一題多解,一題多變多題歸一

三明四中呂元斤一題多解,一題多變，多題歸一解題思路分析原題再現(xiàn)考點(diǎn)分析及其思想方法的體現(xiàn)

反思與感悟拓展延伸、變式分析課堂流程原題再現(xiàn)本題是2013年孝感市中考數(shù)學(xué)試卷第25題：25.如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．（1）圖1中若點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，我們可以構(gòu)造兩個(gè)三角形全等來(lái)證明AE=EF，請(qǐng)敘述你的一個(gè)構(gòu)造方案，并指出是哪兩個(gè)三角形全等（不要求證明）；（2）如圖2，若點(diǎn)E在線段BC上滑動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合）．①AE=EF是否總成立？請(qǐng)給出證明；②在如圖2的直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)E滑動(dòng)到某處時(shí)，點(diǎn)F恰好落在拋物線y=﹣x2+x+1上，求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．1.考點(diǎn)分析：正方形的性質(zhì)；等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義；等角的余角相等；全等三角形的判定與性質(zhì)；點(diǎn)的坐標(biāo)與線段的關(guān)系；拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)與二次函數(shù)表達(dá)式的關(guān)系；一元二次方程的解法.一、題目的考點(diǎn)分析及其思想方法的體現(xiàn)2.思想方法：特殊到一般；方程與函數(shù)；轉(zhuǎn)化（化歸）；數(shù)形結(jié)合.1.題型:代數(shù)與幾何綜合題二、解題思路的分析2.解題思路分析（1）△ABE和△ECF顯然不全等（一個(gè)是直角三角形，一個(gè)是鈍角三角形），考慮到點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，因此可以取AB的中點(diǎn)G，連接EG，又易知∠1=∠2，利用ASA能得到△AGE與△ECF全等；（1）解答:如圖1，取AB的中點(diǎn)G，連接EG．△AGE與△ECF全等．（2）第①問(wèn)的方法1解題思路分析：從第（1）問(wèn)的解決方法得到啟發(fā)：“證線段相等找全等三角形”.如圖2，可以在AB上截取AM=EC，又易知∠2=∠3，證明∠1=∠ECF=135°，利用ASA證得△AME≌△ECF即可證得AE=EF；圖2方法1的解題過(guò)程：①若點(diǎn)E在線段BC上滑動(dòng)時(shí)，AE=EF總成立．證明：如圖2，在AB上截取AM=EC．∵AB=BC，∴BM=BE，∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠1=180°﹣45°=135°，又∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF=135°，∴∠1=∠ECF．而∠2+∠AEB=∠3+∠AEB=90°，∴∠2=∠3，∴△AME≌△ECF．∴AE=EF．圖2第（2）題第①問(wèn)的法2思路分析圖4圖4第（2）題第①問(wèn)的法2解題過(guò)程第（2）題第①問(wèn)的法3思路分析圖5第（2）題第①問(wèn)的法3解題過(guò)程圖5第（2）題第①問(wèn)的法4思路分析圖6第（2）題第①問(wèn)的法4解題過(guò)程圖6第（2）題第②問(wèn)的解題思路分析圖3第（2）題第②問(wèn)的解題過(guò)程圖31.結(jié)論的拓展延伸變式一：如圖，若點(diǎn)E在線段BC延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）上滑動(dòng)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立嗎？如果成立，寫出證明過(guò)程；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．三.拓展延伸與變式分析本變式的意圖是引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究點(diǎn)E在線段BC延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）上滑動(dòng)時(shí)，結(jié)論“AE=EF”是否仍然成立.認(rèn)真觀察圖形，與原題的解法進(jìn)行類比，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)中,可以構(gòu)造全等三角形，尋找線段之間不變的數(shù)量關(guān)系.變式一分析變式一解題過(guò)程變式二變式二分析本變式繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察圖形，對(duì)△ECF的面積和線段BE的關(guān)系進(jìn)行探究，滲透分類討論、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法.解題的關(guān)鍵在于分類討論即：當(dāng)點(diǎn)E為線段BC上的點(diǎn)時(shí)，EC=1-x;當(dāng)點(diǎn)E為線段BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)時(shí)，EC=x-1;變式二解題過(guò)程變式三：如圖，已知點(diǎn)E在正方形ABCD的邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．（1）圖1中若點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，則線段CF和BE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，給出你的結(jié)論并證明．（2）如圖2，若點(diǎn)E在線段BC上滑動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合），（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)寫出線段CF和BE的關(guān)系式.圖1圖2本變式繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察圖形，對(duì)線段CF和BE之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，滲透特殊到一般、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.解題的關(guān)鍵在于：將線段CF和BE分別轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形（Rt△FCH)的斜邊和直角邊.變式三分析圖3變式三解題過(guò)程圖3圖42.圖形的變化拓展變式分析本變式的設(shè)計(jì)意圖是通過(guò)圖形變換，引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘隱含的條件和結(jié)論，明白構(gòu)造全等三角形是證明線段相等一種很重要的方法，從特殊的幾何圖形中找出規(guī)律，轉(zhuǎn)化為一般的幾何圖形的證明問(wèn)題，即雖然其條件、結(jié)論的形式或圖形發(fā)生變化，而其本質(zhì)特征卻不變.解題過(guò)程四、反思與感悟數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，無(wú)窮無(wú)盡，“題?！泵Ｃ?為了使學(xué)生能跳出題海，數(shù)學(xué)教師要跳進(jìn)“題?！保谟阢@研數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、教材和習(xí)題，依據(jù)“量不在多，典型就行；題不在難，有思想就靈”的原則精挑細(xì)選出典型題目.并對(duì)典型題目進(jìn)行縱向或橫向的展開(kāi)，根據(jù)學(xué)情，精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，進(jìn)行“一題多解,一題多變，多題歸一”的解題教學(xué).既要引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)角度去分析思考問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的求異思維，使其創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，又要指導(dǎo)學(xué)生善于找出一些題目解法的共性，歸納出解題方法，再用這種方法去解決類似問(wèn)題時(shí)，便會(huì)迎刃而解，發(fā)揮一法解多題的優(yōu)勢(shì).既要關(guān)注學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的達(dá)成，更要關(guān)注基本數(shù)學(xué)思想方法的滲透和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，教會(huì)學(xué)生如何