1997考研數(shù)四真題及解析

BorntowinPAGEPAGE41997年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學四試題一、填空題(本題共5分,每小題3分,滿分15分.把答案在題中橫線上.)(1)設(shè),其中可微,則.(2)設(shè),則.(3)設(shè)階矩陣,則.(4)設(shè)是任意兩個隨機事件,則.(5)設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的二項分布,隨機變量服從參數(shù)為的二項分布.若,則.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù),且當時,的高價無窮小,則當時,是的()(A)低階無窮小(B)高階無窮小(C)同階但不等價的無窮小(D)等價無窮小(2)若,在內(nèi),則在內(nèi)有()(A),(B),(C),(D),(3)設(shè)向量組,,線性無關(guān),則下列向量組中,線性無關(guān)的是()(A),,(B),,(C),,(D),,(4)非齊次線性方程組中未知量個數(shù)為,方程個數(shù)為,系數(shù)矩陣的秩為,則()(A)時,方程組有解(B)時,方程組有惟一解(C)時,方程組有惟一解(D)時,方程組有無窮多解(5)設(shè)是一隨機變量,,,則對任意常數(shù),必有()(A)(B)(C)(D)三、(本題滿分6分)求極限.四、(本題滿分6分)設(shè)有連續(xù)偏導數(shù),和分別由方程和所確定,求.五、(本題滿分6分)假設(shè)某種商品的需求量是單價(單位：元)的函數(shù)：,商品的總成本是需求量的函數(shù)：；每單位商品需要納稅2元,試求使銷售利潤最大的商品單價和最大利潤額.六、(本題滿分7分)求曲線,,,所圍成的平面圖形的面積,并求該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.七、(本題滿分7分)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù),且,試證：(1)求的聯(lián)合概率分布；(2)求.1997年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學四試題解析一、填空題(本題共5分,每小題3分,滿分15分.把答案在題中橫線上.)(1)【答案】【解析】題目考察復合函數(shù)的微分法,利用鏈式法則計算如下：由可知(2)【答案】【分析】注意本題要求的是個常數(shù).【解析】令,則,兩邊從0到1作定積分,得.(3)【答案】【解析】把第各行均加至第1行,則第1行為,提取公因式后,再把第1行的-1倍加至第各行,可化為上三角行列式,即.(4)【答案】【解析】根據(jù)事件間運算的分配律,有,故如果將直接展開也是一樣的,.所以(5)【答案】【解析】由于兩個二項分布服從的參數(shù)相等,所以只需通過其中一個條件確定參數(shù),則另一個二項分布的參數(shù)就可以確定.因,所以.(通常在求一個事件概率比較復雜時,往往我們都考慮通過它的對立事件來求)又,故.(由于概率是必需小于等于１的,所以開根號時,只能取正)因此,,故【相關(guān)知識點】1.二項分布的概率計算公式：若,則,.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)【答案】(B)【分析】由無窮小階的比較的概念可知,只要考察極限即可.【解析】由于,因此,當時,是的高階無窮小.故應(yīng)選(B).(2)【答案】(C)【解析】題目考察抽象函數(shù)的凹凸性和單調(diào)性的問題.方法1：由知,的圖形關(guān)于軸對稱.由在內(nèi),且知,的圖形在內(nèi)單調(diào)上升且是凸的；由對稱性知,在內(nèi),的圖形單調(diào)下降,且是凸的,所以應(yīng)選(C).方法2：由可知.當時,,此時由題設(shè)知,,則,故應(yīng)選(C).方法3：排除法.取,易驗證符合原題條件,計算可知(A)、(B)、(D)三個選項均不正確,故應(yīng)選(C).方法4：由題設(shè)可知是一個二階可導的偶函數(shù),則為奇函數(shù),為偶函數(shù),又在內(nèi),則在內(nèi),故應(yīng)選(C).(3)【答案】(C)【分析】這一類題目最好把觀察法與技巧相結(jié)合.【解析】對于(A),,即存在一組不全為零的數(shù)1,-1,1,使得等式為零,根據(jù)線性相關(guān)的定義可知線性相關(guān),排除(A)；對于(B),,即存在一組不全為零的數(shù)1,1,-1,使得等式為零,根據(jù)線性相關(guān)的定義可知線性相關(guān),排除(B)；對于(C),簡單的加加減減得不到零,就不應(yīng)繼續(xù)觀察下去,而應(yīng)立即轉(zhuǎn)為計算行列式.設(shè)有數(shù)使得,整理得已知,,線性無關(guān),上式成立,當且僅當=1\*GB3①因=1\*GB3①的系數(shù)行列式,故=1\*GB3①有唯一零解,即.故原向量組,,線性無關(guān).應(yīng)選(C).或者也可以將,,用線性表出,且寫成矩陣形式,有,,則可逆,故兩向量組是等價向量組,由,,線性無關(guān)知,,線性無關(guān).(4)【答案】(A)【解析】因是矩陣,若,增廣矩陣也只有行,則故有故有解.應(yīng)選(A)；或,由知的行向量組線性無關(guān),那么其延伸組必線性無關(guān),故增廣矩陣的個行向量也是線性無關(guān)的,亦即；關(guān)于(B)(D)不正確的原因是：由不能推出(注意：是矩陣,可能大于),無解.故(B)(D)不成立.至于(C),當時,還可能無解,及無窮多解,(只有當時,才有唯一解),故(C)不成立.(5)【答案】(D)【解析】首先看A選項：由于,如果成立,則有.若,則等式成立.若,即有,而,與為任意常數(shù)矛盾.故A錯.再看B選項：,而,若成立,則.若,與為任意常數(shù)矛盾.若,則,與矛盾(因為為任意常數(shù)),故B錯.再來看Ｃ選項：由于要比較,所以直接的想法是在左邊構(gòu)造出右邊項來.在數(shù)學計算中經(jīng)常用到的加一項減一項的技巧.,由所以,故(D)正確,(C)錯.【相關(guān)知識點】1.隨機變量數(shù)學期望的性質(zhì)：若隨機變量的期望存在,則(其中為常數(shù)),(其中為常數(shù)).三、(本題滿分6分.)【分析】注意本題中有一項,當時,此項極限存在且為0,所以此項應(yīng)單獨提出來,剩余兩項為型未定式,應(yīng)先通分然后用洛必達法則.【解析】原式四、(本題滿分6分.)【解析】由題設(shè)有.(*)在中,將視為的函數(shù),兩邊對求導,得.(1)在中,將視為的函數(shù),兩邊對求導,得.(2)將(1)、(2)兩式代入()式,得.【相關(guān)知識點】1.多元復合函數(shù)求導法則：若和在點處偏導數(shù)存在,函數(shù)在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導數(shù),則復合函數(shù)在點處的偏導數(shù)存在,且.五、(本題滿分6分)【解析】以表示銷售利潤額,則,令,得.由于,可見,時,有極大值,也是最大值(因為是惟一駐點).最大利潤額(元).六、(本題滿分7分)123xO【解析】如右圖所示,所求面積,表示該平面圖形在軸下方的部分,表示該平面圖形在軸上方的部分.易見,123xO,.故所求圖形的面積.平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積；平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積.故所求旋轉(zhuǎn)體體積.七、(本題滿分7分)【分析】證明是偶函數(shù)要用定義；證明單調(diào)不減,只需證明.【解析】(1)因為則為偶函數(shù).(2)由可知(其中介于0與之間)若,則,從而,于是；若,則,從而,于是,即對一切的,有.原題得證.八、(本題滿分6分)【解析】直線,和的方程相應(yīng)為,和.O1xPy21AB過點向軸做垂線,它將分成和兩個區(qū)域(如右圖所示),其中點O1xPy21AB；.故.九、(本題滿分7分)【解析】(1)由及,有(2)用行列式拉普拉斯展開式及行列式乘法公式,有,又因是非奇異矩陣,所以,故.由此可知可逆的充要條件是,即,亦即.評注：本題考查分塊矩陣的運算,要看清是1階矩陣,是一個數(shù).【相關(guān)知識點】1.兩種特殊的拉普拉斯展開式：設(shè)是階矩陣,是階矩陣,則.2.行列式乘積公式：設(shè)是兩個階矩陣,則乘積的行列式等于和的行列式的乘積,即.十、(本題滿分9分)【分析】是對角矩陣,那么與相似時的矩陣就是由的線性無關(guān)的特征向量所構(gòu)成的,求矩陣也就是求的特征向量.【解析】(1)因為,則,,即(2)由題設(shè)條件,由相似矩陣的性質(zhì),有特征值.當,由,得到基礎(chǔ)解系為,即為矩陣的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量；當,由,其基礎(chǔ)解系為,即為矩陣的屬于特征值的特征向量.那么,令則有.【相關(guān)知識點】1.相似矩陣的性質(zhì)：相似矩陣的特征值相同.十一、(本題滿分8分)【解析】(1)求分布函數(shù)實質(zhì)上是求的概率.由的絕對值不大于1,可得當時,；當時,；又,則；由題意在內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長度成正比,那么當?shù)闹祵儆诘臈l件下,事件的條件概率為：(其中為比例正常數(shù)),又,而,所以,故；當時,,所以.由條件概率公式,有,而,所以,故.(2)取負值的概率而,又隨機變量的密度函數(shù)在內(nèi)是連續(xù)的,所以在內(nèi)隨機變量在一點處的概率為０,即,所以.【相關(guān)知識點】1.條件概率公式：.十二、(本題滿分8分)【解析】(1)要求的聯(lián)合概率分布,其中都是與相關(guān),所以通過求的概率來求的概率.因服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則其分布函數(shù)為：由,知只有四種可能取值.因事件相