運用長方體的體積公式求解。3．一個棱長是4分米的正方體魚缸，里面裝滿水，把水倒入一個底面積32平方分米，高6分米的的長方體魚缸里，魚缸里水有多深？【答案】2分米【分析】根據(jù)題意，用正方體玻璃魚缸的棱長求出水的體積，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，長方體魚缸內(nèi)水的深度＝水的體積÷長方體玻璃魚缸的底面積，據(jù)此解答?！驹斀狻?×4×4÷32＝16×4÷32＝64÷32＝2（分米）答：魚缸里水有2分米深。【點睛】靈活運用長方體和正方體的體積計算公式是解答題目的關(guān)鍵。4．中國冶煉鑄鐵的技術(shù)比歐洲早，據(jù)《管子》記載，齊國“斷山木，鼓山鐵”。齊國工匠將一塊棱長是6分米的正方體鐵塊，鍛造成了一個橫截面積是4平方分米的長方體，這個長方體的長是多少分米？【答案】54分米【分析】根據(jù)正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，用6×6×6即可求出正方體鐵塊的體積，把正方體鐵塊鍛造成了一個橫截面積是4平方分米的長方體，根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高＝長×橫截面積，用正方體鐵塊的體積除以4平方分米，即可求出這個長方體的長?！驹斀狻?×6×6÷4＝216÷4＝54（分米）答：這個長方體的長是54分米?！军c睛】本題主要考查正方體體積公式和長方體體積公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握公式。5．有一個完全封閉的容器，里面的長是20厘米，寬是16厘米，高是10厘米，平放時里面裝了8厘米的水。如果把這個容器豎起來放，水的高度是多少？

【答案】16厘米【分析】容器豎起來放之前，容器的底面積是（20×16）平方厘米，水的高度8厘米，利用“長方體的體積＝底面積×高”求出水的體積，容器豎起來放之后，容器內(nèi)水的體積不變，容器的底面積是（10×16）平方厘米，利用“高＝長方體的體積÷底面積”求出此時水的高度，據(jù)此解答?！驹斀狻?0×16×8÷（10×16）＝20×16×8÷160＝320×8÷160＝2560÷160＝16（厘米）答：水的高度是16厘米?！军c睛】掌握長方體的體積計算公式，理解容器豎起來前后容器內(nèi)水的體積不變是解答題目的關(guān)鍵。6．一個棱長為6分米的正方體容器，裝滿水后倒入另一個空的長方體容器中，長方體容器長9分米，寬4分米，高0.8米，這時長方體容器中水面高多少分米？（容器的厚度忽略不計）【答案】6分米【分析】先利用正方體的體積公式：V＝a3，代入數(shù)據(jù)求出水的體積，倒入到長方體容器中，體積不變，利用長方體的體積公式：V＝abh，已知長方體容器長9分米，寬4分米以及水的體積，代入數(shù)據(jù)即可求出水面的高度?！驹斀狻?×6×6＝216（立方分米）216÷9÷4＝6（分米）答：這時長方體容器中水面高6分米?！军c睛】此題的解題關(guān)鍵是抓住水的體積不變，靈活運用長方體和正方體的體積公式求解。7．趙師傅把一塊棱長的正方體鐵塊鍛造成長、寬、高的長方體鐵條，可以鍛造出幾根？【答案】20根【分析】根據(jù)正方體體積公式：體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)，求出棱長是20cm的正方體鐵塊的體積，再根據(jù)長方體體積公式：體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)，求出長方體鐵條的體積，再用正方體的體積除以長方體的體積，即可解答。【詳解】（20×20×20）÷（8×5×10）＝（400×20）÷（40×10）＝8000÷400＝20（根）答：可以鍛造出20根?！军c睛】熟練掌握長方體體積公式和正方體體積公式是解答本題的關(guān)鍵。8．把一個棱長30厘米的正方體鋼坯熔鑄成底面積是675平方厘米的長方體鋼坯，長方體鋼坯的高度是多少厘米？（損耗忽略不計）【答案】40厘米【分析】已知把一個正方體鋼坯熔鑄成長方體鋼坯，鋼坯的形狀變了，體積不變；先根據(jù)正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，求出鋼坯的體積；再根據(jù)長方體的高＝體積÷底面積，代入數(shù)據(jù)計算，求出長方體鋼坯的高度?！驹斀狻空襟w的體積（鋼坯的體積）：30×30×30＝900×30＝27000（立方厘米）長方體的高：27000÷675＝40（厘米）答：長方體鋼坯的高度是40厘米?！军c睛】本題考查正方體體積、長方體體積公式的靈活運用，抓住立體圖形等積變形中的“體積不變”是解題的關(guān)鍵。9．把一個長8厘米、寬4厘米、高2厘米的長方體橡皮泥，捏成一個棱長為4厘米的正方體，長方體和正方體哪個體積大？【答案】長方體和正方體的體積相等【分析】長方體體積＝長×寬×高，正方體體積＝棱長×棱長×棱長，將數(shù)據(jù)代入公式，分別求出長方體和正方體的體積，再比較大小?！驹斀狻块L方體體積：8×4×2＝64（立方厘米）正方體體積：4×4×4＝64（立方厘米）答：長方體和正方體的體積相等。【點睛】本題考查了長方體和正方體的體積，解題關(guān)鍵是熟記公式。10．一個圓錐形沙堆，底面周長是18.84米，高是6米，用這堆沙在15米寬的公路上鋪20厘米厚的路面，能鋪多少米長？【答案】18.84米【分析】根據(jù)圓的周長公式，先求出圓錐形沙堆的底面半徑，再根據(jù)圓錐的體積公式求這個圓錐形沙堆的體積，鋪在路上，體積不變，換算單位后，最后利用長方體的體積公式即可求出能鋪路的長度?！驹斀狻?8.84÷2÷3.14＝3（米）＝＝＝56.52（立方米）20厘米＝0.2米56.52÷15÷0.2＝3.768÷0.2＝18.84（米）答：能鋪18.84米長?！军c睛】此題主要考查等積變形，靈活運用圓錐和長方體的體積公式解決問題。11．一個正方體玻璃缸的棱長是6分米，將它裝滿水，再把水全部倒入一個底面積是30平方分米的長方體玻璃缸中，長方體玻璃缸的水面高度是多少分米？【答案】7.2分米【分析】根據(jù)正方體體積公式：體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)，求出正方體玻璃鋼里水的體積，倒入長方體玻璃鋼中，水的體積不變，根據(jù)長方體體積公式：體積＝底面積×高，高＝體積÷底面積，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?×6×6÷30＝36×6÷30＝216÷30＝7.2（分米）答：長方體玻璃鋼的水面高度是7.2分米?！军c睛】解答本題的關(guān)鍵明確水的體積沒有變，進(jìn)而解答。12．把一個長4分米，寬3分米，高2.5分米的長方體水槽裝滿水，把這些水倒入另一個棱長為5分米的正方體水槽中，水深多少分米？【答案】1.2分米【分析】首先根據(jù)長方體的容積（體積）＝長×寬×高，求出長方體水槽中水的體積，然后用水的體積除以正方體水槽的底面積即可求出水深，據(jù)此解答?！驹斀狻?×3×2.5÷（5×5）＝12×2.5÷25＝30÷25＝1.2（分米）答：水深1.2分米。【點睛】此題主要考查長方體、正方體的體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。13．把一個棱長是9厘米的正方體橡皮泥捏成一個底面積是27平方厘米的長方體，這個長方體的高是多少厘米？【答案】27厘米【分析】根正方體的體積公式可以求得這個橡皮泥的體積，變化成長方體后，體積不變，利用長方體的高＝體積÷底面積即可解決問題?！驹斀狻?×9×9÷27＝81×9÷27＝729÷27＝27（厘米）答：高是27厘米。【點睛】此題考查了正方體與長方體的體積公式的綜合應(yīng)用，抓住變化前后的體積不變，是解決此類問題的關(guān)鍵。14．如圖，一個密閉的長方體容器長15厘米，寬8厘米，高8厘米（容器厚度忽略不計）。向內(nèi)部注入6厘米深的水，然后把容器立起來，這時水面高多少厘米？【答案】11.25厘米【分析】由于體積不變，根據(jù)長方體體積公式：體積＝長×寬×高，先求出長是15厘米，寬是8厘米，高是6厘米的長方體的體積，再除以豎起后的長方體的底面積，即可求出水面的高?！驹斀狻?5×8×6÷（8×8）＝120×6÷64＝720÷64＝11.25（厘米）答：這時水面高11.25厘米?！军c睛】本題考查長方體體積公式的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記公式。15．一個長方體的容器（如圖），里面的水深5厘米。把這個容器蓋緊，豎放后使長10厘米、寬8厘米的面朝下，這時里面的水深多少厘米？【答案】12.5厘米【分析】正放時長方體容積的長是20厘米、寬是10厘米，水深5厘米，根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，求出容器內(nèi)水的體積；因為這個容器是蓋緊的，所以無論正放還是豎放，容器內(nèi)水的體積不變；豎放時，容積的長是10厘米，寬是8厘米，根據(jù)長方體的高＝體積÷（長×寬），求出此時水的深度?！驹斀狻?0×10×5＝1000（立方厘米）1000÷（10×8）＝1000÷80＝12.5（厘米）答：這時里面的水深12.5厘米?！军c睛】抓住立體圖形等積變形中的“體積不變”以及靈活運用長方體的體積公式是解題的關(guān)鍵。16．把一個棱長是10厘米的正方體橡皮泥捏成一個長20厘米，寬10厘米的長方體。這個長方體橡皮泥高是多少厘米？【答案】5厘米【分析】根據(jù)體積的意義，物體所占空間的大小叫做物體的體積。由此可知，把一個正方體的橡皮泥無論捏成什么形狀，體積不變。根據(jù)正方體的體積公式：V＝a3，長方體的體積公式：V＝abh，那么h＝V÷（ab），把數(shù)據(jù)代入公式解答?！驹斀狻?0×10×10÷（20×10）＝1000÷200＝5（厘米）答：這個長方體橡皮泥的高是5厘米?！军c睛】此題主要考查正方體、長方體體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。17．一個正方體的水槽，從里面量棱長4分米，裝滿水后倒入另一個（從里面量）長8分米，寬5分米的長方體水槽內(nèi)，水深多少分米？【答案】1.6分米【分析】根據(jù)題意，正方體的水槽裝滿水，那么水的體積等于正方體的體積，根據(jù)正方體體積＝棱長×棱長×棱長，求出水的體積；再倒入長方體水槽內(nèi)，水的體積不變，根據(jù)長方體的高＝體積÷長÷寬，即可求出水的高度?！驹斀狻空襟w的體積（水的體積）：4×4×4＝16×4＝64（立方分米）水深：64÷8÷5＝8÷5＝1.6（分米）答：水深1.6分米?！军c睛】本題考查正方體積、長方體體積公式的靈活運用，抓住“水的體積不變”是解題的關(guān)鍵。18．一個棱長為30厘米的正方體水箱里盛有25厘米深的水，現(xiàn)把水箱中的水倒一部分到長40厘米，寬40厘米，使得兩個水箱里的水的高度相同，正方體水箱倒出了多少升水？【答案】14.4升【分析】根據(jù)長方體體積公式：體積＝長×寬×高，先求出長是30厘米，寬是30厘米正方體水箱中有水的體積，由于兩個水箱中水的高度相同，用水的體積除以兩個水箱的底面積之和，求出水箱水的高度，再用水的高度×長40厘米，寬40厘米正方體的底面積，求出倒出水的體積，再化成升，即可解答。【詳解】（30×30×25）÷（30×30＋40×40）＝（900×25）÷（900＋1600）＝22500÷2500＝9（厘米）40×40×9＝1600×9＝14400（立方厘米）14400立方厘米＝14.4升答：正方體水箱倒出了14.4升水。【點睛】本題主要考查長方體體積的計算方法，關(guān)鍵是掌握長方體、正方體的體積的計算公式。19．把一塊棱長是0.8分米的正方體鐵塊熔鑄成一個高是5厘米，寬是4厘米的長方體鐵塊，熔鑄后鐵塊的長是多少厘米？【答案】25.6厘米【分析】由題意可知，長方體和正方體的體積相等，利用“正方體的體積＝棱長×棱長×棱長”表示出正方體的體積，再根據(jù)“長＝長方體的體積÷寬÷高”求出熔鑄后鐵塊的長，據(jù)此解答?！驹斀狻?.8分米＝8厘米8×8×8÷5÷4＝512÷5÷4＝102.4÷4＝25.6（厘米）答：熔鑄后鐵塊的長是25.6厘米?！军c睛】本題主要考查正方體、長方體體積公式的運用，理解把正方體鐵塊熔鑄成長方體鐵塊體積不變是解答題目的關(guān)鍵。20．有一個棱長是9分米的正方體鋼錠，要把它熔鑄成一個底面是正