2023版高三一輪總復習數學新教材老高考人教版教案：第8章 第1節(jié)　直線的方程

第/I章直線和圓、圓錐曲線

篇U直線的方程

［考試要求］

1.在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，

掌握過兩點的直線斜率的計算公式.

3.根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、

兩點式及一般式).

［走進教材-夯實基礎］回顧知識?激活技能

?梳理?必備知識

1.直線的方向向量

(1)設A,8是直線上的兩點，則牯就是這條直線的方向向量.

(2)若直線I的斜率為k,則直線/的一個方向向量為(1,%).

2.直線的傾斜角

(1)定義：當直線/與X軸相交時，以X軸作為基準，X軸正向與直線/向上

的方向之間所成的角a叫做直線/的傾斜角.

(2)范圍：直線的傾斜角a的取值范圍為0°Wa<180°.

3.直線的斜率

(1)定義：把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用

小寫字母人表示，艮卜Z:=tana(aW90°).

(2)過兩點的直線的斜率公式

如果直線經過兩點P1(XI,yi),P2(X2,”)(%1WX2),其斜率左

4.直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點斜式y(tǒng)—?0=依一%0)不含直線x=xo

斜截式y(tǒng)=fcc+.不含垂直于x軸的直線

y—yix一二,,

兩點式—(?Wx2,yiW”)不含直線x=xi和直線y=yi

y2—yi~~及一笛

x.vi不含垂直于坐標軸和過原點的直

截距式"+t=1

a-b----線

一般式Ar+By+C=0(A2+B2W0)平面直角坐標系內的直線都適用

提醒：“微距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正、可負，也可以是零,

而“距離”是一個非負數.

［常用結論］

1.直線的斜率攵和傾斜角a之間的函數關系

如圖，當0,前時，斜率右［0，+°°);當a*時，斜率不存在；當

aG停，兀)時,斜率左e(—8,0).

2.特殊直線的方程

⑴直線過點Pi(xi,yi),垂直于x軸的方程為^^以；

(2)直線過點Pi(xi,yi),垂直于y軸的方程為嚀口；

(3)y軸的方程為x=0;

(4)x軸的方程為y=Q.

?激活?基本技能

一'易錯易誤辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

⑴直線的斜率為tana,則其傾斜角為a.()

(2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大.()

(3)經過定點A(0,切的直線都可以用方程y=Ax+力表示.()

(4)若直線的一個方向向量為(x,y),則該直線的斜率為m()

［答案］(l)x(2)X(3)x(4)X

二'教材習題衍生

2

1.過A(4,y),BQ,-3)兩點的直線的一個方向向量為(—1,-1),則y

=()F至而

A.一坐B.坐C.—1D.1

C［法一：由直線上的兩點A(4,y),8(2,—3),得牯=(一2,—3—),),

又直線AB的一個方向向量為(—1,—1),因此(一2)X(—1)一(—3—y)X(—1)

=0,解得了=一1,故選C.

-1

法二：由直線的方向向量為(一1,一1)得，直線的斜率為』=1,所以

廠(一3)

4-2=1'解得)=一1.故選CJ

2.如果AC<0,且BC<0,那么直線小:+8y+C=0不經過()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

c

C［由已知得直線Ax+By+C=0在x軸上的截距一7Z1>0，在y軸上的截距

-1>0,故直線經過第一、二、四象限，不經過第三象限.］

3.已知43,5),8(4,7),C(-l,x)三點共線，則x=.

-3［因為A,B,C三點共線，

7—5x-5

所以kAB=kAC,所以匚=三,所以x=-3.]

4.過點P(2,3)且在兩軸上截距相等的直線方程為.

3x—2y=0或x+y—5=0［當縱、橫截距為0時，直線方程為3x—2y=0;

當截距不為0時，設直線方程為?=1,5!')|+|=1,解得a=5,直線方

程為x+y-5=0.］

［細研破題型］I受難解惑?直擊高考

□考點一直線的傾斜角與斜率枷生共研

［典例1］(1)(2021?長沙一中模擬)如圖，在矩形ABCD中，BC=5AB,直線

AC的斜率為坐，則直線8c的斜率為()

3

A.小B.坐

C.D.24

(2)直線/過點P(l,0),且與以A(2,1),3(0,小)為端點的線段有公共點，

則直線/斜率的取值范圍為.

(1)A(2)(—8,—5]U[L+8)[(1)由題意，在RtABCD中，2BCD

=去BC—y/3AB=-\[?>CD,

,\/37T兀兀

tanNCB￡)=與，NC8D=z，.,.直線8c1的傾斜角為故ZBC=tan

JO33

小.故選A.

(2)如圖,

1—0小―0I-I-

?：kAP=2_]=]，kisp=0_]=一事，.?.左￡(-8,—y]3]U[1,+0°).]

力反思領悟斜率取值范圍的兩種求法

數形結作出直線在平面直角坐標系中可能的位置，借助圖形，結合正切函數

合法的單調性確定

函數圖

根據正切函數圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可

象法

提醒：求傾斜角時要注意斜率是否存在，必要時分0,與傳，兀)兩種情況

討論.

[跟進訓練]

1.(1)如圖，若直線/1,22,/3的斜率分另U為怎，依，依，則()

4

A.ki<k2Vk3

B.k3<k\<ki

C.k3Vk2〈k\

D.3V左2

(2)若直線/的斜率攵G[—l,1],則直線/的傾斜角。的范圍是.

(1)D(2)0,；]u[竽，兀][⑴由題圖知直線/i的傾斜角ai是鈍角，故A

<0,直線/2,/3的傾斜角02,G3均為銳角，且Q2>G3,故0V攵3VA2.因此攵1V依

V&2.

3兀

(2)當一iwzvo時，了wevm

77

當ow&wi時，

因此。的取值范圍是o,au丁，可」

考點二直線方程的求法慨組通關

1.經過兩條直線/i：x+y=2,hz2x—y=1的交點，且直線的一個方向向

量。=(一3,2)的直線方程為.

九+y=2,

2x+3y—5=0[聯(lián)立彳-解得x=l,y=i,

[2x—y=1,

...直線過點(1,1).

?直線的方向向量0=(—3,2),

2

直線的斜率k=-y

則直線的方程為y-l=-|(x-l),即2x+3y-5=0.]

2.過點(2,1)且在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線方程為

x+y—3=0或x+2y—4=0[由題意可設直線方程為'+方=1.

5

a+b=6,

則”21解得a=b=3,或a=4,b=2.

匕+尸1，

故所求直線方程為x+y—3=0或x+2y—4=0.］

3.已知△ABC的三個頂點分別為4—3,0),3(2,1),。(一2,3),求：

(1)3。邊所在直線的方程；

(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；

(3)BC邊的垂直平分線DE的方程.

v-1

［解］(1)因為直線BC經過B(2,1)和C(-2,3)兩點，得BC的方程為二'=

^2—2f即尤+2)'-4=0.

2_2］?3

(2)設BC邊的中點D(x,y),則x=-］—=0,y=―1—=2.

邊的中線AO過4一3,0),0(0,2)兩點，所在直線方程為士+5=1,

即2x-3y+6=0.

⑶由⑴知，直線8C的斜率內=一提則直線8C的垂直平分線OE的斜率

依=2.由(2)知，點。的坐標為(0,2).

所求直線方程為＞-2=2。-0),即2x~y+2=0.

令反思領悟求直線方程的兩種方法

確定折疊前后的各量之間的關系，搞清折疊前后的，

第一步一

變化量和不變量

第二步卜1在折疊后的圖形中確定線和面的位置關系，明確需

要用到的線面

0

第三步［-利用判定定理或性質定理進行證明

□考點三直線方程的綜合應用柳生共研

［典例2］已知直線/：依一y+l+2Z=0(ZGR).

(1)證明：直線/過定點；￡5加

(2)若直線不經過第四象限，求左的取值范圍；

(3)若直線/交x軸負半軸于A,交y軸正半軸于3,△A08的面積為S(。為

6

坐標原點)，求S的最小值并求此時直線/的方程.

［解］(1)證明：法一：直線/的方程可化為

k(x+2)+(l—y)=0,

x+2=0,［x=-2,

令＜解得＜

ll-y=O,［y=l.

...無論左取何值，直線/總經過定點(-2,1).

法二：方程依一〉+1+2%=0可化為＞一1=忒》+2),顯然直線/恒過定點(一

2,1).

1+2%

由方程知，當時，直線在軸上的截距為一一十，在軸上的截距

(2)ZWOxKy

f1+2左1

為1+2鼠要使直線不經過第四象限，則必須有，k解得人＞0；

?1+241,

當％=0時，直線為y=l,符合題意，

故人的取值范圍是［0,+°°).

(3)由題意可知AW0,再由/的方程，得人(一?"，0),B(0,1+2Z).

「\+2k

——;—＜0,

依題意得Jk解得%＞0.

?1+2A0,

VS=1-|OAHOB|

1+2A

?|1+2川

k.

1(1+2Z)2_4Z+：+4

2'T~一3

>|x(2X2+4)=4,

“=”成立的條件是攵＞0且4%=；,

即k=\,

，Smin=4,此時直線/的方程為x—2y+4=0.

⑨反思領悟處理直線方程綜合應用的兩大策略

7

(1)求解與直線方程有關的最值問題，先求出斜率或設出直線方程，建立目

標函數，再利用基本不等式求解最值.

(2)含有參數的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點(或平

行)的直線系，即能夠看出“