八上數(shù)學(xué)培優(yōu)專題六

閩侯縣實驗中學(xué)八年級數(shù)學(xué)第二課堂綜合實踐活動備課組八上數(shù)學(xué)培優(yōu)專題六幾何綜合應(yīng)用1.如圖，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，點P，Q分別從頂點A，B同時出發(fā)，沿線段AB，BC運動，且它們的是速度都為1厘米/秒．當(dāng)點P到達(dá)點B時，P、Q兩點停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（秒）．（1）當(dāng)運動時間為t秒時，AP的長為

厘米，

QC的長為

厘米；（用含t的式子表示）（2）當(dāng)t為何值時，△PBQ是直角三角形？（3）連接AQ、CP，相交于點M，如圖2，則點P，Q在運動的過程中，∠CMQ會變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，請求出它的度數(shù)．范例分析：1.如圖，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，點P，Q分別從頂點A，B同時出發(fā)，沿線段AB，BC運動，且它們的是速度都為1厘米/秒．當(dāng)點P到達(dá)點B時，P、Q兩點停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（秒）．（1）當(dāng)運動時間為t秒時，AP的長為

厘米，QC的長為

厘米；（用含t的式子表示）范例分析：（1）AP=t，QC=4﹣t．1.如圖，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，點P，Q分別從頂點A，B同時出發(fā)，沿線段AB，BC運動，且它們的是速度都為1厘米/秒．當(dāng)點P到達(dá)點B時，P、Q兩點停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（秒）．（2）當(dāng)t為何值時，△PBQ是直角三角形？范例分析：①當(dāng)∠PQB=90°時，∵∠B=60°，∴∠BPQ=30°∴PB=2BQ，得4﹣t=2t，t=②當(dāng)∠BPQ=90°時，∵∠B=60°，∴∠BQP=30°∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=；綜上所述：當(dāng)t=秒或第秒時，△PBQ為直角三角形．1.如圖，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，點P，Q分別從頂點A，B同時出發(fā)，沿線段AB，BC運動，且它們的是速度都為1厘米/秒．當(dāng)點P到達(dá)點B時，P、Q兩點停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（秒）．（3）連接AQ、CP，相交于點M，如圖2，則點P，Q在運動的過程中，∠CMQ會變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，請求出它的度數(shù)．范例分析：（3）∠CMQ=60°不變．理由如下：∵在△ABQ與△CAP中，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．2.在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且AE=BD，（1）當(dāng)點E為AB的中點時，如圖1，求證：EC=ED；（2）當(dāng)點E不是AB的中點時，如圖2，過點E作EF∥BC，求證：△AEF是等邊三角形；（3）在第（2）小題的條件下，EC與ED還相等嗎，請說明理由．范例分析：2.在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且AE=BD，（1）當(dāng)點E為AB的中點時，如圖1，求證：EC=ED；范例分析：證明：（1）如圖1，在等邊△ABC中，AB=BC=AC∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°∵AE=EB=BD，∴∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ABC=30°，∴∠EDB=∠ECB，∴EC=ED；2.在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且AE=BD，（2）當(dāng)點E不是AB的中點時，如圖2，過點E作EF∥BC，求證：△AEF是等邊三角形；范例分析：（2）證明：∵EF∥BC∴∠AEF=∠ABC=60°∠AFE=∠ACB=60°∴∠AEF=∠AFE=∠A∴△AEF為等邊三角形；2.在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且AE=BD，（3）在第（2）小題的條件下，EC與ED還相等嗎，請說明理由．范例分析：（3）答：EC=ED；理由：∵∠AFE=∠ABC=60°∴∠EFC=∠DBE=120°∵AB=AC，AE=AF∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=FC