奧數(shù)講義五、面積計算

面積計算〔一〕一、知識要點(diǎn)計算平面圖形的面積時，有些問題乍一看，在條件與所求問題之間找不到任何聯(lián)系，會使你感到無從下手。這時，如果我們能認(rèn)真觀察圖形，分析、研究條件，并加以深化，再運(yùn)用我們已有的根本幾何知識，適當(dāng)添加輔助線，搭一座連通條件與所求問題的小“橋〞，就會使你順利到達(dá)目的。有些平面圖形的面積計算必須借助于圖形本身的特征，添加一些輔助線，運(yùn)用平移旋轉(zhuǎn)、剪拼組合等方法，對圖形進(jìn)行恰當(dāng)合理的變形，再經(jīng)過分析推導(dǎo)，方能尋求出解題的途徑。二、精講精練【例題1】如圖，三角形ABC的面積為8平方厘米，AE＝ED，BD=2/3BC，求陰影局部的面積。【思路導(dǎo)航】陰影局部為兩個三角形，但三角形AEF的面積無法直接計算。由于AE=ED,連接DF，可知S△AEF=S△EDF〔等底等高〕，采用移補(bǔ)的方法，將所求陰影局部轉(zhuǎn)化為求三角形BDF的面積。因?yàn)锽D=2/3BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因?yàn)锳E＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。因此，S△ABC＝5S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷×2＝3.2〔平方厘米〕。練習(xí)1：1．如圖，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求陰影局部的面積。2．如下圖，AE=ED，DC＝1/3BD，S△ABC＝21平方厘米。求陰影局部的面積。3．如下圖，DE＝1/2AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。求三角形ABC的面積。【例題2】兩條對角線把梯形ABCD分割成四個三角形，如下圖，兩個三角形的面積，求另兩個三角形的面積各是多少？【思路導(dǎo)航】S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；從S△ABD與S△ACD相等〔等底等高〕可知：S△ABO等于6，而△ABO與△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。所以△AOD的面積為6÷2＝3。因?yàn)镾△ABD與S△ACD等底等高所以S△ABO＝6因?yàn)镾△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍所以△AOD＝6÷2＝3。答：△AOD的面積是3。練習(xí)2：1．兩條對角線把梯形ABCD分割成四個三角形，〔如下圖〕，兩個三角形的面積，求另兩個三角形的面積是多少？2．AO＝1/3OC，求梯形ABCD的面積〔如下圖〕。3．三角形AOB的面積為15平方厘米，線段OB的長度為OD的3倍。求梯形ABCD的面積?！踩缦聢D〕。【例題3】四邊形ABCD的對角線BD被E、F兩點(diǎn)三等分，且四邊形AECF的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積〔如下圖〕。【思路導(dǎo)航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它們的面積相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面積也相等。由此可知，三角形ABD的面積是三角形AEF面積的3倍，三角形BCD的面積是三角形CEF面積的3倍，從而得出四邊形ABCD的面積是四邊形AECF面積的3倍。15×3＝45〔平方厘米〕答：四邊形ABCD的面積為45平方厘米。練習(xí)3：1．四邊形ABCD的對角線BD被E、F、G三點(diǎn)四等分，且四邊形AECG的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積〔如圖〕。2．四邊形ABCD的對角線被E、F、G三點(diǎn)四等分，且陰影局部面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積〔如下圖〕。3．如下圖，求陰影局部的面積〔ABCD為正方形〕?！纠}4】如下圖，BO＝2DO，陰影局部的面積是4平方厘米。那么，梯形ABCD的面積是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】因?yàn)锽O＝2DO，取BO中點(diǎn)E，連接AE。根據(jù)三角形等底等高面積相等的性質(zhì)，可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4，類推可得每個三角形的面積。所以，S△CDO＝4÷2＝2〔平方厘米〕S△DAB＝4×3＝12平方厘米S梯形ABCD＝12+4+2＝18〔平方厘米〕答：梯形ABCD的面積是18平方厘米。練習(xí)4：1．如下圖，陰影局部面積是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形面積。2．OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。求梯形的面積〔如下圖〕。3．S△AOB＝6平方厘米。OC＝3AO，求梯形的面積〔如下圖〕。【例題5】如下圖，長方形ADEF的面積是16，三角形ADB的面積是3，三角形ACF的面積是4，求三角形ABC的面積?！舅悸穼?dǎo)航】連接AE。仔細(xì)觀察添加輔助線AE后，使問題可有如下解法。由圖上看出：三角形ADE的面積等于長方形面積的一半〔16÷2〕＝8。用8減去3得到三角形ABE的面積為5。同理，用8減去4得到三角形AEC的面積也為4。因此可知三角形AEC與三角形ACF等底等高，C為EF的中點(diǎn)，而三角形ABE與三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面積為5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面積為16－3－4－2.5＝6.5。練習(xí)5：1．如下圖，長方形ABCD的面積是20平方厘米，三角形ADF的面積為5平方厘米，三角形ABE的面積為7平方厘米，求三角形AEF的面積。2．如下圖，長方形ABCD的面積為20平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AFD＝6平方厘米，求三角形AEF的面積。3．如下圖，長方形ABCD的面積為24平方厘米，三角形ABE、AFD的面積均為4平方厘米，求三角形AEF的面積。面積計算〔二〕一、知識要點(diǎn)在進(jìn)行組合圖形的面積計算時，要仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，看清組合圖形是由幾個根本單位組成的，還要找出圖中的隱蔽條件與條件和要求的問題間的關(guān)系。二、精講精練【例題1】求圖中陰影局部的面積〔單位：厘米〕?！舅悸穼?dǎo)航】如下圖的特點(diǎn)，陰影局部的面積可以拼成圓的面積。62××＝28.26〔平方厘米〕答：陰影局部的面積是28.26平方厘米。練習(xí)1：1．求下面各個圖形中陰影局部的面積〔單位：厘米〕。2．求下面各個圖形中陰影局部的面積〔單位：厘米〕。3．求下面各個圖形中陰影局部的面積〔單位：厘米〕?！纠}2】求圖中陰影局部的面積〔單位：厘米〕?！舅悸穼?dǎo)航】陰影局部通過翻折移動位置后，構(gòu)成了一個新的圖形〔如下圖〕。從圖中可以看出陰影局部的面積等于大扇形的面積減去大三角形面積的一半。×－4×4÷2÷2＝8.56〔平方厘米〕答：陰影局部的面積是8.56平方厘米。練習(xí)2：1．計算下面圖形中陰影局部的面積〔單位：厘米〕。2．計算下面圖形中陰影局部的面積〔單位：厘米，正方形邊長4〕。3．計算下面圖形中陰影局部的面積〔單位：厘米，正方形邊長4〕?！纠}3】如圖19－10所示，兩圓半徑都是1厘米，且圖中兩個陰影局部的面積相等。求長方形ABO1O的面積?！?2×1/4×2＝1.57〔平方厘米〕答：長方形長方形ABO1O的面積是1.57平方厘米。練習(xí)3：1．如下圖，圓的周長為12.56厘米，AC兩點(diǎn)把圓分成相等的兩段弧，陰影局部〔1〕的面積與陰影局部〔2〕的面積相等，求平行四邊形ABCD的面積。2．如下圖，直徑BC＝8厘米，AB＝AC，D為AC的中點(diǎn)，求陰影局部的面積。3．如下圖，AB＝BC＝8厘米，求陰影局部的面積?！纠}4】如圖19－14所示，求陰影局部的面積〔單位：厘米〕?！舅悸穼?dǎo)航】我們可以把三角形ABC看成是長方形的一局部，把它復(fù)原成長方形后〔如下圖〕。I和II的面積相等。因?yàn)樵笕切蔚拿娣e與后加上的三角形面積相等，并且空白局部的兩組三角形面積分別相等，所以6×4＝24〔平方厘米〕答：陰影局部的面積是24平方厘米。練習(xí)4：1．如下圖，求四邊形ABCD的面積。2．如下圖，BE長5厘米，長方形AEFD面積是38平方厘米。求CD的長度。3．圖是兩個完全一樣的直角三角形重疊在一起，按照圖中的條件求陰影局部的面積〔單位：厘米〕。【例題5】如下圖，圖中圓的直徑AB是4厘米，平行四邊形ABCD的面積是7平方厘米，∠ABC＝30度，求陰影局部的面積〔得數(shù)保存兩位小數(shù)〕?！舅悸穼?dǎo)航】陰影局部的面積等于平行四邊形的面積減去扇形AOC的面積，再減去三角形BOC的面積。半徑：4÷2＝2〔厘米〕扇形的圓心角：180－〔180－30×2〕＝60〔度〕扇形的面積：2×2××60/360≈2.09〔平方厘米〕三角形BOC的面積：7÷2÷2＝1.75〔平方厘米〕7－〔2.09+1.75〕＝3.16〔平方厘米〕答：陰影局部的面積是3.16平方厘米。練習(xí)5：1．如下圖，∠1＝15度，圓的周長位62.8厘米，平行四邊形的面積為100平方厘米。求陰影局部的面積〔得數(shù)保存兩位小數(shù)〕。2．如下圖，三角形ABC的面積是31.2平方厘米，圓的直徑AC＝6厘米，BD：DC＝3：1。求陰影局部的面積。3．如下圖，求陰影局部的面積〔單位：厘米。得數(shù)保存兩位小數(shù)〕。4、如下圖，求陰影局部的面積〔單位：厘米。得數(shù)保存兩位小數(shù)〕。面積計算〔三〕一、知識要點(diǎn)對于一些比擬復(fù)雜的組合圖形，有時直接分解有一定的困難，這時，可以通過把其中的局部圖形進(jìn)行平移、翻折或旋轉(zhuǎn)，化難為易。有些圖形可以根據(jù)“容斥問題“的原理來解答。在圓的半徑r用小學(xué)知識無法求出時，可以把“r2”整體地代入面積公式求面積。二、精講精練【例題1】如下圖，求圖中陰影局部的面積?！舅悸穼?dǎo)航】解法一：陰影局部的一半，可以看做是扇形中減去一個等腰直角三角形〔如圖〕，等腰直角三角形的斜邊等于圓的半徑，斜邊上的高等于斜邊的一半，圓的半徑為20÷2＝10厘米×102×1/4－10×〔10÷2〕]×2＝107〔平方厘米〕答：陰影局部的面積是107平方厘米。解法二：以等腰三角形底的中點(diǎn)為中心點(diǎn)。把圖的右半局部向下旋轉(zhuǎn)90度后，陰影局部的面積就變?yōu)閺陌霃綖?0厘米的半圓面積中，減去兩直角邊為10厘米的等腰直角三角形的面積所得的差?！?0÷2〕2×1/2－〔20÷2〕2×1/2＝107〔平方厘米〕答：陰影局部的面積是107平方厘米。練習(xí)1：1．如下圖，求陰影局部的面積〔單位：厘米〕2．如下圖，用一張斜邊為29厘米的紅色直角三角形紙片，一張斜邊為49厘米的藍(lán)色直角三角形紙片，一張黃色的正方形紙片，拼成一個直角三角形。求紅藍(lán)兩張三角形紙片面積之和是多少？【例題2】如下圖，求圖中陰影局部的面積〔單位：厘米〕?！舅悸穼?dǎo)航】解法一：先用長方形的面積減去小扇形的面積，得空白局部〔a〕的面積，再用大扇形的面積減去空白局部〔a〕的面積。如下圖?！?2×1/4－〔6××42×1/4〕＝16.82〔平方厘米〕解法二：把陰影局部看作〔1〕和〔2〕兩局部如圖20－8所示。把大、小兩個扇形面積相加，剛好多計算了空白局部和陰影〔1〕的面積，即長方形的面積?！?2××62×1/4－4×6＝16.28〔平方厘米〕答：陰影局部的面積是16.82平方厘米。練習(xí)2：1．如下圖，△ABC是等腰直角三角形，求陰影局部的面積〔單位：厘米〕。2．如下圖，三角形ABC是直角三角形，AC長4厘米，BC長2厘米。以AC、BC為直徑畫半圓，兩個半圓的交點(diǎn)在AB邊上。求圖中陰影局部的面積。3．如下圖，圖中平行四邊形的一個角為600，兩條邊的長分別為6厘米和8厘米，高為5.2厘米。求圖中陰影局部的面積?！纠}3】在圖中，正方形的邊長是10厘米，求圖中陰影局部的面積?！舅悸穼?dǎo)航】解法一：先用正方形的面積減去一個整圓的面積，得空局部的一半〔如下圖〕，再用正方形的面積減去全部空白局部。空白局部的一半：10×10－〔10÷2〕2×3.14＝21.5〔平方厘米〕陰影局部的面積：10××2＝57〔平方厘米〕解法二：把圖中8個扇形的面積加在一起，正好多算了一個正方形〔如下圖〕，而8個扇形的面積又正好等于兩個整圓的面積?！?0÷2〕2××2－10×10＝57〔平方厘米〕答：陰影局部的面積是57平方厘米。練習(xí)3：1．求下面各圖形中陰影局部的面積〔單位：厘米〕。2．求下面各圖形中陰影局部的面積〔單位：厘米〕。3．求下面各圖形中陰影局部的面積〔單位：厘米〕?！纠}4】在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求陰影局部的面積。【思路導(dǎo)航】這道題的難點(diǎn)在于正方形的邊長未知，這樣扇形的半徑也就不知道。但我們可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜邊。根據(jù)等腰直角三角形的對稱性可知，斜邊上的高等于斜邊的一半〔如下圖〕，我們可以求出等腰直角三角形ACD的面積，進(jìn)而求出正方形ABCD的面積，即扇形半徑的平方。這樣雖然半徑未求出，但可以求出半徑的平方，也可以把半徑的平方直接代入圓面積公式計算。既是正方形的面積，又是半徑的平方為：6×〔6÷2〕×2＝18〔平方厘米〕陰影局部的面積為：18－18×÷4＝3.87〔平方厘米〕答：陰影局部的面積是3.87平方厘米。練習(xí)4：如下圖，圖形中正方形的面積是50平方厘米，分別求出圖形中陰影局部的面積。2．如下圖，圖形中正方形的面積是50平方厘米，分別求出每個圖形中陰影局部的面積。3．如下圖，正方形中對角線長10厘米，過正方形兩個相對的頂點(diǎn)以其邊長為半徑分別做弧。求圖形中陰影局部的面積〔試一試，你能想出幾種方法〕。【例題5】在圖的扇形中，正方形的面積是30平方厘米。求陰影局部的面積?！舅悸穼?dǎo)航】陰影局部的面積等于扇形的面積減去正方形的面積?？墒巧刃蔚陌霃轿粗譄o法求出，所以我們