不等式恒成立問題

專題講座三不等式恒成立問題不等式恒成立問題常常在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)置，它可以與主干知識(shí)如函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何等整合在一起，里面又可以涉及到不等式證明問題和參數(shù)取值范圍問題，滲透著化歸、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想，有效地檢測中學(xué)生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度,考查了綜合、靈活運(yùn)用知識(shí)的能力．所以，高考將其作為考查學(xué)生分析、解決問題的能力和創(chuàng)新意識(shí)的重要題型，往往出現(xiàn)在壓軸題中，會(huì)讓很多學(xué)生望而卻步.“含參數(shù)不等式的恒成立”的問題，是最近幾年高考的熱點(diǎn)，含參數(shù)不等式恒成立問題常運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù),等價(jià)轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的函數(shù)的最值討論.判別式法若不等式(m－1)x2＋(m－1)x＋2>0的解集是R，求m的取值范圍．變式訓(xùn)練：若不等式(m－1)x2＋(m－1)x＋2<0的解集是R，求m的取值范圍．判別式法已知兩個(gè)函數(shù)f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋4x,其中k為實(shí)數(shù)，（1）若對(duì)任意的x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范圍；最值法變式訓(xùn)練：已知兩個(gè)函數(shù)f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋4x,其中k為實(shí)數(shù)，（1）若對(duì)任意的x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范圍；（2）若對(duì)任意的x1、x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范圍．最值法已知定義在R上的函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，對(duì)于任意x∈R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)>0恒成立．分離變量法已知定義在R上的函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，對(duì)于任意x∈R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使f(cos2θ－3)-f(4m－2mcosθ)>0恒成立．分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題化為求主元函數(shù)的最值范圍．這種方法本質(zhì)還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)．?dāng)?shù)形結(jié)合法變式訓(xùn)練：若不等式x2<ax對(duì)任意的x∈（0，1)恒成立，求a的取值范圍.數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法是解不等式恒成立問題的一種非常直觀的方法，其解題原理是：f(x)<g(x)恒成立?f(x)的圖象在g(x)的圖象下方，此方法特別適用于解不等式兩邊是不同類型的不等式恒成立題型．(中國科技大學(xué)自主招生試題)求證：對(duì)任意x，y∈R，不等式x2＋xy＋y2≥3(x＋y－1)總成立．分析法用學(xué)過的綜合法難以下手，我們就可轉(zhuǎn)化一個(gè)角度，即尋找使這個(gè)不等式成立的充分條件，即用分析法證明．不等式恒成立問題1、判別式法（形如x2+ax+1≥0恒成立的問題）2、最值法（形如一個(gè)函數(shù)大于另一個(gè)函數(shù)恒成立問題）3、分