一元二次方程及其解法

21.1一元二次方程第二十一章一元二次方程導入新課講授新課當堂練習課堂小結(jié)九年級數(shù)學上（RJ）全冊精品教學課件學習目標1.理解一元二次方程的概念.（難點）2.根據(jù)一元二次方程的一般形式，確定各項系數(shù).3.理解并靈活運用一元二次方程概念解決有關問題.(重點）導入新課復習引入1.什么叫方程？我們學過哪些方程？含有未知數(shù)的等式叫做方程.我們學過的方程有一元一次方程，二元一次方程（組）及分式方程，其中前兩種方程是整式方程.2.什么叫一元一次方程？含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程.講授新課一元二次方程的概念一問題1初中同學畢業(yè)20周年聚會，如果參加聚會的有x個人，每兩人之間都握一次手，共握了21次手，請你列出符合上述條件的方程，并判斷方程是什么類型？解析：設參加聚會有x人，每個人都要與(x-1)人握手，由于甲與乙握手和乙與甲握手是同一次握手，所以全部握手次數(shù)是.解：根據(jù)題意，列方程：整理得：化簡，得：該方程中有未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？問題2有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個正方形,然后將四周凸出部分折起,就能制作一個無蓋方盒,如果要制作的方盒的底面積為3600cm2,那么鐵皮各角應切去多大的正方形？請根據(jù)題意列出方程.100cm50cmx3600cm2解：設切去的正方形的邊長為xcm,則盒底的長為（100-2x)cm,寬為(50-2x)cm,根據(jù)方盒的底面積為3600cm2,得整理，得化簡，得該方程中有未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？觀察與思考方程①、②都不是一元一次方程.那么這兩個方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點呢？特點:①都是整式方程;②只含一個未知數(shù);③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.知識要點一元二次方程的概念像這樣的等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項≠3練一練已知關于x的方程，當

k______

時，它是一元二次方程．

想一想為什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c可以為零嗎？當a=0時，方程變?yōu)閎x＋c=0，不再是一元二次方程.ax2+bx+c=0強調(diào)：“=”左邊最多有三項，一次項、常數(shù)項可不出現(xiàn)，但二次項必須有;“=”左邊按未知數(shù)x的降冪排列;“=”右邊必須整理為0.典例精析例1

下列選項中，關于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含兩個未知數(shù)化簡整理成x2-3x+2=0少了限制條件a≠0提示

判斷一個方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再進一步化簡整理后再作判斷.例2將方程3x(x-1)=5(x+2)化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數(shù)項及它們的系數(shù).解：去括號，得3x2-3x=5x+10.移項、合并同類項，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次項是3x2,系數(shù)是3；一次項是-8x,系數(shù)是-8；常數(shù)項是-10.系數(shù)和項均包含前面的符號.注意一元二次方程的根二一元二次方程的根使一元二次方程等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.例3下面哪些數(shù)是方程x2–x–6=0的解?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4解：3和-2.你注意到了嗎？一元二次方程可能不止一個根.當堂練習1.下列哪些是一元二次方程？√×√××√3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-12.填空：方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項-21313-540-53-2的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一個根為0，求m的值.二次項系數(shù)不為零不容忽視解：將x=0代入方程m2-4=0，解得m=±2.∵m+2≠0，∴m≠-2，綜上所述：m=2.課堂小結(jié)一元二次方程概念是整式方程；含一個未知數(shù)；最高次數(shù)是2.一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)其中(a≠0)是一元二次方程的必要條件；確定一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項要先化為一般式.根使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.見《學練優(yōu)》本課時練習課后作業(yè)21.2.1配方法第二十一章一元二次方程導入新課講授新課當堂練習課堂小結(jié)九年級數(shù)學上（RJ）教學課件第1課時直接開平方法學習目標1.會把一元二次方程降次轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.(難點）2=p或（x+n)2=p(p≥0)的方程.(重點）導入新課復習引入平方根1.如果x2=a,則x叫做a的.2.如果x2=a(a≥0),則x=.3.如果x2=64,則x=.±84.任何數(shù)都可以作為被開方數(shù)嗎？負數(shù)不可以作為被開方數(shù).講授新課直接開平方法的概念一問題1一桶油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？解：設正方體的棱長為xdm，則一個正方體的表面積為6x2dm2，根據(jù)一桶油漆可刷的面積，列出方程10×6x2=1500，由此可得x2=25根據(jù)平方根的意義，得即x1=5，x2=－5.可以驗證，5和－5是方程①的兩根，但是棱長不能是負值，所以正方體的棱長為5dm．①x=±5，試一試解下列方程，并說明你所用的方法，與同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解:根據(jù)平方根的意義，得x1=2,x2=-2.解:根據(jù)平方根的意義，得x1=x2=0.解:根據(jù)平方根的意義，得x2=-1,因為負數(shù)沒有平方根，所以原方程無解.（2）當p=0時，方程(I)有兩個相等的實數(shù)根=0；（3）當p<0時,因為任何實數(shù)x，都有x2≥0，所以方程(I)無實數(shù)根.探究歸納如果我們把x2=4，x2=0，x2+1=0變形為x2=p呢？一般的，對于方程x2=p,(I)（1）當p>0時，根據(jù)平方根的意義，方程(I)有兩個不等的實數(shù)根，；利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的根的方法叫直接開平方法.歸納例1利用直接開平方法解下列方程:(1)x2=25；(2)

x2－900=0.解：（1）x2=25，直接開平方，得x=±5，∴x1=5，x2=－5.（2）移項，得x2=900.直接開平方，得x=±30，∴x1=30,x2=－30.典例精析練一練完成課本P6練習（1）、（2）、（6）在解方程(I)時，由方程x2=25得x=±5.由此想到:（x+3)2=5，②得用直接開平方法解方程二對照上面解方程(I)的方法，你認為怎樣解方程（x+3）2=5探究交流于是，方程（x+3）2=5的兩個根為上面的解法中，由方程②得到③，實質(zhì)上是把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，這樣就把方程②轉(zhuǎn)化為我們會解的方程了.解題歸納例2解下列方程：⑴（x＋1）2=2；典例精析解析：第1小題中只要將（x＋1）看成是一個整體，就可以運用直接開平方法求解.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）∵x+1是2的平方根，∴x+1=解析：第2小題先將－4移到方程的右邊，再同第1小題一樣地解.例2解下列方程：（2）（x－1）2－4=0；即x1=3，x2=-1.解：（2）移項，得（x-1）2=4.∵x-1是4的平方根，∴x-1=±2.典例精析∴x1=，

x2=例2解下列方程：(3)12（3－2x）2－3=0.典例精析解析：第3小題先將－3移到方程的右邊，再兩邊都除以12，再同第1小題一樣地去解，然后兩邊都除以-2即可.解：(3)移項，得12（3-2x）2=3，兩邊都除以12，得（3-2x）2=0.25.∵3-2x是0.25的平方根，∴3-2x=±0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5首先將一元二次方程化為左邊是含有未知數(shù)的一個完全平方式，右邊是非負數(shù)的形式，然后用平方根的概念求解.1.能用直接開平方法解的一元二次方程有什么特點？如果一個一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2=p（p≥0）的形式，那么就可以用直接開平方法求解.2.用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟是什么？3.任意一個一元二次方程都能用直接開平方法求解嗎？請舉例說明.探討交流當堂練習

(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,

x1=;x2=(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-41、下列解方程的過程中，正確的是（）(A)x2=-2,解方程，得x=±(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4D(1)方程x2=0.25的根是.(2)方程2x2=18的根是.(3)方程(2x-1)2=9的根是.3.解下列方程：(1)x2-81＝0；(2)2x2＝50；(3)(x＋1)2=4.x1=0.5,x2=-0.5x1＝3,x2＝-3x1＝2,x2＝－12.填空:解：x1＝9,x2＝－9；解：x1＝5,x2＝－5；解：x1＝1,x2＝－3.4.（請你當小老師）下面是李昆同學解答的一道一元二次方程的具體過程，你認為他解的對嗎?如果有錯，指出具體位置并幫他改正.①②③④解：解：不對，從開始錯，應改為能力拓展：方程x2+6x+4=0可以用直接開平方法解嗎？如果不能，那么請你思考能否將其轉(zhuǎn)化成平方形式？課堂小結(jié)直接開平方法概念步驟基本思路利用平方根的定義求方程的根的方法關鍵要把方程化成x2=p(p≥0)或（x+n)2=p（p≥0).一元二次方程兩個一元一次方程降次直接開平方法見《學練優(yōu)》本課時練習課后作業(yè)21.2.1配方法第二十一章一元二次方程導入新課講授新課當堂練習課堂小結(jié)九年級數(shù)學上（RJ）教學課件第2課時配方法學習目標1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解決有關問題.(重點）3.探索直接開平方法和配方法之間的區(qū)別和聯(lián)系.（難點）導入新課復習引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.想一想：2.下列方程能用直接開平方法來解嗎?練一練:1.用直接開平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把兩題轉(zhuǎn)化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用開平方講授新課配方的方法一1.你還記得嗎？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba-b2.填上適當?shù)臄?shù)或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+=(x+)2（2）x2-6x+=(x-)2（3）x2+8x+=(x+)2（4）x2-x+=(x-)2你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？探究交流222323424二次項系數(shù)為1的完全平方式：

常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方.歸納總結(jié)想一想：x2+px+()2=(x+)2配方的方法用配方法解方程二探究交流怎樣解方程(2)x2+6x+4=0問題1方程(2)怎樣變成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0x2+6x=-4移項x2+6x+9=-4+9兩邊都加上9二次項系數(shù)為1的完全平方式：

常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方.方法歸納在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.注意是在二次項系數(shù)為1的前提下進行的.問題2為什么在方程x2+6x=-4的兩邊加上9？加其他數(shù)行嗎？不行，只有在方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，方程左邊才能變成完成平方x2+2bx+b2的形式.方程配方的方法：要點歸納像這樣通過配成完全平方式來解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定義配方法解方程的基本思路把方程化為（x+n)2=p的形式，將一元二次方程降次，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解．配方法解方程的基本步驟一移常數(shù)項；二配方[配上]；三寫成（x+n)2=p(p≥0);四直接開平方法解方程.典例精析例1解下列方程：解：（1）移項，得x2－8x=－1,配方，得x2－8x+42=－1+42,(x－4)2=15由此可得即配方，得由此可得二次項系數(shù)化為1，得解：移項，得2x2－3x=－1,方程的二次項系數(shù)不是1時，為便于配方，可以將方程各項的系數(shù)除以二次項系數(shù)．即移項和二次項系數(shù)化為1這兩個步驟能不能交換一下呢?配方，得因為實數(shù)的平方不會是負數(shù)，所以x取任何實數(shù)時，(x－1)2都是非負數(shù)，即上式都不成立，所以原方程無實數(shù)根．解：移項，得二次項系數(shù)化為1，得為什么方程兩邊都加12？即當堂練習1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程無解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2；解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.2.如圖，在一塊長35m、寬26m的矩形地面上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路，剩余部分栽種花草，要使剩余部分的面積為850m2，道路的寬應為多少？

解：設道路的寬為xm,根據(jù)題意得（35-x)(26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合題意，舍去）,x2=1.答：道路的寬為1m.能力提升配方法說明：不論k取何實數(shù)，多項式k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因為（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.課堂小結(jié)配方法定義通過配成完全平方形式解一元二次方程的方法.方法在方程兩邊都配上步驟一移常數(shù)項；二配方[配上]；三寫成（x+n)2=p(p≥0);

四直接開平方法解方程.特別提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化為x2+px+q=0的形式.見《學練優(yōu)》本課時練習課后作業(yè)21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程導入新課講授新課當堂練習課堂小結(jié)九年級數(shù)學上（RJ）教學課件21.2.2公式法學習目標1.經(jīng)歷求根公式的推導過程.（難點）2.會用公式法解簡單系數(shù)的一元二次方程.(重點）3.理解并會計算一元二次方程根的判別式.4.會用判別式判斷一元二次方程的根的情況.導入新課復習引入1.用配方法解一元二次方程的步驟有哪幾步？2+4x+1=0?講授新課求根公式的推導一任何一個一元二次方程都可以寫成一般形式ax2+bx+c=0(Ⅲ)能否也用配方法得出(Ⅲ)的解呢？用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).方程兩邊都除以a解:移項，得配方，得即用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).即一元二次方程的求根公式特別提醒∵a≠0,4a2>0，當b2-4ac≥0時，由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a，b，c確定．因此，解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，當b2-4ac≥0時，將a，b，c代入式子就得到方程的根，這個式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根.用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0);≥0.注意公式法解方程二例1用公式法解方程5x2-4x-12=0解：∵a=5,b=-4,c=-12，b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.典例精析例2

解方程：化簡為一般式：解：即：這里的a、b、c的值是什么？例3解方程：4x2-3x+2=0因為在實數(shù)范圍內(nèi)負數(shù)不能開平方，所以方程無實數(shù)根.解：要點歸納公式法解方程的步驟1.變形:化已知方程為一般形式;2.確定系數(shù):用a,b,c寫出各項系數(shù);3.計算:b2-4ac的值;4.判斷：若b2-4ac≥0，則利用求根公式求出;若b2-4ac<0，則方程沒有實數(shù)根.根的判別式三問題1在例1~例3的解題中，你們發(fā)現(xiàn)了什么決定了方程根的情況？又是如何決定的呢？兩個不相等實數(shù)根兩個相等實數(shù)根沒有實數(shù)根兩個實數(shù)根判別式的情況

根的情況

一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式，通常用希臘字母“”表示它，即=

b2-4ac.>0=0<0≥0例4按要求完成下列表格：典例精析的值04根的情況有兩個相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根有兩個不相等的實數(shù)根3、判別根的情況，得出結(jié)論.1、化為一般式，確定a,b,c的值.要點歸納根的判別式使用方法2、計算的值，確定的符號.（3）方程4x2－4x+1=0中，a=，b=，c=；b2－4ac=.當堂練習1.先把下列一元二次方程化成一般形式，再寫出一般形式的a、b、c：（1）方程2x2+x-6=0中，a=，b=，c=；b2－4ac=.（2）方程5x2－4x=12中，a=，b=，c=；b2－4ac=.21-6495-4-122564-401參考答案:2.解下列方程:(1)x2-2x－8＝0；(2)9x2＋6x＝8；(3)(2x-1)(x-2)=-1;3.不解方程，判別方程5y2+1=8y的根的情況.解：化為一般形式為：5y2-8y+1=0.所以Δ=b2－4ac=（5）2-4×（-8）×1=57>0.所以方程5y2+1=8y的有兩個不相等的實數(shù)根.這里a=5,b=-8,c=1，能力提升：在等腰△ABC中，三邊分別為a,b,c，其中a=5，若關于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有兩個相等的實數(shù)根，求△ABC的周長.解：關于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有兩個相等的實數(shù)根，所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.所以b=-10或b=2.將b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；將b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符題設，舍去）；所以△ABC的三邊長為4，4，5，其周長為4+4+5=13.課堂小結(jié)公式法求根公式步驟一化（一般形式）；二定（系數(shù)值）；三求（Δ值）；四判（方程根的情況）；五代（求根公式計算）.根的判別式b2-4ac務必將方程化為一般形式見《學練優(yōu)》本課時練習課后作業(yè)21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程導入新課講授新課當堂練習課堂小結(jié)九年級數(shù)學上（RJ）教學課件21.2.3因式分解法學習目標1.理解用因式分解法解方程的依據(jù).2.會用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重點）3.會根據(jù)方程的特點選用恰當?shù)姆椒ń庖辉畏匠?（難點）導入新課情境引入我們知道ab=0，那么a=0或b=0，類似的解方程（x+1）（x－1）=0時，可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程x+1=0或x-1=0來解，你能求（x+3）（x－5）=0的解嗎？講授新課因式分解法解一元二次方程一問題1根據(jù)物理學規(guī)律，如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么經(jīng)過xs物體離地面的高度(單位：m)2.你能根據(jù)上述規(guī)律求出物體經(jīng)過多少秒落回地面嗎()?提示：設物體經(jīng)過xs落回地面，這時它離地面的高度為0，即2=0①解：解：∵a=4.9,b=-10,c=0.∴b2－4ac=(－10)2－4×4.9×0=100.2=0.2=0.2=0.因式分解如果a·b=0，那么a=0或b=0.兩個因式乘積為0，說明什么或降次，化為兩個一次方程解兩個一次方程，得出原方程的根這種解法是不是很簡單？2=0①x()=0②x=0①=0上述解法中,由①到②的過程，先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個一次式分別等于0,從而實現(xiàn)降次.這種解法叫做因式分解法.要點歸納因式分解法的概念因式分解法的基本步驟一移-----方程的右邊=0;二分-----方程的左邊因式分解;三化-----方程化為兩個一元一次方程;四解-----寫出方程兩個解;簡記歌訣：右化零左分解兩因式各求解試一試：下列各方程的根分別是多少？(1)x(x-2)=0；(1)x1=0,x2=2；(2)(y+2)(y-3)=0；(2)y1=-2,y2=3；(3)(3x+6)(2x-4)=0；(3)x1=-2,x2=2；(4)x2=x.(4)x1=0,x2=1.例1解下列方程：解：（1）因式分解，得于是得x－2＝0或x＋1=0,x1=2，x2=－1.(2)移項、合并同類項，得因式分解，得(2x＋1)(2x－1)=0.于是得2x＋1=0或2x－1=0,(x－2)(x＋1)=0.

可以試用多種方法解本例中的兩個方程.典例精析靈活選用方法解方程二典例精析例2用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）3x（x+5）=5（x+5）；（2）（5x+1）2=1；分析：該式左右兩邊可以提取公因式，所以用因式分解法解答較快.解：化簡(3x-5)(x+5)=0.即3x-5=0或x+5=0.分析：方程一邊以平方形式出現(xiàn)，另一邊是常數(shù)，可直接開平方法.解：開平方,得5x+1=±1.解得,x1=0,x2=（3）x2-12x=4;（4）3x2=4x+1；分析：二次項的系數(shù)為1，可用配方法來解題較快.解：配方,得x2-12x+62=4+62,即(x-6)2=40.開平方,得解得x1=,x2=分析：二次項的系數(shù)不為1，且不能直接開平方，也不能直接因式分解，所以適合公式法.解：化為一般形式3x2-4x+1=0.∵Δ=b2-4ac=28>0,

填一填：各種一元二次方程的解法及適用類型.拓展提升一元二次方程的解法適用的方程類型直接開平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0（p