2022年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：22圖形的相似及答案

2022年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：22圖形的相似

一、單選題

1.如圖，點(diǎn)4（0,3）、B（l,0）,將線段4B平移得到線段DC,若乙4BC=90。,BC=2AB，則點(diǎn)D

的坐標(biāo)是（）

A.(7,2)B.(7,5)C.(5,6)D.(6,5)

2.在EJABC中（如圖），點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，則SADE：SABC=()

A.1：1B.1：2C.1：3D.1：4

3.如圖所示，在菱形/BCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)C作CE||BD交4B的延長線于點(diǎn)E,

下列結(jié)論不一定正確的是（)

A.OB=*CEB.AACE是直角三角形

i

C.BC=^AED.BE=CE

4.如圖，在四邊形ABCD中,L.B=90°,AC=6,AB||CD,AC平分/.DAB.設(shè)AB=

x,AD=y,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為（）

5.在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的

高度比，可以增加視覺美感.如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)

計(jì)高度約是（）（結(jié)果精確到0.01m.參考數(shù)據(jù)：V2?1.414,V3?1.732,V5?

2.236）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m

6.如圖，在1ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點(diǎn)，設(shè)DABC的面積為Si,DEBD的面積

為S2.則片=（）

A.1B.1C.D.Z

2448

7.若△ABC-△DEF,BC=6,EF=4,則非=（）

A.B.|C.1D-1

8.將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條

直線剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片

ABCD,其中=90。，AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,則剪掉的兩個(gè)直角三角

形的斜邊長不可熊是（）

A.竽B.竽C.10D.苧

9.如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的AB邊上，將AADE沿DE翻折，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)

F處，若CD=3BF,BE=4,貝ijAD的長為（）

A.9B.12C.15D.18

10.如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A,B,D恰好都落在點(diǎn)0

處，且點(diǎn)G、0、C在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、0、F在另一條直線上.小煒同學(xué)得出以

下結(jié)論：

@GF||EC；@AB=^-AD；③GE=?F;?OC=2^2OF;?△COFCEG.

其中正確的是（）

A.①②③B,①③④C.①④⑤D.②③④

11.DABC的三邊長分別為2,3,4,另有一個(gè)與它相似的三角形DEF,其最長邊為12,則

□DEF的周長是（）

A.54B.36C.27D.21

12.如圖，D,E,F分別是匚ABC三邊上的點(diǎn)，其中BC=8,BC邊上的高為6,且DE匚BC,則

□DEF面積的最大值為（）

A.6B.8C.10D.12

13.如圖，正方形ABCD與正方形BEFG有公共頂點(diǎn)B,連接EC、GA,交于點(diǎn)O,GA與BC交于

點(diǎn)P,連接OD、OB,則下列結(jié)論一定正確的是（）

①EC匚AG；（2）QOBPDDCAP;③OB平分C2CBG；（4）DAOD=45°；

A.①③B.①②③C.②③D.①②④

14.如圖，在DABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，若DEC1BC,愛=|，DE=6cm,則BC

的長為（)

A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm

15.如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C都

在橫線上：若線段AB=3,則線段BC的長是()

A.|B.1C.|D.2

二、填空題

16.古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光

測金字塔的高度.如圖，木桿EF長2米，它的影長FD是4米，同一時(shí)刻測得OA是268米，則金字

塔的高度BO是米.

17.在矩形ABCD中，AB=9,AD=12,點(diǎn)E在邊CD上，且CE=4,點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn).若aAPE是直角三角形，則BP的長為.

18.如圖，△48。中，點(diǎn)后、F分別在邊AB、AC1.,41=42.若8。=4,AF=2,CF=3,貝U

EF=.

19.如圖1,在△ABC中，Z.B=36°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A->B-?C勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C停止.若點(diǎn)

P的運(yùn)動(dòng)速度為lcm/s,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),AP的長度為y(cm),y與t的函數(shù)圖象如圖2所示.

當(dāng)AP恰好平分NB4C時(shí)t的值為.

20.九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖(如實(shí)物圖)比較美觀，通

過手繪(如圖)、測量、計(jì)算發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E是4D的黃金分割點(diǎn)，即DE70.618AD.延長H尸與AD相交于點(diǎn)

G,貝UEG之DE.(精確到0.001)

三、綜合題

21.如圖1,拋物線y=a/+2x+c經(jīng)過點(diǎn)力(一1,0)、C(0,3),并交x軸于另一點(diǎn)B,點(diǎn)P(x,y)

在第一象限的拋物線上，AP交直線BC于點(diǎn)D.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,4)時(shí)，求四邊形BOCP的面積；

(3)點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)黑的值最大且△力PQ是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；

22.某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究丫=2*2(a>0)型拋物線圖象.發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，

該類型圖象上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F(0,X)的距離MF,始終等于它到定直線1：丫=-4上的距離

MN(該結(jié)論不需要證明)，他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線1為圖象的準(zhǔn)線，y=-人叫做拋

物線的準(zhǔn)線方程.其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn)，F(xiàn)H=2OF=例如，拋物線y=32,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F

(0,1),準(zhǔn)線方程為1：y=-4.其中MF=MN,FH=2OH=1.

（1）【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

請分別直接寫出拋物線y=2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線1的方程：,.

（2）【技能訓(xùn)練】

如圖2所示，已知拋物線丫=32上一點(diǎn)p到準(zhǔn)線1的距離為6,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）【能力提升】

如圖3所示，已知過拋物線y=ax2（a＞0）的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線1于點(diǎn)A、B、C.

若BC=2BF,AF=4,求a的值；

（4）【拓展升華】

古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比''問題：點(diǎn)C將一條線

段AB分為兩段AC和CB,使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項(xiàng)，即滿

足：空=歙=匹=.后人把與工這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”把點(diǎn)C稱為線段AB的黃金分割點(diǎn).

/\D/IC/乙

如圖4所示，拋物線y=32的焦點(diǎn)F（0,1）,準(zhǔn)線1與y軸交于點(diǎn)H（0,-1）,E為線段HF的

黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn).當(dāng)然=魚時(shí)，請直接寫出口HME的面積值.

Mr

23.如圖，△ABC^\^DBE的頂點(diǎn)B重合，z.ABC=乙DBE=90°,ABAC=乙BDE=30°,BC=3,

BE=2.

（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)點(diǎn)。，E分別在AB,BC上時(shí)，可以得出結(jié)論：然=,直線

與直線CE的位置關(guān)系是；

（2）探究證明：如圖2,將圖1中的ADBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。恰好落在線段47上，連接

EC,（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（3）拓展運(yùn)用：如圖3,將圖1中的ADBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)戊（19。＜戊＜60。），連接A。、EC,

它們的延長線交于點(diǎn)F,當(dāng)。F=BE時(shí)，求tan（60。-a）的值.

24.回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考

（1）如圖1,在DABC中，AB=AC.

①BD,CE是E1ABC的角平分線.求證：BD=CE.

②點(diǎn)D,E分別是邊AC,AB的中點(diǎn)，連接BD,CE.求證：BD=CE.

（從①②兩題中選擇一題加以證明）

（2）猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察

經(jīng)過做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在匚ABC中，AB=AC,D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,C重

合）.對于點(diǎn)D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個(gè)與其對應(yīng)的點(diǎn)E,使得BD=

CE.進(jìn)而提出問題：若點(diǎn)D,E分別運(yùn)動(dòng)到邊AC,AB的延長線上，BD與CE還相等嗎？請解決下

面的問題：

如圖2,在DABC中，AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€(gè)條件（不

再添加新的字母），使得BD=CE,并證明.

（3）探究：用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)

如圖3,在IABC中，AB=AC=2,DA=36°,E為邊AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B重合），F(xiàn)

為邊AC延長線上一點(diǎn).判斷BF與CE能否相等.若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由.

25.如圖，某水渠的橫斷面是以力8為直徑的半圓O,其中水面截線MN||AB.嘉琪在X處測得垂

直站立于8處的爸爸頭頂C的仰角為14。，點(diǎn)M的俯角為7。.已知爸爸的身高為1.7〃7.

（1）求口。的大小及28的長；

（2）請?jiān)趫D中畫出線段用其長度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米

（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.（參考數(shù)據(jù)：tan76。取4,VI7取4.1）

答案解析部分

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】C

12.【答案】A

13.【答案】D

14.【答案】C

15.【答案】C

16.【答案】134

17.【答案】挈或?qū)W或6

18.【答案】|

19.【答案】2V5+2

20.【答案】0.618

21.【答案】(1)解：?.?拋物線丫=。/+2%+＜：經(jīng)過點(diǎn)4(一1,0)、C(0,3).

...{a,2=0解得

.?.該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-/+2%+3

(2)解：如圖，連接。P,

令y=—x2+2%+3=0,

=—1,%2=3?

AB(3,0)

VC(0,3),P(l,4),

??OC=3,OB=3,Xp=1,yP=4.

?13i

??S〉POC=]OC,%P=2，S^BOP—/B-yp=6.

?15

四邊形BOCP=SAPOC+S^BOP=

(3)解：如圖，作PF||二軸,交直線BC于點(diǎn)F,

則八ABD.

?PD_PF

..而=殖

??NB=4是定值,

...當(dāng)PF最大時(shí)，華=黑最大.

設(shè)YBC=依+b,

VC(0,3),B(3,0).

x+3

■,■yBc=--

設(shè)P(zn,—m2+2m+3),則F(m2—2m,—m2+2m4-3).

9

+-

PF=m—(m2—2m)=—m24-3m=—(m—^)24

.?.當(dāng)m=|時(shí)，PF取得最大值常此時(shí)P(|,苧).

設(shè)點(diǎn)Q(3-t2+2t+3),若AAPQ是直角三角形，則點(diǎn)Q不能與點(diǎn)P、A重合,

.?.t號，t#_l,下面分三類情況討論：

①若乙4PQ=90。，如圖，

過點(diǎn)P作PP21%軸于點(diǎn)P2，作QP11P2P交P2P的延長線于點(diǎn)P1，則^PPiQAP2P.

.曲—也

,,的一碼.

3_x15

.2T一丁

,,_a+2計(jì)3得一喬T

??「壬3

,tf

13

~J=9.

t-2

??t-工.

②若乙PAQ=90°,如圖，過點(diǎn)P作直線P&1x軸于點(diǎn)過點(diǎn)Q作Q421%軸于點(diǎn)色，△APAr?

△Qi4i42.

.PA1_AA2

,?曬=西.

.竽_t+1

"j+1-t2-2t-3,

,?工。一1,

.3_1

**2=t^3-

.?.「”一丁11

③若人1QP=9O。，如圖，過點(diǎn)Q作QQi_Lx軸于點(diǎn)Qi，作P<22JLQ1Q交Q1Q的延長線于點(diǎn)Q2,則4

PQQ2FQAQI.

.PQ2_QQi

??麗一裕.

*37

?_____1_2________t+2t+3

,,^-(-t2+2t+3)-t+1

?"丐，tH-1,

,,2^1=3-t

?**「1=1，^2=2,

綜上所述，當(dāng)齡的值最大且△”<?是直角三角形時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為《學(xué)，|,1.

22.【答案】(1)(0,1)；y=-1,

(2)解：由題意得拋物線y=/x2的準(zhǔn)線方程為丁=一七=一2,

???點(diǎn)P到準(zhǔn)線1的距離為6,

二點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,

.??當(dāng)y=4時(shí)，彳/=%

解得x=±4近，

.,.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4A/2，4)或(一4A②4)

(3)解：如圖所示，過點(diǎn)B作BDEIy軸于D,過點(diǎn)A作AEty軸于E,

由題意得點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(0,直線1的解析式為：y=-右,

1

：.BD||AE||CH,FH

/.□FDBanFHC,

.BD_FD_FB

^HC~~FH~7C9

VBC=2BF,

???CF=3BF,

.BD_FD_FB_1

"HC=FH=FC=3f

??FD=

：.OD=OF-DF=4,

12a

???點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為之，

IZa

?1_2

^12a=ax'

解得久=今（負(fù)值舍去）,

6a

:?BD=善,

6a

*：AE||BD,

.,.□AEFQDBDF,

?AEBDB

?,麗=麗=’3,

^AE=遮EF，

'：AE2+EF2=AF2,

：.4EF2=AF2=16,

AEF=2,

^AE=2百，

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（―2B，2+2），

1

，2+卷=12a,

.'.48a2-8a-1=0,

???（12a+1）（4"1）=0,

解得a=/（負(fù)值舍去）

（4）解：SAHME=2V5-2或SAHME=3-遮

23.【答案】（1）百；垂直

（2）解：結(jié)論成立.

理由：\'Z.ABC=^DBE=90°,

：.^ABD="BE,

'-"AB=V5BC，BD=遮BE，

.AC_DB

?,阮=麗'

△ABDCBE,

:黑=需=?（ADB=幺BEC,

9：Z.ADB+Z.CDB=180°,

."COB+4BEC=180。，

:.乙DBE+乙DCE=180°,

■:乙DBE=90°,

:.乙DCE=90°,

：.AD1EC

（3）解：如圖3中，過點(diǎn)B作B/_LAC于點(diǎn)/,設(shè)BD交AK于點(diǎn)、K,過點(diǎn)K作KT14c于點(diǎn)K.

\'Z.A]B=90°,Z.BAC=30°,

：.^ABJ=60°,

:.（KBJ=60°-a.

V.4B=3百，

**,B]=^AB=AJ=V3BJ=

當(dāng)。F=BE時(shí)，四邊形BEFD是矩形,

??/-ADB=90°,AD=^AB2-BD2=2-(2遍)2=715,

設(shè)KT=m,貝=yf3m,AK=2m,

■:乙KTB=LADB=90°,

.,KTAD

..tana=薩=成’

.m_713

*面=痕'

?275

??DBTT=-g—

V3m+=3v

45-6/15

?m=-n-，

“)90-12715

?AK=2m=--五---?

s人。990—12同24癥一81

?KJ=A]-AK=N-----n22-'

,…。、用8^-9/3

?tan(60°-a)=苗=———

24?【答案】（1）解：①如圖1,???AB=AC,

.".□ABC=DACB,

VBD,CE是DABC的角平分線，

.,.□ABD=|DABC,DACE^nACB,

/.□ABD=DACE,

VAB=AC,A=DA,

.-.□ABDODACE,

.??BD=CE.

②如圖1,???AB=AC,點(diǎn)D,E分別是邊AC,AB的中點(diǎn),

???AE=AD,

VAB=AC,匚人=口人，

.,.□