2023年春上海七年級(jí)下數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義(滬教版)第15講 等邊三角形（練習(xí)）(含詳解)

第15講等邊三角形（練習(xí)）

夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2021?上海浦東新區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3米處折

斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（）.

A.6米；B.9米；C.12米；D.15米.

2.（2019?上海浦東新區(qū)?七年級(jí)月考）下列語句中錯(cuò)誤的是.

A.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；

B.連接等邊三角形三邊中點(diǎn)所構(gòu)成的三角形，也是等邊三角形：

C.三角形的外角和為360°

D.等腰三角形的對(duì)稱軸是頂角平分線

二、填空題

3.（2020?上海外國語大學(xué)閔行外國語中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，己知0是等邊△ABC內(nèi)

一點(diǎn)，。是線段3。延長線上一點(diǎn)，且,408=120°,那么N8OC=

4.（2018?華東理工大學(xué)附屬中學(xué)七年級(jí)月考）AABC中，NA=NB=60°,AB=3,那么

BC=.

5.（2021?上海浦東新區(qū)?七年級(jí)期末）若把一個(gè)邊長為2厘米的等邊△A3C向右平移a

厘米，則平移后所得三角形的周長為厘米.

6.（2020?上海閔行區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，將邊長為2c機(jī)的等邊A43c沿邊向右平

移1.5。%得到△￡>"'，則四邊形ABED的周長為.

AD

7.（2018?上海市閔行區(qū)上虹中學(xué)七年級(jí)月考）如圖，已知aABC是等邊三角形,BC=BD,/

CBD=90°,則N1的度數(shù)是

8.（2019?上海長寧區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知AABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在

同一直線上，且CG=CD,DF=DE,則NE=度.

三、解答題

9.（2020?上海市建平中學(xué)七年級(jí)期末）如圖,點(diǎn)E是等邊AABC外一點(diǎn)，點(diǎn)。是

8c邊上一點(diǎn)，AD=BE，NCAD=NCBE,聯(lián)結(jié)E￡＞、EC.試判斷ADCE的形狀,

并說明理由.

能力提升

一、單選題

1.（2020?上海市第十中學(xué)七年級(jí)月考）在下列命題中：①有一個(gè)外角是120°的等腰三

角形是等邊三角形；②有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③有一邊上的高也是

這邊上的中線的三角形是等邊三角形；④三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形.正確的

命題有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

2.（2019?上海長寧區(qū)?七年級(jí)期末）下列所敘述的圖形中，全等的兩個(gè)三角形是（）

A.含60°角的兩個(gè)直角三角形B.腰對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形

C.邊長均為5厘米的兩個(gè)等邊三角形D.一個(gè)鈍角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形

二、填空題

3.（2021?上海浦東新區(qū)?七年級(jí)期末）在以△力比'中，NO=90°,將這個(gè)三角形折疊，

使點(diǎn)夕與點(diǎn)4重合，折痕交邊四于點(diǎn)也交房于點(diǎn)兒如果以-2AG那么

度.

4.（2019?上海浦東新區(qū)?七年級(jí)期末）已知NAO3=30°,點(diǎn)尸在NAO8的內(nèi)部，點(diǎn)

片與點(diǎn)尸關(guān)于06對(duì)稱，點(diǎn)外與點(diǎn)P關(guān)于Q4對(duì)稱，若OP=5,則

5.（2019?上海市民辦新竹園中學(xué)七年級(jí)期中）在△?1比中，N小60°,BC=6,AC=4,AD

是高，將必沿著4〃翻折，點(diǎn)。落在點(diǎn)￡上，那么龍的長是；

6.（2018?華東理工大學(xué)附屬中學(xué)七年級(jí)月考）在同一平面內(nèi)，將一副直角三角板ABC和

EDF如圖放置（NC=60°,/F=45°）,其中直角頂點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，則

ZCGF=".

7.（2018?上海金山區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知A/SC是等邊三角形，〃為宛延長線上

一點(diǎn)，龍平分NACD,CE=BD,AD=7,那么］￡的長度是.

A

三、解答題

8.（2019?上海七年級(jí)月考）如圖，已知AABC和aBDE都是等邊三角形，試說明:

BD+DC=AD.

9.（2019?上海市東華大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，D是邊

AC上一點(diǎn)，連接BD.將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE,連接ED.若BC=10,

BD=9,求AAED的周長。

B

10.（2017?上海虹口區(qū)?七年級(jí)期末）說理填空：如圖，點(diǎn)￡1是〃C的中點(diǎn)，EOEB,Z

物=120°,DF//BE,且〃F平分/物，若△頗1的周長為18cm,求〃C的長.

解：因?yàn)檗k1平分鞏（己知）

所以/乃仁.（_）

2

因?yàn)?物=120°,（已知）所以NF浚.

因?yàn)槲?/9（已知）

所以NFDC=N_________=60°.（）

又因?yàn)橄菅郏ㄒ阎?/p>

所以45位為等邊三角形.（）

因?yàn)椤?gt;?（方的周長為18cm,（已知）所以夠Q叱6cm.

因?yàn)辄c(diǎn)￡是勿的中點(diǎn)，（已知）所以a>2或M2cm.

11.（2019?上海普陀區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知,分別以15、AC為邊在AABC

的外部作等邊三角形/I劭和等邊三角形力"聯(lián)結(jié)DC、試說明戊三比'的理由.

12.(2019?上海普陀區(qū)?七年級(jí)期末)如圖，已知△ABC中，點(diǎn)2、V是a'邊上兩

點(diǎn)，且AD=AE,2BA叵/CAD=90°,

(1)試說明旗與全等的理由；

(2)如果AMD,試判斷的形狀，并說明理由.

13.(2020?上海市第十中學(xué)七年級(jí)月考)如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM、ACBN

都是等邊三角形，AN、MC交于點(diǎn)E,BM、CN交于點(diǎn)P

(1)說明AN=MB的理由

(2)ACEF是什么三角形？為什么？

14.(2020?上海市建平中學(xué)七年級(jí)期末)如圖，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片A8C,

DEC重合放置,其中NC=9(y，NB=NE=30.

（1）操作發(fā)現(xiàn):

如圖2，固定AA3C,使ADEC繞點(diǎn)、C旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)。恰好落在AB邊上時(shí)，填空:

①線段OE與AC的位置關(guān)系是；

②設(shè)的面積為5，AAEC的面積為邑，則S?與邑的數(shù)量關(guān)系是—

（2）猜想論證:

當(dāng)ADEC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到如圖3位置時(shí)，猜想（1）中邑與邑的數(shù)量關(guān)系是否還成立？請(qǐng)說

明理由.

第15講等邊三角形（練習(xí)）

夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（2021?上海浦東新區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3米處折

斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為（）.

A.6米；B.9米；C.12米；D.15米.

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形中30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出折斷部分的長度，

再加上離地面的距離就是折斷前樹的高度.

【詳解】解：如圖，根據(jù)題意BC=3米，

VZBAC=30°,ZACB=90°,

；.AB=2BC=2X3=6米，

，BC+AB=3+6=9（米）.

故選B

【點(diǎn)進(jìn)】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，比較簡單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

2.（2019?上海浦東新區(qū)?七年級(jí)月考）下列語句中錯(cuò)誤的是.

A.有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形；

B.連接等邊三角形三邊中點(diǎn)所構(gòu)成的三角形，也是等邊三角形：

C.三角形的外角和為360°

1）.等腰三角形的對(duì)稱軸是頂角平分線

【答案】D

【分析】分別利用等邊三角形的判定方法對(duì)AB進(jìn)行判斷，利用三角形外角和對(duì)C進(jìn)行判

斷，利用對(duì)稱軸是直線對(duì)D進(jìn)行判斷后，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：A、根據(jù)等邊三角形的判定得出：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角

形，故A正確；

B、順次連接三角形三邊的中點(diǎn)所成的線段，根據(jù)中位線的性質(zhì)可知都是對(duì)應(yīng)邊的一半，所

以所構(gòu)成的三角形也是等邊三角形，故B正確；

C、根據(jù)三角形的外角和等于360°可知，故C正確：

。、沿某等腰三角形的頂角平分線所在直線翻折后左右能夠重合，而頂角平分線是線段不

是直線，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定、三角形中位線定理、等腰三角形性質(zhì)及三角形外

角和定理，解題的關(guān)鍵是熟悉對(duì)稱軸是直線而三角形角平分線是線段以及等邊三角形的判

定定理.

二、填空題

3.（2020?上海外國語大學(xué)閔行外國語中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，已知0是等邊△ABC內(nèi)

一點(diǎn)，。是線段B。延長線上一點(diǎn)，且。。=Q4,NAOB=120°,那么=

【答案】60°

【分析】山NAO5的度數(shù)利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得出NAOD=60°,結(jié)合0。=。4可得出

A48為等邊三角形，而根據(jù)旋轉(zhuǎn)全等模型由S4S易證出AB40MAe4。，根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)可得出ZADC=ZAOB=120°,再根據(jù)/8￡9=//4￡心一/90即可求出/8。。

的度數(shù).

【詳解】解：:AABC為等邊三角形，

AB=AC.ZR4C=60°.

QZAO8=120°,ZAOD+ZAOB=180°,

.?.NAOD=60。.

又QOD=OA,

：.AAQD為等邊三角形，

AO=AD,AOAD=60°,ZADO=60°.

ZBAO+ZOAC=ZOAC+ZCAD=60°,

,-.ZBAO=ZCAD.

在ABAO和ACAO中，

'AB=AC

?ZBAO=NCAD,

AO^AD

:.ABAO=ACAD（SAS）,

ZADC=ZAOB=120°,

/.ZBDC=ZADC-ZADO=60°.

故答案為：60.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及角的計(jì)算，

通過證明ABAO^ACAD,找出Z4Z）C=NAQ8=120。是解題的關(guān)鍵.

4.（2018?華東理工大學(xué)附屬中學(xué)七年級(jí)月考）AABC中，NA=NB=60°,AB=3,那么

BC=.

【答案】3

【分析】由AABC中，ZA=ZB=60°,即可證得AABC是等邊三角形，又由AB=3,即可求

得BC的長.

【詳解】解：:△ABC中，ZA=ZB=60°

,,.ZA=ZB=ZC=60°

??.△ABC等邊三角形

.,..BC=AB=3

故答案為3.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是等邊三角形

的判定.

5.（2021?上海浦東新區(qū)?七年級(jí)期末）若把一個(gè)邊長為2厘米的等邊4A3c向右平移a

厘米，則平移后所得三角形的周長為__________厘米.

【答案】6

【分析】平移不改變?nèi)切蔚闹荛L，求出原來的周長即可.

【詳解】解：原三角形的周長是：2+2+2=65,

平移后的三角形周長不變，還是6cm.

故答案是：6.

【點(diǎn)睛】本題考查圖形的平行，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)D形平移的性質(zhì).

6.（2020?上海閔行區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，將邊長為2cm的等邊AA3C沿邊8C向右平

移1.5cm得至U\DEF,則四邊形ABFD的周長為.

【答案】9cm

【分析】由將邊長為2cm的等邊AABC沿邊BC向右平移1.5cm得到△DEF,根據(jù)平移的性

質(zhì)得至|JBE=AD=1.5cm,EF=BC=2cm,DF=AC=2cm,然后利用周長的定義可計(jì)算出四邊

形ABFD的周長.

【詳解】：將邊長為2cm的等邊AABC沿邊BC向右平移1cm得到ADEF,

.'.BE=AD=1,5cm,EF=BC=2cm,DF=AC=2cm,

四邊形ABFD的周長=AD+AB+BE+EF+FD=L5+2+1.5+2+2=9（cm）.

故答案為：9cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)：平移不改變圖象的大小和形狀；平

移后的線段與原線段平行（或在同一直線上）且相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段等于平移的距離.

7.（2018?上海市閔行區(qū)上虹中學(xué)七年級(jí)月考）如圖，已知AABC是等邊三角形,BC=BD,Z

CBD=90°,則N1的度數(shù)是.

【分析】利用等邊三角形性質(zhì)先得到NABC=60°,BD=BC可得到AABD是等腰三角形，然后

根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到NADB,再通過三角形內(nèi)角和計(jì)算出N1的對(duì)頂角度數(shù)即可

【詳解】因?yàn)锳ABC是等邊三角形，

所以AB=BC,ZABC=60°

因?yàn)锽D=BC,所以AB=BD

所以NBAD=NBDA

在AABD中，因?yàn)镹CBD=90°,ZABC=60°

所以/ADB=(180°-90°-60°)4-2=15°

所以Nl=180°-ZCBD-ZADB=180°-90°-15°=75°

故填75°

【點(diǎn)睛】本題結(jié)合了等邊三角形性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練運(yùn)用內(nèi)

角和定理是解題關(guān)鍵

8.（2019?上海長寧區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知aABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、I）、E在

同一直線上，且CG=CD,DF=DE,則NE=度.

【答案】:

【分析】根據(jù)等邊三角形三個(gè)角相等，可知NACB=60°,根據(jù)等腰三角形底角相等即可得

出/E的度數(shù).

【詳解】解：?.?△ABC是等邊三角形，

ZACB=60°,ZACD=120",

：CG=CD,

ZCDG=30°,ZFDE=150°,

VDF=DE,

：.ZE=15°.

故答案為15.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用等邊對(duì)等角是關(guān)鍵.

三、解答題

9.（2020?上海市建平中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E是等邊A48C外一點(diǎn)，點(diǎn)D是

8c邊上一點(diǎn)，AD=BE，ZCAD=ZCBE,聯(lián)結(jié)。、EC.試判斷AOCE的形狀,

并說明理由.

【答案】AOCE是等邊三角形，理山見解析

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC,ZACB=60°,然后利用SAS即可證出八48

學(xué)ABCE,從而得出CD=CE,ZBCE=ZACD=60°,最后利用等邊三角形的判定定理即可得

出結(jié)論.

【詳解】解：AOCE是等邊三角形，理由如下

,/AABC為等邊三角形

.,.AC=BC,ZACB=60°

在八48和ABCE中

AC=BC

<ZCAD=4CBE

AD=BE

：.^ACD^^BCE

.\CD=CE,ZBCE=ZACD=60°

AOCE是等邊三角形.

【點(diǎn)睛】此題考查的是等邊三角形的判定及性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握等邊三

角形的判定及性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

能力提升

一、單選題

1.（2020?上海市第十中學(xué)七年級(jí)月考）在下列命題中：①有一個(gè)外角是120°的等腰三

角形是等邊三角形；②有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③有一邊上的高也是

這邊上的中線的三角形是等邊三角形；④三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形.正確的

命題有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和定義，可得：有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角

形；三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形為等邊三角形；再由中線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的定義可解

答本題.

【詳解】解：①因?yàn)橥饨呛团c其對(duì)應(yīng)的內(nèi)角的和是180°,已知有一個(gè)外角是120。，即是

有一個(gè)內(nèi)角是60°,有一個(gè)內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.該結(jié)論正確：

②兩個(gè)外角相等說明該三角形中兩個(gè)內(nèi)角相等，而等腰三角形的兩個(gè)底角是相等的，故不

能確定該三角形是等邊三角形.該結(jié)論錯(cuò)誤；

③等腰三角形的底邊上的高和中線本來就是重合的，“有一邊”可能是底邊，故不能保證該

三角形是等邊三角形.該結(jié)論錯(cuò)誤；

④三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形，說法正確，

正確的命題有2個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用的等邊三角形的判定方法解

決問題.

2.（2019?上海長寧區(qū)?七年級(jí)期末）下列所敘述的圖形中，全等的兩個(gè)三角形是（）

A.含60°角的兩個(gè)直角三角形B.腰對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形

C.邊長均為5厘米的兩個(gè)等邊三角形D.一個(gè)鈍角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形

【答案】C

【分析】綜合運(yùn)用判定方法判斷.根據(jù)已知條件，結(jié)合全等的判定方法逐一驗(yàn)證.

【詳解】解：A.兩個(gè)含60°角的直角三角形，缺少對(duì)應(yīng)邊相等，所以不是全等形；

B.腰對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形，夾角不一定相等，所以不是全等形；

C.等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于60°,所以邊長均為5厘米的兩個(gè)等邊三角形，各條邊

相等，各個(gè)角也相等，是全等三角形；

I）.一個(gè)鈍角相等的兩個(gè)等腰三角形.缺少對(duì)應(yīng)邊相等，不是全等形.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法；需注意：判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊

的參與，還要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系.

二、填空題

3.（2021?上海浦東新區(qū)?七年級(jí)期末）在股△/比1中，ZC=90°,將這個(gè)三角形折疊，

使點(diǎn)8與點(diǎn)4重合，折痕交邊四于點(diǎn)M交比1于點(diǎn)M如果曲-2.AW那么/4%三

度.

【答案】30

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到=胡=八%,求出牝‘=60°,再利用三角形的外角

定理得N2=2N8然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，

B

???將這個(gè)三角形折疊，使點(diǎn)方與點(diǎn)/重合，折痕交4?于點(diǎn)也交6c于點(diǎn)A；

,?.Z1=Z5,NA=NB,

■:B42NC,

-2NC,

VZC^90o,

：.ZCAN=^°,

...NW=60°,

VZ2=2Z5,

Z.ZB=30°,

故答案為：30.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即得到對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相

等.也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.

4.（2019?上海浦東新區(qū)?七年級(jí)期末）已知NAOB=30°,點(diǎn)尸在NAO8的內(nèi)部，點(diǎn)

6與點(diǎn)P關(guān)于。5對(duì)稱，點(diǎn)丹與點(diǎn)P關(guān)于Q4對(duì)稱，若OP=5,則《鳥=.

【答案】5

【分析】連接0P,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得0PF0P=0P2,ZB0P=ZB0P,,ZA0P=ZA0P2,然后

求出NPQP2=2NA0B=60°,再根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形判定.

【詳解】解：如圖，連接OP,

：Pi與P關(guān)于0B對(duì)稱，P?與P關(guān)于0A對(duì)稱,

，OP|=OP=OP2,ZBOP=ZBOPI（ZA0P=ZA0P2,

r.OP產(chǎn)PO2,

ZPI0P2=ZB0P+ZB0P,+ZA0P+ZA0P2=2ZB0P+2ZA0P=2ZA0B,

VZA0B=30°,

/.ZPIOP2=6O°,

...△PQPz是等邊三角形.

.".PR=OP?=OP=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)求

出△PQP?的兩邊相等且有一個(gè)角是60°是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀.

5.（2019?上海市民辦新竹園中學(xué)七年級(jí)期中）在△46C中，ZC=60°,BC=6,4,AD

是高，將沿著4?翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)右上，那么龐1的長是；

【答案】2

【分析】先解直角AACD,得出CD=2,再根據(jù)翻折的性質(zhì)得到DE=CD=2,那么由BE=BOCD-

DE即可求解.

【詳解】如圖，在直角4ACD中，

VZADC=90°,/C=60°,

ZDAC=30",

.\CD=-AC=-X4=2.

22

,/將△ACD沿著AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E上,

；.DE=CD=2,

VBC=6,

BE=BC-CD-DE=6-2-2=2.

故答案是：2.

【點(diǎn)睛】考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等.也考

查了直角三角形的性質(zhì).

6.（2018?華東理工大學(xué)附屬中學(xué)七年級(jí)月考）在同一平面內(nèi)，將一副直角三角板ABC和

EDF如圖放置（NC=60°,NF=45°）,其中直角頂點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，則

NCGF=°.

【答案】15°

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半證明AADC是等邊三角形，得ZEAG=12

0°,在AAEG中求出NAGE=15°即可解題.

【詳解】解：由題得：AD是直角三角形斜邊中點(diǎn)，

.?.AD=』BC=CD=BD

2

ZC=60°,NF=45°,

.'.△ADC是等邊三角形，

.,.ZDAC=60°,

.,.ZEAG=125°,

.,.ZCGF=ZAGE=15°.

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊的直角三角形,斜邊中線的性質(zhì)，屬于簡單題，證明AADC是等邊三

角形是解題關(guān)鍵.

7.（2018?上海金山區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知AABC是等邊三角形，〃為常延長線上

一點(diǎn)，龍平分NACO,CE=BD,4）=7,那么的長度是

【答案】7

【分析】先利用等邊三角形的性質(zhì)得力爐/GN廬/1%=60°,再根據(jù)角平分線的定義得

到N/上60°,然后根據(jù)“SAS”判斷電△力宙從而得到4斤4）=7.

【詳解】8c為等邊三角形，:.A爐AC,/4/AC斤60°,.,.ZJG?=120o.

"：CE平分匕ACD,：.ZAC^~ZJGP=60o.

2

在△4劭和中，

AB=AC

V\ZB=ZACE,：.^\ABD^/\ACE,J.AE^Ab=7.

BD=CE

故答案為7.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性

質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.也

考查了等邊三角形的性質(zhì).

三、解答題

8.（2019?上海七年級(jí)月考）如圖，已知AABC和4BDE都是等邊三角形，試說明：

BD+DC=AD.

【分析】首先證明AABE/aCBD,進(jìn)而得到DC=AE,再由AD=AE+ED利用等量代換AD=BD+CD

【詳解】?.'△ABC和ABDE都是等邊三角形，

,,.AB=AC,EB=DB=ED,ZABC=ZEBD=60°

ZABC-ZEBC=ZEBD-ZEBC

BPZABE=ZCBD

在AABE和△0?中

AB-BC

■ZABE=NCBD

BD=BE

.,.△ABE^ACBD(SAS),

ADC=AE

/.AD=AE+ED

；.AD=BD+CD

【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于證明二:角

形全等

9.（2019?上海市東華大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等邊AABC中，D是邊

AC上一點(diǎn),連接BD.將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE,連接ED.若BC=10,

BD=9,求AAED的周長。

【答案】19.

【分析】先由ZiABC是等邊三角形得出AC=AB=BC=10,根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=CD,

BD=BE,故可得出AE+AD=AD+CD=AC=10,由NEBD=60°,BE=BD即可判斷出4BDE是等邊三

角形，故l）E=BD=9,故AAED的周長=AE+AD+1）E=AC+BD=19.

【詳解】??.△ABC是等邊三角形，

.,.AC=AB=BC=10,

「△BAE由aBCD逆時(shí)針旋旋轉(zhuǎn)60°得出，

.?.AE=CD,BD=BE,ZEBD=60°,

.,.AE+AD=AD+CD=AC=10,

VZEBD=60",BE=BD,

/.△BDE是等邊三角形，

；.DE=BD=9,

AAAED的周長=AE+AD+DE=AC+BD=19.

故答案為：19.

【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于得到ABDE是等

邊三角形.

10.（2017?上海虹口區(qū)?七年級(jí)期末）說理填空：如圖，點(diǎn)￡是"的中點(diǎn)，E（=EB,Z

6X14=120°,DF//BE,且如平分/如，若△況Z1的周長為18cm,求m'的長.

A'

B

DEC

解：因?yàn)榧?平分NG鞏（已知）

所以/功小1/_________.（_____________________）

2

因?yàn)?物=120°,（已知）所以N/7右°.

因?yàn)殛?陽（已知）

所以NF。e/=60°.（）

又因?yàn)橄菁矗ㄒ阎?/p>

所以48四為等邊三角形.（）

因?yàn)椤鞒鹁闹荛L為18cm,（已知）所以夢(mèng)叱叱6cm.

因?yàn)辄c(diǎn)￡是〃。的中點(diǎn)，（己知）所以叱2&M2cm.

【答案】ADC；角平分線意義；60；BEC；兩直線平行，同位角相等；有一個(gè)角是60°的等

腰三角形是等邊三角形

【分析】利用角平分線的性質(zhì)得出NFDC的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)得出/BEC的度數(shù)，

進(jìn)而得出4BCE為等邊三角形.

【詳解】...DF平分NCDA,（己知）

；./FDC二,NADC.（角平分線意義）

2

；NCDA=120°,（已知）

.,.ZFDC=60°.

VDF/7BE,（已知）

ZFDC=ZBEC=60°.（兩直線平行,同位角相等）

又：EC=EB,（已知）

...△BCE為等邊三角形.（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）

「△BCE的周長為18cln,（已知）

/.BE=EC=BC=6cm.

??,點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，（已知）

DC=2EC=12cm.

【點(diǎn)睛】考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)已知得出NFDC=NBEC

是解題關(guān)鍵.

11.（2019?上海普陀區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知△4%1,分別以AB、AC為邊在△?1比

的外部作等邊三角形4切和等邊三角形4四聯(lián)結(jié)DC、BE試說明戊三期的理由.

【分析】由等邊三角形/即和等邊三角形ACE得到NBAD=ZCAE,AD=AB,AC=AE,證

得AADC^AABE,即可得到l）C=BE.

【詳解】是等邊三角形（已知），

：.AD=AB,ZBAD=60°（等邊三角形的性質(zhì)），

同理AC=AE,ACAE=60°,

ABAD=ACAE（等量代換），

ABAD+Z.BAC=ACAE+ZBAC（等式性質(zhì)）,

即/%C=NBAE.

在aADC和^ABE中

AD=AB

<4DAC=NBAE,

AC=AE

.?.△ADC^AABE（SAS）,

：.DC=BE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，依據(jù)等邊三角形得到

線段及角的等量關(guān)系，由此證得三角形全等，從而得到DC=BE.

12.（2019?上海普陀區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知△ABC中，點(diǎn)、D、E是BC邊上兩

點(diǎn)，且AI）=AE,2BA-CAD=90°,

（1）試說明△/班?與全等的理由；

（2）如果AD=BD,試判斷△力場的形狀，并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）△ADE是等邊三角形.理由見解析.

【分析】⑴由AD=AE得到NAED=ZADE,再由NBAE=NCAD=90°即可得到AABE

ACD；

（2）由AD=BD得到/BAD=ZB,依據(jù)三角形內(nèi)角和求得/AED=60°可得到4ADE是等

邊三角形.

【詳解】（1）VAl）=AE（已知），；.NAED=ZADE（等邊對(duì)等角）.

ZBAE^ZCAD

在AABE和4ACD中《AE=AO,AAABEACD（ASA）；

ZAEB^ZADC

（2）Z\ADE是等邊三角形.理由：VAD=BD,

.,.ZBAD=ZB（等邊對(duì)等角）.

設(shè)NB的度數(shù)為x,則NBAD的度數(shù)為x.

VZADE=ZB+ZBAD（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）,

AZADE=ZAED=2x.

VZB+ZAEB+ZBAE=180°（三角形的內(nèi)角和等于180°）,

/.x+2x+90°=180°,

解得x=30°,

.,.ZAED=60°.

VAD=AE（已知），

.'.△ADE是等邊三角形（有一個(gè)內(nèi)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）.

【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定，（1）中根據(jù)AD=AE證

得NAED=ZADE,得到三角形全等；（2）中依據(jù)三角形內(nèi)角和求得NAED=60°可得到△

ADE是等邊三角形.

13.（2020?上海市第十中學(xué)七年級(jí)月考）如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，ZXACM、ACBN

都是等邊三角形，AN、MC交于點(diǎn)E,BM、CN交于點(diǎn)F

（1）說明AN=MB的理由

（2）ACEF是什么三角形？為什么？

【答案】（1）見詳解；（2）△QF是等邊三角形，理由見詳解.

【分析】（1）等邊三角形的性質(zhì)可以得出△力△機(jī)右兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)

三角形全等，得出線段4V與線段相等.

（2）平角的定義得出/胱￥=60°,通過證明吐得出小三0；根據(jù)等邊三角形

的判定得出△呼的形狀.

【詳解】（1）證明：與△*￥都是等邊三角形，

：.AC=MC,CN=CB,/ACQ4BCN=6Q°.

AMCN=180°一/ACM—乙BCN=60",/ACM+4MCN=NBCN+4MCN,

即：Z.ACN=Z.MCB,

在和△，訛B中

AC=MC

<乙ACN=4MCB,

NC=BM

:.AAC噲AMCB（S4S）.

:.A4BM.

（2）解：△即是等邊三角形，理由如下：

VZ/IGI/-600,N,必￥=60°,

:.NACQ/MCN,

'：/\AC.^^MCB,

:.NCAE=ZCMB.

在四和△然不中

NCAE=NCMF

<AC=MC

/ACE=NFCM

XAC跆△捐CFqASA）.

:.CE=CF.

又