高考重難點(diǎn)突破之-一道直線最值題的拓展探究講義

一道直線最值問題的拓展探究問題：直線過點(diǎn)，分別交軸的正半軸和軸的正半軸于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)最小時，求直線的方程.探究一、一題多解法一、設(shè)直線的方程為：，其中，令，得，令，得，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，直線的方程為即.法二、設(shè)直線的方程為：，其中，直線過點(diǎn)，等號成立，即當(dāng)且僅當(dāng)，解得，直線的方程為即.法三、作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，設(shè)，則等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，直線的斜率為,方程為即.探究二、問題變更變更1、條件不變，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求直線的方程.法一、設(shè)直線的方程為：，其中，令，得，令，得，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，直線的方程為.法二、設(shè)直線的方程為：，其中，直線過點(diǎn)，由得等號成立，即當(dāng)且僅當(dāng)，解得，直線的方程為即.法三、作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，設(shè)，則等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，直線的斜率為,方程為即.變更2、條件不變，當(dāng)?shù)闹底钚r，求直線的方程.法一、設(shè)直線的方程為：，其中，令，得，令，得，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，直線的方程為.法二、作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，設(shè)，則當(dāng)即時，直線的斜率為,方程為即.說明：設(shè)直線的方程為：，其中，直線過點(diǎn)，，此方向困難重重！變更3、條件不變，當(dāng)?shù)闹底钚r，求直線的方程.法一、設(shè)直線的方程為：，其中，令，得，令，得，記由得當(dāng)時單調(diào)遞減；當(dāng)時單調(diào)遞增；時，有最小值，從而最小，此時直線的方程為.法二、作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，設(shè)，則記由即得函數(shù)在上單調(diào)遞增，設(shè)則此時單調(diào)遞減；此時單調(diào)遞增；即時，最短，此時直線的方程為.變更4、一般性探討直線過第一象限的點(diǎn)，分別交軸的正半軸和軸的正半軸于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r，求直線的方程.法一、設(shè)直線的方程為：，其中，令，得，令，得，記而為上的增函數(shù)，由得得，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時單調(diào)遞增；時，有最小值，從而最短，此時直線的方程為，即.法二、作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，設(shè)，則記由即得函數(shù)