2023屆四川省雅安市高三第一次診斷性考試數(shù)學(xué)文

雅安市高2020級(jí)第一次診斷性考試

數(shù)學(xué)(文史類)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合A={X|(X+3)(X-2)<0},B={x\-l<x<3}f則Ac5=()

A.(-1,2)B.(-1,3)C.(2,3)D.(0,3)

3+4i

2.已知i為虛數(shù)單位，則一-=()

l-i

一17.77.

A.—1+7iB.7+7iC.-----1—iD.-+-i

2222

3.

采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI),是通過對(duì)企業(yè)采購(gòu)經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)匯總、編制而成的指數(shù)

,它涵蓋了企業(yè)采購(gòu)、生產(chǎn)、流通等各個(gè)環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國(guó)際上通用

的檢測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)走勢(shì)的先行指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)、預(yù)警作用.制造業(yè)PMI高于50%時(shí)

，反映制造業(yè)較上月擴(kuò)張；低于50%,則反映制造業(yè)較上月收縮.下圖為我國(guó)2021年1月一2

022年6月制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI)統(tǒng)計(jì)圖.

2021年:2022年

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析，下列結(jié)論最恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)為()

A.2021年第二、三季度的各月制造業(yè)在逐月收縮

B.2021年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴(kuò)張

C.2022年1月至4月制造業(yè)逐月收縮

D.2022年6月PMI重回臨界點(diǎn)以上，制造業(yè)景氣水平呈恢復(fù)性擴(kuò)張

4.已知函數(shù)〃x)=2，+/(xeR),則/(力的圖象()

A.關(guān)于直線x=l對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱C.關(guān)于直線x=0對(duì)稱D.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

5.

如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則構(gòu)成該多面體

的面中最大的面積為()

A.-B.9C.-D.—

222

6.

已知命題p：VxeR,3'>2",命題g：3x0eR,使得lnx（）=-2,則下列命題是真命題的為

（）

A./7AqB.（「p）AqC.〃人（一14）D.

7.

某班有包括甲、乙在內(nèi)的4名學(xué)生到2個(gè)農(nóng)場(chǎng)參加勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)，且每個(gè)學(xué)生只能到一個(gè)農(nóng)場(chǎng)

,每個(gè)農(nóng)場(chǎng)2名學(xué)生.則甲、乙兩名學(xué)生被安排在不同農(nóng)場(chǎng)的概率為()

A.-B.~C.—D.一

3234

8.

如圖所示的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中，后人稱為“三角垛”.

“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，….如圖所示的程序框圖，

輸出的S即為小球總數(shù)，則S=()

02/28

(S)

/輸吁/

矗

A.35B.56C.84D.120

9.

過拋物線。：丁=2〃4〃＞0）的焦點(diǎn)尸且傾斜角為銳角的直線/1與。交于兩點(diǎn)4B（橫坐標(biāo)分

別為%，4，點(diǎn)A在第一象限），，2為C的準(zhǔn)線，過點(diǎn)A與4垂直的直線與4相交于點(diǎn)M.若

\AF\=\FM\,貝()

XB

A.3B.6C.9D.12

71則sin（2a+篇5兀的值為（）

10.已知sina+一

66

7B.—逑C4四

A.——D

999?

11.

x2%=1（0＜。＜2）的左焦點(diǎn)為/;；,直線y=丘（左。0）與C交于點(diǎn)M,N.若

已知橢圓C一+

4

o

NMF]N=120",用=§,則橢圓C的離心率為。

「73

AD

-IB-T2T

12.設(shè)。=1.()2,b=e0025,c=0.9+2sin0.06,則a,h,c的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.a<b<cC.h<c<aD.c<a<b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量a=（-1,3）,b=（2,-t）,若則實(shí)數(shù)r的值為,

x-2y-4<0

14.若x,），滿足約束條件,x->-2N0,貝l」z=2x-3y的最大值為.

y<0

15.若函數(shù)/'（x）=Asinx-cosx的一個(gè)零點(diǎn)為則4=；.

16.

如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-A中，底面ABC。為正方形，E,尸分別為AG，CO的中點(diǎn),

點(diǎn)G是棱G2上靠近C的三等分點(diǎn)，直線BE與平面AB44所成角為45。.給出以下4個(gè)結(jié)論:

①砂//平面陰A。；②EFJ.AG；

③平面EFCJ■平面BAE；④B,E,F,G四點(diǎn)共面.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.

某企業(yè)為改進(jìn)生產(chǎn)，現(xiàn)某產(chǎn)品及成本相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).現(xiàn)收集了該產(chǎn)品成本費(fèi)y（單位

：萬元/噸）及同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x（單位：噸）的20組數(shù)據(jù).現(xiàn)分別用兩種模型①

y-bx+a,②）=&+c進(jìn)行擬合，據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：

X

20-20八2020

￡（七一元）-E(c-nE(X-7)(C-?)

XT-5)(%-元)

i=\/=1/=1/=1

14.5100.086650.04-4504

表中4='120

元,

04/28

z（x-n2

若用R2=1-（!-----------刻畫回歸效果，得到模型①、②R2值分別為村=（）.7891,

S（x-y）2

/=1

R；=0.9485.

（1）利用R「和%2比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說明理由；

（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求y關(guān)于x的回歸方程；并求同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸

）時(shí)y的預(yù)報(bào)值.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（知外）,（如%），…，（尤“，％），其回歸直線＞&+該的斜率和截距的

f（尤廠可3-刃

最小二乘法估計(jì)分別為6=J--------------，a=y-^x.

SU--1）2

i=\

18.已知｛4｝等差數(shù)列，且q=l,%=3（%-%）?

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

/1、品197

（2）若數(shù)列也｝滿足：bn4-（〃eN*），色｝前〃項(xiàng)和為S“，求成立的〃的最

（2）'7128

大值.

19.已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且孚4=畔+江

beabac

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若c=3,且的面積為3#，求的周長(zhǎng).

20.

如圖，在三棱柱ABC-4AG中，側(cè)面例6/為正方形，A4,_L平面ABC,AB=BC=2,

ZABC=120°,E,尸分別為棱AB和8耳的中點(diǎn).

(1)在棱A4上是否存在一點(diǎn)o,使得G?！ㄆ矫鍱FC?若存在，確定點(diǎn)。的位置，并給出證

明；若不存在，試說明理由；

(2)求三棱錐4-E/C的體積.

21.已知函數(shù)/(x)=xe'-a(gx2+x-l).

(1)若口=-1,求/(%)極值；

(2)若xNO,/(x)>0,求“的取值范圍.

(-)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題記分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

22.

在直角坐標(biāo)系X。)，中，直線/的參數(shù)方程為卜=G+'c°sa。為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)

y=tsma

Q

，X軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕2=「——,直線/與曲線C相

5-3cos2。

交于A,3兩點(diǎn)，M(V3,0).

(1)求曲線。的直角坐標(biāo)方程；

(2)若AM=2MB，求直線/的斜率.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知a>0,b>0,且a+匕=2.

(1)證明：y<(?+2)2+(Z?+l)2<17；

06/28

(2)若不等式|3%+口+1|+|34一口一1|之：“+3+\/3+3對(duì)任意管€口恒成立,求〃?的取值范圍

雅安市高2020級(jí)第一次診斷性考試

數(shù)學(xué)(文史類)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合A=3(x+3)(x—2)<0},B={x[T<x<3},則AC3=()

A.(-1,2)B.(-1,3)C.(2,3)D.(0,3)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法先求出集合A,再利用集合的交集運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)锳={xKx+3)(x-2)<0}={>—3<x<2},

又因?yàn)锽={x|-l<x<3},所以AcB={x[T<x<2},

故選：A.

2.已知i為虛數(shù)單位，則3+一4i一=()

1-1

D.Si

A.-l+7iB.7+7ic1

-4422

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.

3+4i(3+4i)(l+i)-l+7i17.

【詳解】因?yàn)?----H—1

1-id-i)(l+i)222

故選：C

3.

采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI),是通過對(duì)企業(yè)采購(gòu)經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)匯總、編制而成的指數(shù)

,它涵蓋了企業(yè)采購(gòu)、生產(chǎn)、流通等各個(gè)環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國(guó)際上通用

的檢測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)走勢(shì)的先行指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)、預(yù)警作用.制造業(yè)PMI高于50%時(shí)

，反映制造業(yè)較上月擴(kuò)張；低于50%,則反映制造業(yè)較上月收縮.下圖為我國(guó)2021年1月一2

022年6月制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI）統(tǒng)計(jì)圖.

2021年:2022年

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析，下列結(jié)論最恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)為（）

A.2021年第二、三季度的各月制造業(yè)在逐月收縮

B.2021年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴(kuò)張

C.2022年1月至4月制造業(yè)逐月收縮

D.2022年6月PMI重回臨界點(diǎn)以上，制造業(yè)景氣水平呈恢復(fù)性擴(kuò)張

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，將各個(gè)月的制造業(yè)指數(shù)與50%比較，即可得到答案.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，只有9月份的制造業(yè)指數(shù)低于50%,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，10月份的制造業(yè)指數(shù)低于50%,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，1、2月份的制造業(yè)指數(shù)高于50%,故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，從4月份的制造業(yè)指數(shù)呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，且在2022年6月PMI超

過50%,故D項(xiàng)正確.

故選：D.

4.已知函數(shù)/（力=2，+/（依1i）,則“X）圖象（）

A.關(guān)于直線x=l對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱C.關(guān)于直線x=0對(duì)稱D.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

【答案】A

【解析】

【分析】求出〃2-力以及/（-X）的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，即可判斷各項(xiàng)，得到結(jié)果.

08/28

4V44

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得，/(2—X)=22-，+合=4.?+/=2'+/=/(x),

所以/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?(2-力=2'+最，則/(2-x)T(x),故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，/(一力=2-'+f=4.2'+《，則/(一故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)椤ㄒ辉?42+/,則故D錯(cuò)誤.

故選:A

【點(diǎn)睛】設(shè)“X)的定義域?yàn)橐?/p>

對(duì)于Vxe。，若〃勿-x)=/(x)恒成立，則/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

對(duì)于Vxe。，若"2。-x)=-/(x)恒成立，則/(力的圖象關(guān)于點(diǎn)(。,0)對(duì)稱.

5.

如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則構(gòu)成該多面體

的面中最大的面積為()

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖可得多面體為三棱錐，結(jié)合條件及正方體的性質(zhì)即得.

【詳解】由三視圖可得該多面體為三棱錐，借助棱長(zhǎng)為3的正方體畫出三棱錐A-BCD,如

圖，

c

則A8=AO=3,BO=BC=C0=36AC=3G

所以SABC=gx3x3>/^=^^'SABD=gx3x3='|,

2

sA8=,x3x30=述，SBCZ)=—x(3V2)=—,

ACD22sc。4\v/2

所以構(gòu)成該多面體的面中最大的面積為％8.

2

故選：D.

6.

已知命題p：VxeR,3'>2",命題g：3x0eR,使得lnx()=-2,則下列命題是真命題的為

()

A./7AqB.(9)八4C.〃/\(r)D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先判斷命題。與命題夕的真假，然后逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)復(fù)合命題的真假.

【詳解】對(duì)于命題〃，當(dāng)x=0時(shí)，3'=2\故命題，為假命題；

對(duì)于命題夕，當(dāng)x°=e-2時(shí)，lnx°=-2,故命題夕為真命題.

因此〃入4為假命題；

，為假命題，為真命題，為真命題；

鄉(xiāng)為真命題，為假命題，p八為假命題；(力)△(->[)為假命題.

故選：B

10/28

7.

某班有包括甲、乙在內(nèi)的4名學(xué)生到2個(gè)農(nóng)場(chǎng)參加勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)，且每個(gè)學(xué)生只能到一個(gè)農(nóng)場(chǎng)

,每個(gè)農(nóng)場(chǎng)2名學(xué)生.則甲、乙兩名學(xué)生被安排在不同農(nóng)場(chǎng)的概率為()

A.-B.；C.-D.—

3234

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合列舉法和古典概型的概率公式，即可求解.

【詳解】解：記四名學(xué)生為甲、乙為A,B,另外2名學(xué)生為“，b,兩個(gè)農(nóng)場(chǎng)為N,

則分配方案為：M農(nóng)場(chǎng)AB,N農(nóng)場(chǎng)必；M農(nóng)場(chǎng)ab,N農(nóng)場(chǎng)AB；M農(nóng)場(chǎng)Aa,N農(nóng)場(chǎng)

Bb；〃農(nóng)場(chǎng)Ah,N農(nóng)場(chǎng)Ba；M農(nóng)場(chǎng)Ba,N農(nóng)場(chǎng)Ah；M農(nóng)場(chǎng)Bb,N農(nóng)場(chǎng)Aa,共6

種，

甲、乙兩名學(xué)生被安排在不同農(nóng)場(chǎng)的分配方案為：M農(nóng)場(chǎng)Aa,N農(nóng)場(chǎng)Bb；加農(nóng)場(chǎng)Ah,

N農(nóng)場(chǎng)Ba；M農(nóng)場(chǎng)Ba,N農(nóng)場(chǎng)Ab；M農(nóng)場(chǎng)Bb,N農(nóng)場(chǎng)Aa,共4種，

42

故甲、乙兩名學(xué)生被安排在不同農(nóng)場(chǎng)的概率為丁=彳.

63

故選：C.

8.

如圖所示的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中，后人稱為“三角垛”.

“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，….如圖所示的程序框圖，

輸出的S即為小球總數(shù)，則S=()

/輸出s/

A.35B.56C.84D.120

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)第〃層小球個(gè)數(shù)為?！ǎ鶕?jù)程序框圖可知，輸出的S=4]+生+。3+。4+。5+&，

求出各個(gè)數(shù)即可得到.

【詳解】設(shè)第〃層小球個(gè)數(shù)為%,由題意可知，%-4-="（〃22）.

根據(jù)程序框圖可知，輸出的S=%+生+%+。4+。5+。6，

又％=1,。2=3,%=6,a4=a3+4=10,a5=a4+5=15,a6=a5+6=21,

所以5=1+3+6+10+15+21=56.

故選：B.

9.

過拋物線C：y2=2px（〃>0）焦點(diǎn)廠且傾斜角為銳角的直線4與C交于兩點(diǎn)A,8（橫坐標(biāo)分

別為貓，4,點(diǎn)A在第一象限），4為C的準(zhǔn)線，過點(diǎn)A與6垂直的直線與4相交于點(diǎn)M.若

\AF\^\FM\,則&=（）

XB

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可求得直線4的斜率為百，則直線4的方程為y=5），聯(lián)立直線與

拋物線的方程，可求出》”與，即可解得結(jié)果.

【詳解】設(shè)直線4的斜率為攵，傾斜角為。，（?！啊戳?

由拋物線的定義知，|A"|=|AF|,又|A目=|「閘，所以△加為等邊三角形，且AM//X軸,

所以。=Z.FAM=W，則Z=tan6=G.

12/28

.與。］,則直線4的方程為了=百卜-。

>2=2Px

聯(lián)立直線人的方程與拋物線的方程\可得12/一20川+3/=0,

解得石=：〃，％2=g顯然.>尤8，所以X/i=g

2o2o

3

一P

所以，叢=~=9.

4Lp

6

故選：C.

10.已知sin&+則sin（2a+g］的值為（）

7B.一迪C逑

A.——D

99,~9~-?

【答案】D

【解析】

【分析】以a+f為整體，利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式運(yùn)算求解.

6

【詳解】???

27

sinf2tz+—.。兀兀71-

sin2ocH—H—cos2a+—=l-2sin2a+—|=l-2x9-

I6J626J63

故選：D.

11.

22

已知橢圓C亍+方=1（0<6<2）的左焦點(diǎn)為耳，直線y=H^0）與C交于點(diǎn)M,N.若

Q

NM￡N=120°,耳卜”周=5，則橢圓C的離心率為（）

A.gB.—C.迫D.逅

2223

【答案】B

【解析】

【分析】由橢圓的對(duì)稱性可知：四邊形"6N與為平行四邊形，結(jié)合橢圓的定義并在

中利用余弦定理求出關(guān)于c的值，進(jìn)而可求出離心率.

【詳解】設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為尸2,如圖，連接

因?yàn)?。為MN,6鳥的中點(diǎn)，所以四邊形居為平行四邊形，

所以=|斷|=|"用，由橢圓的定義可得：lMl+1明|=2a,

QO

又因?yàn)閨〃耳卜|酒;|=鏟所以I嗎>阿瑪=1,

又因?yàn)镹"GN=120。，所以/瑪加耳=60。，

在中，由余弦定理可得：

|耳聞2=\MF^+\MF^-2\MF\-\MF^COSZ.FXMF2=(\MF\+\MF^

也即4c2=4/-8,因?yàn)?=4,所以02=2,所以橢圓的離心率e=￡=J：=也，

a\a22

故選：B.

12.a=1.02,b=e°3,c=0.9+2sin0.06,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.a<h<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】先比較。，?的大小,構(gòu)造函數(shù)/(x)=e*-x,求分(%),根據(jù)尸(x)與。的符號(hào)關(guān)系

來確定了(X)的增減性，進(jìn)而求得/(x)>/(x)min=l,再把X=0.02代入即可得到*;比較。

,c的大小，根據(jù)當(dāng)x>0時(shí)，有sinx<x,再把x=0.06代入即可得到c<a,從而即可得解

14/28

【詳解】令/(x)=e、—x,則r(x)=e'-l,

當(dāng)x>o,尸(X)>0,此時(shí)廣(X)單調(diào)遞增,

當(dāng)x<0,r(x)<0,此時(shí)/(X)單調(diào)遞減，

所以/(x)>/(o)=e°—o=l,

所以/(0.02)=eoo2-O.O2>1,即e°s>1,02,

所以8neOgAeOozALOZna;

又設(shè)g(x)=sinx—x,g，(x)=cosx—l40恒成立，

.,.當(dāng)x>0,g(x)單調(diào)遞減,g(x)=sinx—x<g(O)=O

當(dāng)x>0時(shí),有sinxcx,則sin0.06<0.06,

所以c=O.9+2sinO.O6<O.9+2xO.O6=LO2=a,

綜上可得c<a<b.

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量：=(一1,3),1=(2,T),若辦兒則實(shí)數(shù)￡的值為___.

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，由a，。，得數(shù)量積為0,即可求得實(shí)數(shù)1的值.

【詳解】解：已知向量：=(?1,3),b=(2,-t),^alb，則a2=2?—l)+3(V)=0,解得

：t=—2.

故答案為：-2.

x-2j-4<0

14.若x,y滿足約束條件-一丫一220,則z=2x—3y的最大值為.

yKO

【答案】8

【解析】

2(z)

【分析】作出可行域，通過平行^=鼻5確定z的最大值.

nI乙)

【詳解】如圖，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，

%—2y-4=0,,[x=4/、

聯(lián)立方程八，解得C，即C4,0,

y=0[y=0

由z=2x-3y,即丁=貂-弓)表示斜率橫截距為:的直線/,

通過平移可得當(dāng)直線/過點(diǎn)C時(shí)，橫截距最大，即Z最大，故Zm”=2x4-3x0=8.

故答案為：8.

1*7*2。

2r"?

15.若函數(shù)〃x)=Asinx—cosx的一個(gè)零點(diǎn)為B，則4=______；.

6W

【答案】①.G②.1

【解析】

【分析】根據(jù)x=5是函數(shù)的零點(diǎn)，代入即可求出A的值，然后再將X=g代入即可求解.

63

7T

【詳解】因?yàn)閤=B是函數(shù)/(x)=Asinx-cosx的一個(gè)零點(diǎn)，

所以/(二)=Asin二-cosq='=0,解得：A=V3,

66622

所以函數(shù)/(x)=Asinx-cosx=\^sinx-cosx,

貝I」有/(y)=V3siny-COSy=V3x^y--^-=1,

故答案為：73;1.

16/28

16.

如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-A4G。中，底面A8CD為正方形，E,尸分別為用￡，C。的中點(diǎn),

點(diǎn)G是棱GA上靠近G的三等分點(diǎn)，直線BE與平面A84A所成角為45。.給出以下4個(gè)結(jié)論:

①跖//平面附Q。；②EFLAC;

③平面EFC_L平面8。￡；④3,E,F,G四點(diǎn)共面.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

【答案】①②③

【解析】

【分析】設(shè)ACBD=O,由題可得。用//ER,然后根據(jù)線面平行的判定定理可判斷①，根

據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)結(jié)合條件可得。4,AC，進(jìn)而可判斷②，根據(jù)線面角的概念可得/用BE=

45°,進(jìn)而可得BE,EC,然后根據(jù)線面垂直及面面垂直的判定定理可判斷③，根據(jù)條件可

作出過8E,尸的平面，進(jìn)而可判斷④.

【詳解】設(shè)ACBD=O,連接。尸,。與，則0E//BC,0E=g6C,

又B\E//BC,B\E=*BC,

所以0尸//4民0/=用￡,

所以四邊形。片七尸為平行四邊形，

所以。g//EF,又。gu平面BBQ。，斯.平面網(wǎng)口力,

所以￡F//平面88QO,故①正確；

連接因?yàn)榈酌鍭8CO為正方形,

所以Ag=BC，

所以051J,AC,又AC//AC，OBJ/EF,

所以故②正確；

由題可知EB]±平面ABB^,

所以NgBE為直線BE與平面ABgA所成角，即4田￡=45。，

則BB,=EBi=E￡=(Be,NB]EB=ZC,EC=45,

所以BELEC,又尸CL平面BCG4，BEu平面BCC4，

所以8E_LFC,又FCCE=C,ECu平面EFC,CEu平面EFC,

所以BE,平面EFC,又BEu平面BRE,

所以平面EFC,平面BRE,故③正確；

延長(zhǎng)BE交CC的延長(zhǎng)線于H,連接HF交GA于/,連接則8,E,尸確定平面8處1,

又點(diǎn)G是棱C01上靠近C的三等分點(diǎn),

所以所有正確結(jié)論的序號(hào)為①②③.

故答案為：①②③.

18/28

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.

某企業(yè)為改進(jìn)生產(chǎn)，現(xiàn)某產(chǎn)品及成本相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).現(xiàn)收集了該產(chǎn)品的成本費(fèi)y（單位

：萬元/噸）及同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x（單位：噸）的20組數(shù)據(jù).現(xiàn)分別用兩種模型①

y-bx+a,②>進(jìn)行擬合，據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：

2()20202()

￡(七一可2￡(39)(-)

XyMF2(%-刃(%-可

/=1/=1i=l/1=|

14.5100.086650.04-4504

I_]20

表中4=：，了=五2?一

勺NUj=]

Z（x-y）2

若用R2=l-T-------刻畫回歸效果，得到模型①、②的心值分別為鳥2=0.7891,

S（X-7）2

i=l

域=0.9485.

（1）利用R「和&2比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說明理由；

（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求y關(guān)于x的回歸方程；并求同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸

）時(shí)）'的預(yù)報(bào)值.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（冷珀，（毛，4），…，（當(dāng)，%），其回歸直線9的斜率和截距的

￡（x,一可（其-刃

最小二乘法估計(jì)分別為6=J---------,a=y-px.

1=1

【答案】（1）選擇模型②，理由見解析；

（2）6.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知42>42,根據(jù)齊的意義，即可得出模型②的擬合效果好，選擇模

型②；

（2）y與，可用線性回歸來擬合，^y=dt+c,求出系數(shù)2,2,得到回歸方程夕=100，+2,

即可得到成本費(fèi)y與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量X的回歸方程為e=?+2,代入x=25,即可求

X

出結(jié)果.

【小問1詳解】

應(yīng)該選擇模型②.

由題意可知，R；>R：,則模型②中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和$）2比模型①中樣本數(shù)據(jù)

;=1

的殘差平方和小，即模型②擬合效果好.

【小問2詳解】

由已知/=成本費(fèi)y與?？捎镁€性回歸來擬合，有￡=防+"

X

20

-刃(-)4

由已知可得,=100,

-------0AM

—

1=1

所以￡=尸一方=10—100x0.08=2,

則y關(guān)于t的線性回歸方程為夕=100,+2.

成本費(fèi)y與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量X的回歸方程為?=理+2,

X

當(dāng)x=25（噸）時(shí)，》=詈+2=6（萬元/噸）.

所以，同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時(shí)y的預(yù)報(bào)值為6萬元/噸.

18.已知｛〃“｝為等差數(shù)列，且q=1,牝=3（%-4）-

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

%

（2）若數(shù)列圾｝滿足：b,=(nGN產(chǎn)），也｝的前〃項(xiàng)和為S“，求成立的〃的最

,128

大值.

【答案】（1）a?=n

（2）7

【解析】

20/28

【分析】（1）代入公式求出公差即可求通項(xiàng)公式;

（2）代入等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可.

【小問1詳解】

設(shè)數(shù)列｛叫的公差為：d,

4=3（。4一4），。|=1

q+5d=3（4+3d—q—d）,

*'-d=1.

/.an=q+（〃一l）d=\+n—\=n,

即.

【小問2詳解】

2=（；）（〃wN*）,a?=n,

???數(shù)列也｝為等比數(shù)列，所以S,

2

qc；127皿1127

由S4----，即1----4---，

“1282〃128

化簡(jiǎn)得：解得1W/W7,〃￡N'),

12o2

所以，要使S”（缶127成立的〃的最大值為：7.

19.已知.ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且警1=邛cosC

beabac

（1）求角A的大?。?/p>

（2）若c=3,且二ABC的面積為3石，求一ABC的周長(zhǎng).

【答案】（1）1

（2）V13+7

【解析】

【分析】(1)由已知等式可得2acosA=ccos3+Z?cosC,結(jié)合正弦定理與三角形內(nèi)角關(guān)系

可求得cosA=；,即可得角A的大小

(2)由三角形得面積公式可得分=4,又結(jié)合余弦定理得a=從而得周長(zhǎng).

【小問1詳解】

卜口，口2cosAcos8cosCccosB+/?cosC

解：由題意有「一=——+----=------;------，

beabacabc

艮「J有2acosA=ccosB+Z?cosC,

由正弦定理得：2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sin(7t-A)=sinA,

又AE(O㈤，所以sinAwO,則cosA=；,所以A=g；

【小問2詳解】

解：由⑴知4=，因?yàn)閏=3,且的面積為3百，

由SABC=二匕csinA得：3^3—-x3b-sin--,所以b=4,

2234

由余弦定理得：a2=^2+c2-2^ccosA=16+9-2x4x3xl=13,所以

2

所以.ABC的周長(zhǎng)為a+"c=A+7.

20.

如圖，在三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面明用6為正方形，A4,_L平面ABC,AB=BC=2,

ZABC=nO°,E,F分別為棱AB和網(wǎng)的中點(diǎn).

(1)在棱A4上是否存在一點(diǎn)。，使得G?！ㄆ矫鍱FC?若存在，確定點(diǎn)。的位置，并給出證

明；若不存在，試說明理由；

22/28

（2）求三棱錐A-EFC的體積.

【答案】（1）答案見解析；

⑵B.

2

【解析】

【分析】（1）A4的中點(diǎn)。，A4的中點(diǎn)M,可證明0M〃砂，MQ//EC,根據(jù)面面平行的

判定定理可得平面MDGH平面EFC,即可證明C,￡>//平面EFC-,

（2）點(diǎn)C到AB的距離為〃，根據(jù)等面積法可求4=百，由面面垂直的性質(zhì)可得點(diǎn)。到AB

的距離即為點(diǎn)C到平面AB4A的距離，利用匕,_EFC=!*5領(lǐng)￡"*/7可求解.

【小問1詳解】

存在點(diǎn)。，使得G。〃平面EFC

取AA的中點(diǎn)。，4片的中點(diǎn)M,連接則。M//A/

因?yàn)镋,尸分別為棱A3和的中點(diǎn)，

所以EF//AB,，所以DM//EF.

連接MG,則MCJ/EC.

因?yàn)镈MnMCt=M,DM,MCtu平面MDCt,EFcEC=E,EF,ECu平面EFC,

所以平面MDC\H平面EFC.

因?yàn)镚。u平面MDCt，所以C、DH平面EFC.

所以存在。（。為AA中點(diǎn)），使得C,D//平面EFC.

【小問2詳解】

B

求三棱錐A-EFC的體積相當(dāng)于求三棱錐。-4環(huán)的體積.

因?yàn)锳4I_L平面ABC,A41U平面4B8|A，所以平面ABgA1平面ABC.

設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為/?,則有，A8/=LAB-BCsinl20。，其中AB=BC=2,

22

解得〃=百.

因?yàn)槠矫鍭BB^1平面ABC,平面。平面A3C=/W,

所以點(diǎn)C到AB的距離即為點(diǎn)C到平面A四A的距離，為h=6.

在正方形中，AB=2,則EF=1BE2+3尸=，F(xiàn)+『=此，

AE=7AE2+M2=Vl2+22=瓜"=JBF+AB：=\/12+22=y/5.

取火的中點(diǎn)N,連接AN,則4NLE尸,

372

所以AN=JqP-N尸二

F

所以Sa“=gEF-AN=：x0x￥=|,

V

所以A,-EFC=—EF=gxS"EFX/?=1X|X>/3=

所以三棱錐A-6廠。的體積為也.

2

21.已知函數(shù)/(%)=朧'-。(；/+彳一1).

(1)若。=-1,求/(%)的極值；

(2)若xNO,〃x)zo,求a的取值范圍.

【答案】(1)“X)的極小值為-±1-3=，無極大值.

e2

(2)[0,叫

【解析】

24/28

【分析】⑴由。=-1得，f(x)=xex+^x2+x-l,求導(dǎo)函數(shù)得了'(x)=(x+D(e,+l),根據(jù)

xeR,判斷函數(shù)單調(diào)性即可得/(x)的極值；

(2)求導(dǎo)函數(shù)可得/'(x)=(x+l乂e-a),分別討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性

,確定是否滿足XNO,/(x)2O恒成立，從而可得a的取值范圍.

【小問1詳解】

解：若a=-l,則/'(無)=xe*+%一1,R

所以f'(X)=e*+xe*+x+1=(x+l)(ev+1),

則當(dāng)》<-1時(shí)，ra)<o,所以『(尤)在(f，-1)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x>T時(shí)，/心)>0,所以/(x)在(T”)上單調(diào)遞增；

所以，當(dāng)尸-1時(shí)，“X)取得極小值為---;，無極大值.

【小問2詳解】

解：由題得，./■'(x)=e*+xe'-a(x+l)=(x+D(e*-a),

由于x20,則e*21

當(dāng)時(shí)，可知/'(x)“，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

故xNO時(shí)，/(x)>/(O)=a>O,所以O(shè)WaWl滿足條件；

當(dāng)a>l時(shí)，/'(x)=0,得x=lna,則可得0<x<lna時(shí)，尸(力<0,單調(diào)遞減；

x>lna時(shí)，/”)>0,“X)單調(diào)遞增.

所以在區(qū)間［0,+。)上，當(dāng)x=lna時(shí)，/(力取得極小值，也即為最小值.

由于xi(),/(x)zo恒成立。

則fmin(x)=/(Ina)=lna-elna-?^ln2?+lna-l^>0,即有alna-a(gln2a+lna-1120,

又a>I,

1L

所以可得/"?ad,解得i<a?e凡

綜上，a的取值范圍是

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，涉及了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，對(duì)于不等式恒成立問題，常見的解法有：參變量分離法、數(shù)形結(jié)

合法、最值法等，屬于中檔題.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題記分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

22.

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為卜=G+'c°sa（f為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)

y=tsma

Q

,X軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕2=U直線/與曲線C相

5-3cos20

交于A,3兩點(diǎn)，M（V3,0）.

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）若