北師大版九年級數(shù)學上冊教學設計：第四章圖形的相似

第四章圖形的相似

1成比例線段

專題綜合運用比例性質(zhì)

1.若上士=?=士，且2a—b+3c=21,求4a—3b+c的值.

346

2.如圖，已知竺求證：AB+BC+CA^AE_

BEMECEBCME

【知識要點】

1.成比例線段：在四條線段a,b,c,d中，如果。與b的比等于c與d的比，我們就把這

四條線段叫做成比例線段.

2.比例的基本性質(zhì)

Z7C

(1)如果石=7那么ad=bc,

(2)如果￡=§,那么b2=ac,

(3)如果"力那么喑=亨?

【溫馨提示】

四條線段的長度單位不統(tǒng)一時，要化成統(tǒng)一的長度單位后，再計算判斷是否成比例，防

止出錯.

【方法技巧】

1.比例式是等式，故可利用等式性質(zhì)將比例式變形.

2.遇到比例式時，可設輔助未知數(shù)即設這些比的比值為％,這種借助另一個未知數(shù)的解

題方法叫輔助未知數(shù)法.

3.利用比例的基本性質(zhì)可求長度，通常是“知三求一”，有時也可以設適當未知數(shù)列方程求

解.

參考答案：

a+2bc+5

1.解：設----=—=-----=k,貝Ia+2=3k,b=4k,c+5=6k,

346

即a=3k—2,b=4k,c=6k—5.

V2a-b+3c=21,A2(3k—2)-4k+3(6k—5)=21,

k-2..?.a=4,b=8,c=7.

.,.4a-3b+c=4x4-3x8+7=-l.

r.TnB..AB_AM_AC.AB+ACAM

BEMECEBE+CEEM

0nAB+ACAM.AB+BC+CAAM+ME

BCMEBCME

即AB+BC+CA-AE

BC~ME

2平行線分線段成比例

專題平行線分線段成比例定理的靈活運用

如圖，AB〃CD、AD〃CE,F、G分別是AC和FD的中點，過G的直線依次交AB、

AD、CD、CE于點M、N、P、Q,求證：MN+PQ=2PN.

【知識要點】

1.兩條直線被一組平行線所截，所得的應對線段成比例。

2.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例。

【方法技巧】

1.當題目中出現(xiàn)三條以上平行線，且求線段的長度或比值時常利用平行線獲得比例線段.

2.證明比例式（或等積式）的常用方法是利用平行線分線段成比例定理，或者通過判定三

角形相似，有時要通過兩次相似的判定，等量代換，尋找中間比等才能得到待證的比例式.

參考答案:

證明：延長BA、EC,設交點為0,則四邊形0ADC為平行四邊形.

是AC的中點，；.DF的延長線必過0點，且99=’.

0G3

MNAN

：AB〃CD,?_______

"￥N-DN

?

；AD〃CE,￡Q=^Q

"PNDN

.MNPQ_AN,CQ_AN+CQ

>?----+----=----+----=---------

PNPNDNDNDN

2

又=.\0Q=3DN.

OQ0G3

.".CQ=OQ-OC=3DN-OC=3DN-AD,AN=AD-DN.

，AN+CQ=2DN.

.MN!PQ_AN+CQ

=2.即MN+PQ=2PN.

,~PNPNDN

3相似多邊形

專題與相似多角形的性質(zhì)與判定有關的題

1.相似多邊形指的是（）

A.各角都相等的多邊形

B.各邊都相等的多邊形

C.各邊對應成比例的多邊形

D.邊數(shù)相同，對應角相等，對應邊成比例的多邊形

3.圖中的兩個多邊形相似嗎？說說你判斷的理由.

【知識要點】

1.各角分別相等，各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.

2.相似多邊形的對應邊的比叫做相似比.

【溫馨提示】

相似多邊形的性質(zhì)為：①對應角相等；②對應邊的比相等.

【方法技巧】

找準對應角、對應邊是解決本題的關鍵.

參考答案

1.D

2.解：?.?相似多邊形的對應邊成比例，

A12：18=21：x,

解得：x=31.5.

3.解：不相似.

理由：VZD=360°-135°-95°-72°=58°,ZE=360°-135°-95°-59°=71°,

.??兩個四邊形中不可能有“對應角相等”，

又???沒法判定對應邊成比例，

.?.不相似.

4探索三角形相似的條件

專題一與相似三角形判定有關的題

1.如圖，P是RtZ\ABC斜邊AB上任意一點（A,B兩點除外），過P點作一直線，使截得的

三角形與相似，這樣的直線可以作（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

2.如圖所示，正方形ABC。邊長是2,BE=CE,MN=1,線段MN的端點M、N分別在

CD、上滑動，當DM=時，AABE與以。、M、N為頂點的三角形相似.

AND

BEC

3.（2012?懷化）如圖，已知AB是。O的弦，08=4,/OBC=30°,點C是弦AB上任意

一點（不與點A、B重合），連結(jié)C。并延長交。。于點D,連結(jié)A。、DB.

（1）當NADC=18°時,求/。08的度數(shù)；

（2）若AC=2小，求證：MACDsXOCB.

專題二黃金分割在實際中的應用

4.美是一種感覺，本應沒有什么客觀的標準，但在自然界里，物體形狀的比例卻提供了在

勻稱與協(xié)調(diào)上的一種美感的參考，在數(shù)學上，這個比例稱為黃金分割.在人體軀干（由腳

底至肚臍的長度）與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點，也就是說，若此比值越接

近0.618,就越給別人一種美的感覺.如果某女士身高為1.65m,軀干與身高的比為0.60,

為了追求美，她想利用高跟鞋達到這一效果，那么她選的高跟鞋的高度約為（）

A.2.5cmB.5.3cm

C.7.8cmD.8.5cm

5.（2012?宿遷）如圖，已知產(chǎn)是線段AB的黃金分割點，且南〉P8,若S表示勿為一邊

的正方形的面積，S2表示長是AB,寬是PB的矩形的面積，則&S2.（填“>”

或“<”）

/----p—

6.寬與長之比為，一：1的矩形叫黃金矩形，黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)、

勻稱的美感，如圖，如果在一個黃金矩形里畫一個正方形，那么留下的矩形還是黃金矩

形嗎？請證明你的結(jié)論.

【知識要點】

1.相似三角形的定義

三角分別相等、三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.

2.相似三角形的條件

(1)兩角分別相等的兩個三角形相似.

(2)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.

(3)三邊成比例的兩個三角形相似.

3.黃金分割

一般的，點C把線段48分成兩條線段AC和BC,如果第=等，那么稱線段4B被點C

/\D/1C

黃金分割.點C叫做線段AB的黃金分割點.

【溫馨提示】

1.運用相似三角形的關鍵是找準對應邊和對應角.

2.全等三角形是特殊的相似三角形.

3.兩邊對應成比例，必須是夾角對應相等，這兩個三角形才相似.

4.黃金比即AC：AB=%]■:C0.618.

【方法技巧】

識別兩個三角形相似的幾種思路：

(I)若有一對等角，可找另一對等角，或找夾它的兩邊對應成比例；

(2)若有兩邊對應成比例，可找其夾角相等；

(3)若有等腰三角形，則可找頂角相等，或找一對底角相等，或找底和腰對應成比例；

(4)若有平行線，則可直接得相似三角形相似；

(5)若所證成比例的四條線段不在兩個相似三角形中，可用中間比轉(zhuǎn)換.

答案

1.C解析：有三條：①過點P作AB邊上的垂線，可得出一條符合要求的直線;

②另外兩條分別是AC、BC兩邊的平行線.

故選C.

2.坐或竽解析：?.?正方形A5CD的邊長是2,

：.BE=CE=\,ZB=ZD=90°,

.?.在中，4E川2?+12=小.

第一種情況：當△ABEs△MOV時一，AE：MN=AB:DM,

2/7

即?。?=2：DM,.,.OM==-；

第二種情況：當時，AE：MN=BE:DM,

即?。?=1：DM,:.DM=*.

...力歷=乎或坐.

3.解：(1)連接A。，則NOAC=NOBC=30°,ZOAD=ZADC=\S°,

：.ZDAC=30°+18°=48°,

.,.ZDOB=2ZDAC=96°.

(2)證明：過點。作AB的垂線，垂足為G,在Rt/XOGB中，0B=4,NO8C=30°,

0G=2,GB=2y[3.

；AC=2小，.?.點C與點G重合，：.ZACD^ZBCO=90°.

又^^=小=晉，△AC￡)SZ^OCA

4.C解析：根據(jù)已知條件得下半身長是165X0.6=99(cm),

設選的高跟鞋的高度是xcm,則根據(jù)黃金分割的定義得：7997+Tx=。618,

1。5十X

解得：67.8(cm).

故選C.

5.=解析：是線段AB的黃金分割點，且以>尸8,

：.PA2=PB?AB.

又???Si表示力為一邊的正方形的面積，S2表示長是48,寬是P8的矩形的面積，

，Si=*Si=PB-AB,

S|—S2.

故答案為=.

6.解：留下的矩形CAFE是黃金矩形.

證明：???四邊形A8EF是正方形，

：.AB=DC=AF.

AB

乂*AD~2，

.—小一1

''AD=2'

即點F是線段A。的黃金分割，

.FD_AF_yl5-l

??而=X5=2'

矩形CDFE是黃金矩形.

5相似三角形判定定理的證明

專題相似三角形判定定理的證明

]DE_DF

“兩邊對應成比例且夾角對應相等的兩個三角形相似”，如圖，已知AB~AC(AB>DE),

ZA=ZD,求證：△ABCs^DEF.請利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，通過添設輔助線，將未知的判

定方法轉(zhuǎn)化為前面已經(jīng)學過的方法(即已知兩組角對應相等推得相似或己知平行推得相

似).請利用上述方法完成這個定理的證明.

【方法技巧】

解題的關鍵是正確作出輔助線構(gòu)造平行線或全等三角形.

答案:

證明：在AB上截取AG=DE,作GH〃BC,

.,.△AGH^AABC,

,,DE_DF

"AB-AC)

AG=DE,

；.AH=DF,

VZA-ZD,

.?.△AGH絲△DEF,

AAABC^ADEF.

6利用相似三角形測高

專題利用相似三角形的性質(zhì)求樹或建筑物的高

1.如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板。EF測量樹的高度AB,他調(diào)整自己的位置，

設法使斜邊。尸保持水平，并且邊QE與點8在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊。E

=40cm,EF=20cm,測得邊OB離地面的高度AC=1.5m,CD—Sm,則樹高AB=

m.

2.如圖，為測量學校圍墻外直立電線桿A8的高度，小亮在操場上點C處直立高3m的竹

竿8,然后退到點E處，此時恰好看到竹竿頂端。與電線桿頂端8重合；小亮又在點

G處直立高3m的竹竿CQi，然后退到點后處，此時恰好看到竹竿頂端功與電線桿頂

端B重合.小亮的眼睛離地面高度EF=1.5m,量得CE=2m,EG=6m,GEi=3m..

(l)AFDM^A____,叢F\D\Ns/\；

(2)求電線桿AB的高度.

【知識要點】

1.利用相似三角形求物高或影長.

2.構(gòu)建相似三角形測量河寬.

【溫馨提示】

利用影長計算或測量時，注意在同一時刻，物體的實際高度/影長=被測物體的實際高度

/被測物體的影長.

【方法技巧】

1.牢記相似三角形的性質(zhì)和條件.

2.在測量無法到達頂部的物體的高度或測量不能直接到達的兩點間的距離時，常構(gòu)造相似

三角形求解.

答案

1.5.5解析：利用和相似求得BC的長后加上小明同學的身高即可求

得樹高AB.

"DEF=NBCDa,ND=ND,.MDEFsADCB,：卷=器

VDE=40cm=0.4m,EF=2Qcm=0.2m,AC=1.5m,CO=8m,

?'彩=言，?,?BC=4(m),

，AB=AC+BC=1.5+4=5.5(m).

2.解：(T)FBGF\BG

n.vF\N

(2)根據(jù)題意，'：DxC\//BA,:.AFIDINS^FIBG,.,.京=段.

n(_rr1U

.DM_FM

?:DC"BN,：./\FDMs/\FBG,**BG=FG,

FiNFM32

,:D\N=DM'：.高=田即GM+ll=GM+2,/>GM=16-

..D\NF\N

,,-,；.BG=13.5,

,BG~FiG,BG27

，A8=BG+GA=15(m).

答：電線桿48的高度為15m.

7相似三角形的性質(zhì)

專題一相似三角形性質(zhì)的綜合運用

1.已知兩個相似三角形對應高的比為3：10,且這兩個三角形的周長差為560cm,求它們

的周長.

2.如圖，R3ABC到RSDEF是一個相似變換，AC與DF的長度之比是3：2.

(1)DE與AB的長度之比是多少？

(2)已知RtAABC的周長是12cm,面積是6cm2,求RtADEF的周長與面積.

3.如圖所示，已知平行四邊形ABCD中，E是AB延長線上一點，DE交BC于點F,BE:AB

=2：3,SABEF=4,求S4CDF.

B、E

專題二相似多邊形的性質(zhì)

4.如圖，一般書本的紙張是在原紙張多次對開得到.矩形ABCD沿EF對開后，再把矩形

EFCD沿MN對開，依此類推.若各種開本的矩形都相似，那么AB：AD等于.

E

8開

EF

5.已知兩個相似多邊形的周長比為1：2,它們的面積和為25,則較大多邊形的面積是—.

6.如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,E是AB上的一點，EF〃BC,并且EF將梯形ABCD

分成的兩個梯形AEFD、EBCF相似，若AD=4,BC=9,求AE：EB.

【知識要點】

1.相似三角形對應高的比、對應角平分線的比、對應中線的比，都等于相似比.

2.相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

3.相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

【溫馨提示】

I.應用性質(zhì)時，抓住關鍵詞“對應”，找準對應邊.

2.不要誤認為相似三角形面積的比等于相似比.

3.由線段的比求面積的比，或由面積的比求線段的比時，應分兩種情況：

（1）兩個圖形是否相似，若是相似圖形，則面積比等于相似比的平方；

（2）兩個圖形不相似時，常會出現(xiàn)底在同一條直線上，有同一條高，那么兩個三角形面積

比等于對應底的比.

【方法技巧】

1.利用相似三角形性質(zhì)是求線段長度，角的度數(shù)，周長，面積及線段的比等問題的依據(jù).

2.等底等高的兩三角形面積相等，這個規(guī)律在求三角形面積中經(jīng)常用到.

3.應用相似三角形（多邊形）的性質(zhì)，常與三角形（多邊形）相似的判定相結(jié)合.

4.相似多邊形的定義是判定多邊形相似的主要依據(jù)，也是多邊形相似的重要性質(zhì).

參考答案：

1.解：設一個三角形周長為Cem,

則另一個三角形周長為（C+560）cm,

則C：（C+560）=3:10,...C=240,C+560=800,即它們的周長分另4為240cm,800cm.

2.解：（1）由相似變換可得：DE：AB=DF：AC=2：3；

(2)VAC:DF=3：2,.,.△DEF的周長：ZiABC的周長=2:3,SADEF：SAABC=4：9.

?.?直角三角形ABC的周長是12cm,面積是6cm2,

8

.,.△DEF的周長為8cm,SADEF=—cm2.

3

3.解：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，；.AE〃DC,

/.△BEF^ACDF.；AB=DC,BE:AB=2：3,

39

；.BE：DC=2：3,ASDCF=(二)？&BEF=—X4=9.

A24

V2

4.2［解析］?.?矩形ABCDS矩形BFEA,

/.AB：BF=AD：AB,AD?BF=AB?AB.

又?.?BF='AD,/.-AD2=AB2,則*=、I=變.

22ADV22

5.20［解析］根據(jù)相似多邊形周長的比等于相似比，而面積的比等于相似比的平方，即可

求得面積的比值，依據(jù)面積和為25,就可求得兩個多邊形的面積.設兩個多邊形中較小的

多邊形的面積是x,則較大的面積是4x.

根據(jù)題意得：x+4x=25,

解得x=5.因而較大多邊形的面積20.

.AD_EF_AE

解:?.,梯形AEFDs梯形EBCF,

6."EFBC-EB

又：AD=4,BC=9,.*.EF2=AD?BC=4X9=36.

AE4

VEF>0,；.EF=6,

EBEF6

8圖形的位似

專題一位似作圖

1.如圖所示，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC與△ABC'是以點O為位似中

心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上.

(1)畫出位似中心點O；

(2)直接寫出△ABC與△ABC的位似比；

(3)以位似中心O為坐標原點，以格線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，畫出

△ABC關于點O中心對稱的△A"B"C",并直接寫出△A"B"C"各頂點的坐標.

2.如圖，在4x5網(wǎng)格圖中，其中每個小正方形邊長均為1,梯形ABCD和五邊形EFGHK

的頂點均為小正方形的頂點.

(1)以B為位似中心，在網(wǎng)格圖中作四邊形ABCD，，使四邊形ABCTT和梯形ABCD位

似，且位似比為2：1；

(2)求(1)中四邊形ABCD，與五邊形EFGHK重疊部分的周長.(結(jié)果保留根號)

3.如圖，在給定的銳角△A6C中，求作一個正方形。EFG,使。，E落在8C上，F(xiàn),G

分別落在AC,A3邊上，要求寫出畫法.

專題二坐標系下的位似變換

4.如圖，△ABC三個頂點坐標分別為A(1,2),B(3,1),C(2,3),以原點0

為位似中心，在圖中第一象限內(nèi)，將△ABC放大為原來的2倍得△(不要求寫畫法)

5.如圖，對RSOAB依次進行位似、軸對稱和平移變換后得到△

（1）在坐標紙上畫出這幾次變換相應的圖形；

（2）設P（X,y）為40AB邊上任一點，依次寫出這幾次變換后點P對應點的坐標.

6.如圖，△ABC中，A、B兩點在x軸的上方，點C的坐標是（一1,0）.以點C為位似

中心,在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C,并把△ABC的邊長放大到原來的2倍.設

點B的對應點B'的橫坐標是2,求點B的橫坐標.

【知識要點】

1.位似圖形的性質(zhì)：（1）兩個圖形相似；（2）每組對應點所在的直線交于一點；（3）對

應邊平行或在同一條直線上；（4）對應點到位似中心的距離之比等于相似比.

2.位似圖形的畫法：（1）作圖時首先連接頂點和位似中心并延長；（2）按照比例確定對

應點位置；（3）連接結(jié)對應點即可作出相應的位似圖形.

3.（1）同向位似圖形：

若以點O為位似中心在y軸的右側(cè)將圖形放大到n倍，則對應點坐標為原坐標的n倍.

（2）反向位似圖形：

若以點O為位似中心在y軸的左側(cè)將圖形放大到n倍，則對應點坐標為原坐標的一n倍.

【溫馨提示】

1.相似只強調(diào)圖形的形狀相同，與位置無關，而位似是特殊位置的相似圖形，具有相似的

所有性質(zhì).

2.兩個位似圖形一定相似，但相似圖形不一定位似.

3.直角坐標系下的位似變換通?？紤]兩個方面：(1)位似圖形的點的坐標的變化規(guī)律；(2)

利用這種坐標變化的特點，畫出平面直角坐標系下的位似圖形.

4.在畫位似圖形或求點的坐標時，一定要注意位似圖形的位置關系，以防漏解.

5.在畫位似圖形時，要分清位似比是新圖形與原圖形的比，還是原圖形與新圖形的比.

6.在畫位似圖形時，關鍵的頂點與位似中心要準確定位.

【方法技巧】

1.判定位似，一般應先證明相似.位似圖形的前提一定是相似圖形，且任意兩對應點的連

線交于一點.

2.利用作位似圖形的方法可將一個圖形放大或縮小.

3.畫位似圖形的關鍵是確定位似中心，位似中心可根據(jù)要求選擇適當位置，所畫圖形的位

置并不唯一.

參考答案:

(2)△ABC與△ABC的位似比等于2：1；

(3)△A"B"C"為所求.

A”(6,0),B"(3,-2),C"(4,-4).

四邊形A，BCD，就是所要求作的梯形;

BC

（2）四邊形ABCTF與五邊形EFGHK重疊部分是平行四邊形EFGD，，ED,=FG=1,

在RtAEDF中，ED=DF=1,

由勾股定理得EF=Vl2+12=V2,.,.D,G=EF=V2,

...四邊形ABCD，與五邊形EFGHK重疊部分的周長

為EP+FG+DG+EFn+1+四+&=2+2后.

3.如圖.

畫法：第一步：畫一個有三個頂點落在△ABC兩邊上的正方形DE'F'G'（如圖）；

第二步：連接6尸'并延長交AC于點尸；

第三步：過R點作莊_L5C,垂足為點￡；

第四步：過F作/G〃6C交AB于點G；

第五步：過G作GO_LBC,垂足為點。.

四邊形。瓦6即為所求的正方形.

5.解：（1）如圖.先把AABO作位似變換，擴大2倍，再作關于y軸對稱的三角形，然

后向右平移4個單位，再向上平移5個單位.

(2)設方格邊長為單位1,則P(x,y)以O為位似中心放大為原來的2倍的對應點為

(2x,2y),經(jīng)y軸翻折得到的對應點為(-2x,2y),再向右平移4個單位得到的對應點

為(-2x+4,2y),再向上平移5個單位得到的對應點為(―2x+4,2y+5).

6.解：過點B、B，分別作BD_Lx軸于D,B，E_Lx軸于E,AZBDC=ZB'EC=90°.

「△ABC的位似圖形是AABC,.?.點B、C、B'在一條直線上，

CDBC

AZBCD=ZB'CE,ABCD^AB'CE.——=——.

CEB'C

又?.?畢=L,??.C2=L.又???點B的橫坐標是2,點C的坐標是（一1,0）,：.CE

B'C2CE2

355

=3,-**CD=—./.OD=—，???點B的橫坐標為一一.

222

第一章圖形的相似

第一節(jié)成比例線段

【學習目標】

1、認識形狀相同的圖形；

2、結(jié)合實例能識別出現(xiàn)實生活中形狀相同，大小、位置不同的圖形；

3、了解線段的比和比例線段的概念，掌握兩條線段的比的求法；

4、理解并掌握比例的基本性質(zhì)，能通過比例形式變形解決一些實際問題。

【相關知識鏈接】

1、全等的圖形：能夠完全的兩個圖形叫做全等圖形；

2、分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母—乘（或除）以的整式，

分式的值不變。

【學習引入】

一、觀察圖片，體會相似圖形

1、同學們，請觀察下列幾幅圖片，你能發(fā)現(xiàn)些什么？你能對觀察到的圖片特點

進行歸納嗎？

3、思考：如圖27.1-3是人們從平面鏡及哈哈鏡里看到的不同鏡像，它們相似

嗎？

二、歸納總結(jié)：

知識點1、相似的圖形

一般而言，形狀相同，大小、位置不一定相同的圖形就是相似圖形，但是全

等圖形也是相似圖形。

注意：形狀相同的圖形的對應線段的條數(shù)相同，對應線段長的比值相等，因

此可以看做的把其中一個圖形放大或者縮小一點的倍數(shù)得到另外一個。

知識點2、兩條線段的比

如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB,CD的長度分別是m,n,那么這

兩條線段的比就是它們的長度之比，即AB:CD=m:n,或?qū)懗伞?'，其中，線段

CDn

AB,CD分別叫做這個線段比的前項和后項。如果把'表示成比值k,那么M=%,

nCD

或者AB=k?CDo

注意：1、求兩條線段的比的時候兩條線段的長度單位要統(tǒng)一，當長度單位不統(tǒng)

一時，要先化成同一單位長度；

2、兩條線段的比是一個沒有單位的正實數(shù)，與所選線段的單位無關，只

要選取相同的長度單位即可。

★知識點3、成比例線段

對于四條線段a,b,c,d,如果a與b的比等于c與d的比，即@=￡,那

bd

么這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段。

注意：1、如果且=2,那么b叫做a和c的比例中項；

bc

2、在比例式a:b=c:d中，d叫做a,b,c的第四比例項;

3、成比例線段是有順序的,即a,b,c,d是成比例線段，則是a:b=c:d

知識點4、比例的性質(zhì)

1、比例的基本性質(zhì)：如果@=￡,那么ad=bc；

bd

如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0）,那么q=￡

bd

2、等比性質(zhì)：如果0=￡=...='s+d+…+〃。0）,那么"+

bdnb+d+…十幾b

【例題解析】

例1、觀察下列圖形，指出是相似圖形.

(1)(2)(3)(4)

⑹(7)(8)⑼(10)

例2、線段AB被點M分成怒q,則徐-----------,MB

AM

例3、如果q=±求工的值。

y5x

ARRF

例4、如圖所示，---=,且AB=10cm,AD=2cm,BC=7.2cm,

ADEF

E是BC的中點，求EF,BF的長。

例5、己知￡=%=￡=2,且〃+d+//0

〃-P「-I-2

(1)求的值;(2)若a-2c+3e=5,求b-2d+3f的值。

b+d+f

【綜合練習】

在上述各種符號中，形狀相同的符號有幾組？()

A.一組B.二組C.三組D.四組

2、下面各組中的兩個圖形，是形狀相同的圖形，是形狀不同

的圖形.

。。0。十以口口向⑤??

(1)(2)(3)(4)(5)(6)

3、矩形ABCD中AB=CD=8,AD=BC=6,矩形EFGH中，EF=GH=3,EH=FG=4,這兩個矩

形

4、AABC的三條邊之比為2：5：6,與其相似的另一個aA，B?'C?'最大邊長

為18cm,則另兩邊長的和為______.

5、兩個相似三角形的一對對應邊長分別為20cm,25cm,它們的周長差為63cm,

則這兩個三角形的周長分別是.

6AABC與△DEF中NA=65°ZB=42°ZD=65°Z

F=73°,AB=3,AC=5,BC=6,DE=6,DF=10,EF=12,則4DEF與ZXABC

7、下列所給的條件中，能確定相似的有（）

（1）兩個半徑不相等的圓；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）

所有的等邊三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六邊形.

A.3個B.4個C.5個D.6個

8^把mn=pq（mnWO）寫成比例式，寫錯的是（）

m_qp_nqnmp

nmn

A.pB.團qc.pD.q

8.在一張比例尺為1：15000的平面圖上，一塊多邊形地區(qū)的其中一邊長為5cm,

那么這塊地區(qū)實際上和這一邊相對應的長度應為（）

A.750cmB.75000cmC.3000cmD.300cm

9、下列說法中，正確的是（）

A.正方形與矩形的形狀一定相同B.兩個直角三角形的形狀一定相

同

C.形狀相同的兩個圖形的面積一定相等D.兩個等腰直角三角形的形狀一

定相同

10.經(jīng)歷平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱變化前后的兩個圖形)

A.形狀大小都一樣B.形狀一樣，大小不一樣

C.形狀不一樣，大小一樣D.形狀大小都不一樣

11.在平面坐標系中，一個圖形各點的橫坐標、縱坐標都加上或減去同一個非零

數(shù)，得到一組新的對應用點，則連接所得到點的圖形與原圖形形狀（）

A.不能夠互相重合B.形狀相同，大小也一定相同

C.形狀不一樣D.形狀相同，大小不一定相同

12、如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求角a、

B的大小和EH的長度xo

門21V\

匝___G

13、已知四邊形ABCD與四邊形ABCD相似,且AB：B￡:CD:DA=7:8:11:14,

若四邊形ABCD的周長為40,求四邊形ABCD的各邊的長.

第二節(jié)平行線分線段成比例

［學習目標］A

1、探索理解平行線分線段成比例定理及其推論；M

2、會熟練運用平行線分線段成比例定理及其推論計算線段的

長度。cj

【相關知識鏈接】

1、成比例線段：___________________________________________________________

2、若3x=5y,貝Ux：y=；若x：y=7:2,貝Ux：(x+y)=

【學習引入】

一、如圖，任意畫兩條直線h乙再畫三條與h12相交的平行線h,h.k

分別量度A,4A在h上截得的兩條線段AB,BC和在12上截得的兩條線段

DE,EF的長度，AB：BC與DE：EF相等嗎?任意平移75,再量度AB,BC,DE,EF

的長度，AB：BC與DE：EF相等嗎？

二、問題，AB:AC=DE：(),BC：AC=()：DF

三、歸納總結(jié)：

知識點1、平行線分線段成比例定理：

兩條直線被一組平行線所截，所得到的對應線段成比例。

知識點2、平行線分線段成比例定理的推論：

平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，截得的對應線段成比例。

【例題解析】

例1、如圖所示，直線U//I2//I3,AB=3,DE=2,EF=4,求BC的

長。

例2、如圖所示，在4ABC中，點D,E分別在AB,AC邊上，DE〃BC,

若AD：AB=3:4,AE=6,則AC等于

例3、如圖所示，在AABC中，AD平分NBAC,求證：—=—

DCAC

【經(jīng)典練習】

1、如圖，已知直線a〃b〃c,直線m、n與直線a、b、c分別交于點A、C、E、B、

D、F,ACM,CE=6,BD=3,則BF=（）

A、7B、7.5C、8D、8.5

2、如圖，點F是平行四邊形ABCD的邊CD上一點，直線BF交AD的延長線與點

E,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A、錯誤!未找到引用源。B、錯誤!未找到引用源。C、錯誤！未找到引

用源。D、錯誤!未找到引用源。

3、如圖所示：AABC中，DE〃BC,AD=5,BD=10,AE=3.則CE的值為（）

A、9B、6C、3D、4

4、如圖所示，DE〃BC,DF〃AC,AD=4cm,BD=8cm,DE=5cm,求線段BF的長。

B,F

5、如圖，設M、N分別是直角梯形ABCD兩腰AD、CB的中點，DE上AB于點E,

將4ADE沿DE翻折，M與N恰好重合，則AE：BE等于（）

A、2：1B、1：C、3：2D、2：3

6、如圖，已知AB〃CD〃EF,那么下列結(jié)論正確的是（）

A、錯誤!未找到引用源。B、錯誤!未找到引用源。C、錯誤！未找到引

用源。D、錯誤!未找到引用源。

7、如圖，直線L〃12〃L,另兩條直線分別交L、12、L于點A、B、C及點D、E、

F,且AB=3,DE=4,EF=2,則（）

A、BC：DE=1：2B、BC：DE=2：3C、BC?DE=8D、BC?DE=6

8、如圖，直線AB〃CD〃EF,若AC=3,CEM,則錯誤!未找到引用源。的值是

9、如圖，已知：AABCDE〃BC,AD=3,DB=6,AE=2,貝UEC=.

10、如圖所示，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5米有一棵樹,

在北岸邊每隔50米有一根電線桿.小麗站在離南岸邊15米的點P處看北岸，發(fā)

現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三

棵樹，則河寬為.米.

、、/南岸

5

第9題圖第10題圖第11題圖

Ik如圖，梯形ABCD中，EF//BC,錯誤!未找到引用源。，則

錯誤味找到引用源。器:——

12、如圖所示：設M是AABC的重心，過M的直線分別交邊AB,

AC于P,Q兩點，且錯誤!未找到引用源。=m,錯誤!未找到引用源。

=n,貝口+工=_________.

mn

13、如圖，AB〃CD、AD〃CE,F、G分別是AC和FD的中點，過G的直線依次交

AB、AD,CD,CE于點M、N、P、Q,

求證：MN+PQ=2PN.

14、已知：平行四邊形ABCD的對角線交于點0,點P是直線BD上任意一點（異

于B、0、D三點），過P點作平行于AC的直線，交直線AD于E,交直線AB于F.若

點P在線段BD上（如圖所示），試說明：AC=PE+PF；

第三節(jié)相似多邊形

【學習目標】

1、了解相似多邊形和相似比的概念；

2、能根據(jù)條件判斷出兩個多邊形是否為相似；

3、掌握相似多邊形的性質(zhì)，能根據(jù)相似比進行簡單的計算

【相關知識鏈接】

1、相似圖形：相同，但是不一定的圖

形。

2、多邊形：由若干條的線段組成的封閉平面

圖形。

【學習引入】

一、在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形.

在4ABC與B'C'中，如果NA=NA',ZB=ZBZ,ZC=ZCZ,且

幽=生=0-=k.我們就說aABC與aA'B'C

ABB'C'C'A'

相似，記作aABCsAAZB'C',k就是它們的相似

比.

反之如果△ABCSAA，B'C,

則有NA=NA',ZB=ZB,,ZC=ZCZ,

目□_A__B___B__C___C__A_

■AB'_B'C'_C'A''

二、問題：如果k=l,這兩個三角形有怎樣的關系？

三、歸納總結(jié):

知識點1、各角分別相等，各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多

邊形，

相似多邊形對應邊的比叫做相似比。

知識點2、相似多邊形的性質(zhì)：對應角相等，對應邊成比例；

B

相似多邊形的判定:邊數(shù)相等；對應角相等；對應邊成比例。

判斷兩個多邊形相似，這三個條件缺一不可。

【例題解析】

例1、下列判斷中正確的是）

A、兩個矩形一定相似B、兩個平行四邊形一定相似

C、兩個正方形一定相似D、兩個菱形一定相似

例2、如圖△ABCs/SDCA,AD〃BC,ZB=ZDCA.

（1）寫出對應邊的比例式；

（2）寫出所有相等的角；

（3）若AB=10,BC=12,CA=6.求AD、DC的長.

例3、某機械廠承接了一批焊制矩形鋼板的任務，已知這種矩形鋼板在圖紙上（比

例尺1:400）的長和寬分別為3cm和2cm,該廠所用原料是邊長為4m的正方形鋼

板，那么焊制一塊這樣的矩形鋼板要用幾塊邊長為4m的正方形鋼板才行？

例4、如圖所示，把一個矩形分割成四個全等的小矩形，要使小矩形與原矩形相

似，則原矩形的長和寬之比為（）

A、2:1B、4:1

C、V2:lD、1:2

【經(jīng)典練習】

1、下列各組圖形中，肯定相似的是（）

A、兩個腰長不相等的等腰三角形

B、兩個半徑不相等的圓

C、兩個面積不相等的平行四邊形

D、兩個面積不相等的菱形

2、兩個相似多邊形邊長的比為2：3,它們的周長差為4cm,則較大多邊形的周長

是（）

A.8cmB.12cmC.20cmD.24cm

3、已知平行四邊形ABC。與平行四邊形相似，AB=3,對應邊A'6'=4,

若平行四邊形ABC。的面積為18,則平行四邊形AB'C'。的面積為（）

9721

A.—B.—C.24D.32

28

4、如圖，正五邊形ABCOE與正五邊形是相似形，若AB:RG=2:3,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.2DE=3MNB.3DE=2MNC.3ZA=2ZFD.^ZA=3ZF

5、如圖，在梯形ABC。，A。〃EE〃BC,E/將梯形ABC。分成兩個相似梯形

AF

AEH）和梯形E8CF,若從。=3,3。=4,求——的值。

EB

6、一個五邊形的各邊長為2,345,6,另一個與它形似的五邊形的最長邊的長為12,

則最短邊的長為（）

A.4B.5C.6D.8

7、在梯形ABCD中，AD平行于BC,AC、BD交于點0,S△枷:Sg=l：9

則SADOC：SABOC=

8、在比例尺為1:1000000的地圖上,A,B兩城的距離為7.2s,則A,B兩城的

實際距離是

______________km

9、四邊形ABCDs四邊形A8'CZ>',AC與AC'是對應對角線，若

:=：

A8=3,AB=2,則C四邊形.coC四邊形.）§四邊形45C。S四邊形A/'C'Z）''

10、在平行四邊形ABCD中，AB=6,AD=4,EF//AD,若DVBCDs口EFDA,求AE

的長。

E

11、如圖所示，已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一點E,沿AE將AABE向上

折疊，使B點落在AD上的F點處，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=_

第四節(jié)相似三角形的判定

【學習目標】

1、理解相似三角形的定義；

2、熟練掌握三角形相似的判定方法，并能靈活運用判定方法判斷兩個三角形是

否相似；

3、能運用三角形相似的判定方法進行有關的計算和證明；

4、理解黃金分割的概念；

5、能做出線段黃金分割點，并會求滿足黃金分割的線段的長，體會黃金分割的

美。

【相關知識鏈接】

1、全等三角形的判定條

件：、、、、。

2、相似多邊形：各角、各邊的兩個多邊形叫做相似多

邊形。

3、線段的比：如果選用量的兩條線段AB,CD的長度分別的m,n,

那么就說兩條線段AB：CD=m:n

【學習過程】

一、討論：什么是相似三角形？