參賽隊(duì)員：郭屹峰

參賽隊(duì)員 郭屹學(xué)校 廣東實(shí)驗(yàn)中省份 廣東指導(dǎo)教師 郭衛(wèi)論文題目： 多變量半?yún)?shù)有限混合模softistics20062007年先后發(fā)表了兩篇關(guān)于單變量半?yún)?shù)有限混合模型的高質(zhì)量文章。然R軟件包OldFaithful數(shù)據(jù)集。此數(shù)據(jù)集記錄了美國黃石國家公園(YellowstoneNationalPark)OldFaithful間歇泉每次噴發(fā)所持續(xù)的時(shí)間以及兩次噴發(fā)之間OldFaithfulJeanPiaget用于評(píng)價(jià)兒童對(duì)物質(zhì)世界理解力的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。此實(shí)驗(yàn)首先發(fā)給每個(gè)兒童一11，4，2，7，10，5，1，88個(gè)帶有蓋子mf(x)= j=其中，mOldFaithfulm=2mm=2m=3.混合比例λjjj，λ>0并且∑m??=1.fj j=1 1OldFaithfulJeanPiaget心理8個(gè)不同指向的矩形器皿的示意圖。在有限混合分布(1)中，如果混合元fj(??)≡??(??;????)j限混合模型稱為參數(shù)有限混合模型。例如，若f(x;??jf(x;(μj,σ2))jjN(μj,σ2)的密度函數(shù)，則有限混合模型(1)j參數(shù)θ（Basak199321983a,b3BayesWest19954 f(x)= j= ??=其中，X(X1,…,Xk)??為k變量的隨機(jī)向量。fjl為第j個(gè)混合元的第l個(gè)邊緣密度函和λ=(λ1,…,λm)（2而當(dāng)k≤2時(shí)，模型是不可識(shí)別的。Hall等人（2005）KasaharaShimotsu（2008）m>2的一般性結(jié)果，卻發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)果是相當(dāng)難以找到的。后來，Allman等人（2009）Kruskal（1977）的一個(gè)定理給出了對(duì)于任何變量個(gè)數(shù)k3m為多少，非參數(shù)有限混合模型（2）的可識(shí)別性條件：只要邊緣密度函數(shù)f1l,…,fmlLebesgue0（2k=1或者k=2OldFaithfulk=1的問題。為了使得單變量情況下能Bordes等人（2006）Hunter等人（2007）獨(dú)立的研究了下面的單變量位置變G(x)=λF(x?μ1)+(1?λ)F(x?μ2),x∈ 其中，λ∈(0,1)為混合比例，μ1,??2為兩個(gè)位置參數(shù)，F(xiàn)(?)對(duì)稱的分布函數(shù)。因?yàn)槟Ｐ停?）不僅涉及到未知參數(shù)(λ,μ1,μ2)FF關(guān)于零對(duì)稱的假設(shè)下，Bordes等k2的情況，盡管可以轉(zhuǎn)化為模型（3）一維一維來處理，但是這樣做忽略了多G(x)=λF(x?μ1)+(1?λ)F(x?μ2),x∈ 其中，λ∈(0,1)為混合比例，μ1,??2為兩個(gè)k維的位置參數(shù)，F(xiàn)(?)（4?問題經(jīng)常稱為“標(biāo)簽轉(zhuǎn)換(labelswitching)”問題。在模型（4）中，此問題可以通過限制λ∈(0,1/2)容易得到解決。下面為了表達(dá)方便，我們首先約定一些符號(hào)。記?函數(shù)的集合。對(duì)于兩個(gè)k維向量α=（α1,…,αk）和β=(β1,…,βk)，α=β于所有的1≤i≤k，均有αi=????；而α≠β則意味著至少存在一個(gè)1≤i≤kαi≠????。記Δ為R2k空間上所有滿足α=β12212Ω(λ,μ,μ):λ(0,1)(μ,μ(??2??\Δ)}。則半?yún)?shù)有限混合模型（4）12212空間為Ω×?（41t∈Rk1λF(x?μ1)+(1?λ)F(x?μ2)=λ'F'(x?μ')+(1?λ')F'(x? 1成立。那么如果模型（4）λ=λ',μ1=????=??F=F' 下面我們給出模型（4）定理2.1.若存在Ω上的兩組參數(shù)向量（λ,μ1,μ2,F）和(λ',μ,μ,F')（4，1=1 =??(??????????)=∫????????????(??)=??∫????????????(?????)+(1???)∫????????????(?????

=????????????1∫????????????(??)+(1?={????????????1+(1???)??????????2}??

=[{??cos(??????1)+(1???)cos(??????2)}+i{??sin(??????1)+(1???)s 其中：??(??)∫??????????????(??)表示關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的隨機(jī)向量Z~F(的特征函數(shù)。A=λcos(t??μ1)+(1?λ)cos(t??μ2)，B=λsin(t??μ1)+(1?λ)sin(t??μ 由（5）(??+????)????(??)=(??'+ 其中：A'=λ'cos(t??μ+(1?λ')cos(t??μ，B'=λ'sin(t??μ+(1?λ)sin(t??μ Z'~F'(?)∈?（6）式兩邊同時(shí)乘以??'+????'(??+????)(??'-????')????(??)=(??'2+??'2)????'(??) 因?yàn)閆Z均是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的隨機(jī)向量，則相應(yīng)的特征函數(shù)????(??)和??'(??)均為??Z(??)≠0t(??+??)(??'-????t=的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有??Z(??0(??+??)(??'-????1虛部在t=00111

?μ')}+(1?λ)λ'sin

?μ'22+(1?λ)(1?λ')sin{t??(μ2?μ')}= 22由正弦函數(shù)的解析性知其在整個(gè)Rk0假設(shè)Y是關(guān)于μY可以表示為Yμ?，其中?為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的隨機(jī)向量。對(duì)于Rk上的每個(gè)單位向量u，u??Yu??μu???。記Wu???，則W0Bordes等人(2006)2.1知，單u??μ=u??μ'，可知μ=μ'。將μ=μ'帶回（8）式，則對(duì)所有的t∈Rk，有λ(1?λ')sin{t??(μ2?μ1)}=(1?λ)λ'sin{t??(μ2? 成立。因?yàn)閟in{t??(μ2μ1)}0，因此有λλ'12由