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文檔簡(jiǎn)介
6.3二項(xiàng)式定理(精練)
【題組一二項(xiàng)式定理展開(kāi)式】
1.(2021?貴州黔東南苗族侗族自治州)計(jì)算2"一匕+2"-2£;+2"-3端+~+禺等于()
A.3"B.2x3"C.3"—1D.3"-2"
【答案】D
【解析】原式可變?yōu)椋?"C:+2nTC;+2n-2c;+2"Tc:+?..+C:)-2"。,;=(2+1)"-2"=3"-2"選項(xiàng)1).
2.(2021?江蘇無(wú)錫市))設(shè)nGN*,化簡(jiǎn)l+C:?10+C>102+C"03+―+C;40"=.
【答案】11"
【解析】容易知1+C:?1()+IO?+C;?IO,+…+C:?10"=(1+⑼”=11".故答案為:11":.
3.(2021?上海市)已知〃eN*,若C:+2C;++…+2”-2£7+2”1=40,則"=_.
【答案】4
【解析】C:+2C;+2?C;+…+2'-2CT+2"T=;(端+2C:+2?C;+…+2"C:-1)
=;[(1+2)"-1]=;(3"—1)=40.?.〃=4故答案為:4
4.(2018?江蘇無(wú)錫市)求值22"T—C;,i2i+c;,i"心+……+(一1產(chǎn)-2c2+(—I)2"T=
【答案】1
【解析】通項(xiàng)展開(kāi)式中C;"_「22"-3的b=-i,a=2,故
22"-,-C^,-22n-2+C^_,-22n-3+……+(-1廣2c丈12+(—1)21=(2—1嚴(yán)=1
【題組二二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)】
C1~3Y
1.(2020?湖北高二)——一六展開(kāi)式中含涓的項(xiàng)是()
I3X
A.第8項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第5項(xiàng)
【答案】C
任」、1、2(_1YI-
【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為:4s=C;.-XI.=(—lyji.C;?/二
、3G,(3JI)
73
令——r=——nr=5;故展開(kāi)式中含的項(xiàng)是第6項(xiàng).故選:C.
22x
2.(2020?安徽合肥市)二項(xiàng)式(1-力2()2°展開(kāi)式中的第2020項(xiàng)是()
A.1B.2O2O%2019C.-2020y9D.x2020
【答案】C
【解析】由二項(xiàng)展開(kāi)式(1—x)2°2°,可得展開(kāi)式的通項(xiàng)為7;+1=Go2o(-xy,
所以展開(kāi)式中第2020項(xiàng)為Go=G胱(-6如9=一2020鏟19.故選:C.
3.(2020?常州市新橋高級(jí)中學(xué)高二期中)二項(xiàng)式(血]+!)的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)為,
【答案】40>/2
【解析】(0X+L)的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為=。>(、舊廣'-6-2',
令6—2廠=0,可得r=3,所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為C。卜后丫=40底,故答案為:400.
4(2020?全國(guó)高二)已知,五一島=)在的展開(kāi)式中,第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).
(1)求“;
(2)求含/的項(xiàng)的系數(shù);
(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).
6345
【答案】(1)〃=10;(2)—;(3)—X2,
44~8,256/
n-rIY」(1A--
【解析】⑴卜五3
的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+]=C:x丁XX3,因?yàn)榈?
項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),所以r=5時(shí),有------=0,解得〃=10.
3
(2)令與女=2,得r=;(“—6)=gx(10—6)=2,所以含產(chǎn)的項(xiàng)的系數(shù)為量卜=?
9紅eZ
(3)根據(jù)通項(xiàng)公式與題意得,令一^^=A(AeZ),則10—2廠=3左,即廠=5-/k.reZ,
;.女應(yīng)為偶數(shù).又OWrWIO,二女可取2,0,-2,即,可取2,5,8.所以第3項(xiàng),第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有
45
2567
【題組三多項(xiàng)式指定項(xiàng)系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)】
1.(2021?鄭縣)在(1+2—])的展開(kāi)式中,/項(xiàng)的系數(shù)為()
A.-50B.-30C.30D.50
【答案】B
【解析】(1+2—%)表示5個(gè)因式(1+|-的乘枳,在這5個(gè)因式中,
有2個(gè)因式都選一x,其余的3個(gè)因式都選1,相乘可得含爐的項(xiàng);
或者有3個(gè)因式選一X,有1個(gè)因式選1個(gè)因式選1,相乘可得含爐的項(xiàng),
X
故V項(xiàng)的系數(shù)為C;+(—(?;?《?2)=—30,故選B.
2.(2021?全國(guó))(/+3x+2)6展開(kāi)式中x的系數(shù)為()
A.92B.576C.192D.384
【答案】B
【解析】卜2+3》+2)6展開(kāi)式中含”的項(xiàng)為煤(3力屐-25=6X3》*32=576%,即x的系數(shù)為576;故
選B.
3.(2020?河南鶴壁市)(x—y)(x+2y+z)6的展開(kāi)式中,的系數(shù)為()
A.-30B.120C.240D.420
【答案】B
【解析】[(x+2y)+z]2展開(kāi)式中含z2項(xiàng)為Cl(%+2>-)4z2,(x+2y『展開(kāi)式中孫?項(xiàng)的系數(shù)為
C:X23,*2y2項(xiàng)的系數(shù)為c:x22,.?.(x—y)(x+2y+z)6展開(kāi)式中/y3z2的系數(shù)為
C:C:X23_C;C:X22=480-360=120,故選B.
,1?
4.(2020?新疆高二期末)代數(shù)式(/+2)(--1)5的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是(用數(shù)字作答)
x
【答案】3
【解析】已一”的通項(xiàng)公式為&|=。6尸(一1)「=(一1)匕”.
令2r—10=—2,得廠=4;令2r—10=0,得r=5.
4
常數(shù)項(xiàng)為(-1)C:+2(7)5C;=5-2=3故答案為3
5.(2020?民勤縣第一中學(xué)高二期末)(/-1)(五+彳)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.(用數(shù)字作答)
【答案】180
【解析】(4+2)的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式£+1=以(4廣|2)=以.2-/考,
而(V一+=%3(?+2)_(?+2))分別令3—與=一3,3—當(dāng)=0,解得攵=4,或左=2.
??.(d-l)[五+2)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)24。:—22。:=18().故答案為:180.
6.(2020?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))求(l+x)6(2y+l)5的展開(kāi)式中公>2的系數(shù)
【答案】600
【解析】因?yàn)椋╨+x)6(2y+l)5的展開(kāi)式中含x、2的項(xiàng)為c:%4c;(2y)2,所以其系數(shù)為2?=600.故
答案為:600
7.(2020?江蘇省太湖高級(jí)中學(xué)高二期中)(f+3x+2)5的展開(kāi)式中V的項(xiàng)的系數(shù)是.
【答案】1560
【解析】由題意,(f+3x+2)5=(l+x)5(2+x)5,
因?yàn)椋?+X)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為=qx1-,(2+4的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為a=C;25Yf,
所以(/+3X+2)5的展開(kāi)式中X3的項(xiàng)的系數(shù)是C;C;25+C;C;24+C;C;23+
320+800+400+40=1560.故答案為:1560.
6
己知(2/+。)卜―
8.(2020?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))的展開(kāi)式中V的系數(shù)是-10,求實(shí)數(shù)a的值
【答案】2
【解析】由(x—的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為(+1=C;x6-(一=(—iyc;x6-2,(r=o,],2,...,6),
令6—2廠=0,可得r=3,令6—2廠=2,可得r=2,
所以(2尤2+力卜」)的展開(kāi)式中/的系數(shù)為2x(-1)3XC:+“X(—1)2XC;=T0,
解得a=2.故答案為:2.
【題組四二項(xiàng)式定理的性質(zhì)】
1.(2020?安徽省六安中學(xué)高二期中)的展開(kāi)式中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開(kāi)
式中%5的系數(shù)為()
【答案】D
【解析】因?yàn)樵诘恼归_(kāi)式中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大所以”=8所以
(1(1\r8+r8+廣
式的通項(xiàng)(+i=C;(?)81—--x〒,r=0,l,2,…,8令丁=5,得r=2
\2/\2/2
所以展開(kāi)式中d的系數(shù)為=7故選:D
(1V
2.(2020?利川市第五中學(xué)高二期末)若上的展開(kāi)式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開(kāi)式中
kx)
含f項(xiàng)的系數(shù)是()
A.132B.-132C.-66D.66
【答案】D
【解析】因?yàn)椋▁—'
展開(kāi)式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,
所以〃為偶數(shù),展開(kāi)式有13項(xiàng),〃=12,
所以二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為(+1=G2M2-rj—=C;2(—
由12—2r=8得r=2,所以展開(kāi)式中含f項(xiàng)的系數(shù)為=66.故選:D
3.(2020?銀川市?寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高二期中)(五一展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則
展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是()
A.180B.90C.-180D.-90
【答案】A
【解析】馬]展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,.?.〃=io,
故(4一4)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為C;o(△>'1_=/(-2)";母,令5-全=0,解得
r=2,所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為Gjx2?=18().故選:A
4.(多選)(2020?江蘇泰州市?高二期末)在的展開(kāi)式中,下列說(shuō)法正確的有()
1X)
A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為0
C.常數(shù)項(xiàng)為20D.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)
【答案】ABD
【解析】的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為26=64,A正確;
IX)
令x=l可得(x—L)的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為(1—1)6=0,B正確:
通項(xiàng)為(;(一1)'產(chǎn)2,,令6-2r=0nr=3,所以「一口的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為《(—=—20,C錯(cuò)誤;
IX)
(尤-工)的展開(kāi)式共有7項(xiàng),二項(xiàng)式系數(shù)最大為第4項(xiàng),D正確.故選:ABD
5.(多選)(2020?蘇州市第四中學(xué)校高二期中)已知(?+也)"(其中〃<15)的展開(kāi)式中第9項(xiàng),第
10項(xiàng),第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.則下列結(jié)論正確的是()
A.〃的值為14B.展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為第8項(xiàng)
C.展開(kāi)式中有理項(xiàng)有3項(xiàng)D.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第7項(xiàng)
【答案】AC
【解析】由題意2C:=C:+C;°,化簡(jiǎn)得(〃-14)(〃一23)=0,."=14.A正確;
42-r
展開(kāi)式通項(xiàng)為T(mén)r+l=(6)g(孤)=C:x〒(0<r<14,re^),
顯然其中無(wú)常數(shù)項(xiàng),B錯(cuò)誤;
42—r
當(dāng)廠=0,6,12時(shí),-----=7,6,5為整數(shù),因此展開(kāi)式中有3項(xiàng)為有理項(xiàng),C正確;
6
展開(kāi)式有15項(xiàng),二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第8項(xiàng),D錯(cuò)誤.故選:AC.
6.(2020?山東濰坊市?壽光現(xiàn)代中學(xué)高二期中)關(guān)于的說(shuō)法,正確的是()
A.展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2048
B.展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
C.展開(kāi)式中第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
D.展開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大
【答案】AC
【解析】的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=2048,所以A正確;
因?yàn)椤?11為奇數(shù),所以展開(kāi)式中有12項(xiàng),中間兩項(xiàng)(第6項(xiàng)和第7項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大,所以5
不正確,C正確;展開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù),不是最大值,所以0不正確.故選:AC
/2丫
7.(2020?河北石家莊市?石家莊二中高二期中)(多選題)已知一+3/展開(kāi)式中,各項(xiàng)系數(shù)的和比
I7
它的二項(xiàng)式系數(shù)的和大992,則下列結(jié)論正確的為()
A.展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為B.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第三項(xiàng)
C.展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)只有第五項(xiàng)D.展開(kāi)式中有理項(xiàng)為第三項(xiàng)、第六項(xiàng)
【答案】CD
【解析】令x=l,可得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為4",又二項(xiàng)式系數(shù)的和2",
因?yàn)楦黜?xiàng)系數(shù)的和比它的二項(xiàng)式系數(shù)的和大992,所以4"-2"=992,解得〃=5,
對(duì)A:因?yàn)槎?xiàng)式展開(kāi)式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和,
25
所以展開(kāi)式中,偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為二=2",故A錯(cuò)誤;
2
對(duì)B:因?yàn)椤?5,所以第三項(xiàng)、第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,故B錯(cuò)誤;
210+4r
對(duì)C:j1=Cj')5-r-(3x2)r=C5-3r-x3,設(shè)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第r+1項(xiàng),
c-y>c'~'-3r-179
則{rLi川,解得一WrW-,又rwN,所以r=4,
C;-3r>C;+1-3r+122
所以展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)只有第五項(xiàng),故C正確;
10+4〃
對(duì)D:若Zs是有理項(xiàng),則當(dāng)且二一為整數(shù),又0KrW5,reN,
所以r=2,5,所以展開(kāi)式中有理項(xiàng)為第三項(xiàng)、第六項(xiàng),故D正確.故選:CD
【題組五二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)和】
1.(2020?浙江臺(tái)州市?高二期中)若(l+x)3(l-2x)4=%+++…+%/,則/+。2+%+。6=
()
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
【解析】令x=l可得:%+4+%+…+%=(1+1)3(1-2)4=8,
令尤=—1可得:<20—<21+<224----%=(1—1)3(1+2)4=0,兩式相加可得:2(q)+。2+4+。6)=8,
所以4+4+4+46=4,故選:B
2.(2020徐曼旗實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中)已知(1+x)"=%+4%+4乂2+…+a,X',4+4+4+…+%=16,
則自然數(shù)〃等于()
A.6B.5C.4D.3
【答案】C
【解析】由題意,令x=l,則(1+1)"=4+4+%■1--->■—2,!)
因?yàn)?+弓+%-1---=16,所以2"=16,解得〃=4.故選:C.
3.(2020?河北石家莊市?石家莊二中高二期中)若
20M2019aJl822020
a0x+a1x(l-x)+a2x(l-x)+...+a2020(l-x)=l,則,+4+…+囁。=()
A.1B.0C.22020D.22021
【答案】C
2<,2(,202020192OI822020
【解析】Q[x+(1-x)]=aox+a,x(l-x)+?2X(1-x)+L+?2020(l-x)=1,
當(dāng)0WZW2020且&eN時(shí),ak=C*020,
因此,“o+q+a2H-----“202。=。力。+Go2o+C;o2o+L+C;:;;=2"~°.故選:C.
4.(2020?古丈縣第一中學(xué)高二月考)已知多項(xiàng)式
(2x—l)、5(2x—l)4+10(2x—l)3—10(2x—I)?+5(2x—l)—1可以寫(xiě)成
234
a0+a.x+a2x+a3x+a4x+,則4+02+%=()
A.0B.-1024C.-512D.-256
【答案】C
【解析】由題意,多項(xiàng)式(2x—l)s—5(2x—l)4+10(2x—l)3—10(2x—1F+5(2X—1)—1
=[(2X-1)-1]5=(2X-2)5,
2345
即(2x-2y'=%+qx+a2x+a3x+a4x+a5x,
令X=l,可得/+4+/+/+%+。5=0,
令x=_1,口J"得a?!猶+a,-a?+4一出=(一4),———1024,
兩式相加,可得2(4+/+%)=-1°24,可得/+%+。4=-512.
故選:C.
%21)
5.(2020請(qǐng)海高二期末)已知萬(wàn)一弁的展開(kāi)式中第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為()
11
A-環(huán)B.---7TC.210D.-210
210
【答案】A
(2、"-8/、8
【解析】y1--y=J=28-,,Cy-2°,所以2〃—20=0,則〃=1(),
什1=4r>所以展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為』.故選:A.
令X=l,可得
21。21。
6.(2020?寧夏吳忠市?吳忠中學(xué))設(shè)復(fù)數(shù)尤=」(i是虛數(shù)單位),則
1-z
2
Cj0|9X+C;O|9X+C短%3+…+砥:>;;/19=()
A.iB.-iC.-1+zD.-1-z
【答案】D
2i2z(l+f)
【解析】》=口==-1+i,
(1-D(1+O
C;019%++6019%3+…+=C;Z9+G019X++。之次丁+…+'—1
=(l+x)2019-l=i20l9-l=i3-l=-i-l,故選D.
7.(2020?宜昌天問(wèn)教育集團(tuán)高二期末)已知(1+/U)"展開(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系
ax
數(shù)相等,(1+Ax')"=a(}+a}x+a2x~H---F?",若—4=242,則%—%+4----+(—1)”凡的
值為()
A.1B.-1C.81D.-81
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?+/U)"展開(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,
故可得〃=5,令x=0,故可得1=。。,
又因?yàn)?+。2^---Fq;=242,令x=l,則(1+4)5=%+4+4,_)---p=243?
解得2=2令x=—l,則(1—2)5=4—4+4—…+(T)%5=T-故選:B.
a
8.(2020?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)(理))已知(x+1)‘°=囪+32矛+金埼3---\-aux.若數(shù)列a”a2,a”…,a*(l
WAW11,衣e")是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列,則〃的最大值是()
A.5B.6
C.7D.8
【答案】B
【解析】由二項(xiàng)式定理知&=G';「(〃=1,2,3,11).又(x+l)i°展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性,
且最大的項(xiàng)是第6項(xiàng),且從第1項(xiàng)到第6項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大,第6項(xiàng)到底11項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小,
二)的最大值為6.故選:B.
【題組六二項(xiàng)式定理的運(yùn)用】
1.(2020?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))1-90。:0+9。2(4—9。3。力+…+9。|℃;除以88的余數(shù)是()
A.2B.1C.86D.87
【答案】B
【解析】因?yàn)?一90co+9024-903C^+...+90'°C;°=(1-90)'°=(l+88)'°
23
=1+88C'O+88C,;+88C,o+???+88'°C'o
=1+88(C;0+88Gz+88?%+…+889%,
2
所以1一9OC;o+90C-o一9()3G;+…+90'°端:除以88的余數(shù)是1.故選:B.
2.(2020?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))設(shè)aeZ,且OWaW13,若5尸帽能被13整除,則。=()
A.0B.1C.11D.12
【答案】D
【解析】由題意,因?yàn)?1=52—1,
所以5儼°|2=(52-1產(chǎn)2=或12522°|2_4I2522°"+…-C器521+1,
又因?yàn)?2能被13整除,所以只需1+。能被13整除,
因?yàn)閍eZ,0<a<13.所以a=12.
故選:D.
3.(2020?江蘇省如東高級(jí)中學(xué)高二期中)已知相>0,且恰能被14整除,則〃?的取值可以是
()
A.-1B.1C.7D.13
【答案】D
0220202019
【解析】因?yàn)?52必XM+iy。=C^2014+C^2()14+...+C瓢14+1
tH
其中或201429+...+C嬲14能被[4整除,所以加的取值可以是13.故選:D.
4.(2020?全國(guó)高二單元測(cè)試)設(shè)aGZ,且0Wa<13,若5/儂+@能被13整除,則a=()
A.0B.1C.11D.12
【答案】D
【解析】512020=(52-1)的=(1-52)2020
2
_「()「1co4-CS92
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