2017年度中考數(shù)學(xué)試卷匯編圓(帶內(nèi)容答案)

圓的有關(guān)性質(zhì)

一、選擇題

1.（2016?山東省濱州市?3分）如圖，/8是。。的直徑，C,。是0。上的點(diǎn)，且OC\\BD,

力。分別與BC,OC相交于點(diǎn)E,F,則下列結(jié)論：

①，。_LBD;@^AOC=^AEC-③CB平分NAB。;?AF=DF\⑤8p=2。，⑥△CE曲BED,

其中一定成立的是（）

A.②④⑤⑥B.①③⑤⑥C.②③④⑥D(zhuǎn).①③④⑤

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【分析】①由直徑所對(duì)圓周角是直角，

②由于N/OC是。。的圓心角，N/a是。。的圓內(nèi)部的角角，

③由平行線得到NOCB=zDBC,再由圓的性質(zhì)得到結(jié)論判斷出NOBC=zDBC;

④用半徑垂直于不是直徑的弦，必平分弦；

⑤用三角形的中位線得到結(jié)論；

⑥得不到ACF和△%■。中對(duì)應(yīng)相等的邊，所以不一定全等.

【解答】解：①、X8是O。的直徑,

.2408=90°,

..AD1.BD,

②、是。。的圓心角，N/a是。。的圓內(nèi)部的角角，

:.z.AOCtz.AEC,

：.z.OCB=z.DBC,

■：OC=OB,

:.z.OCB=z.OBC,

:.z.OBC=z.DBC,

:.CB平分乙ABD,

④、是。。的直徑，

.?.乙4。8=90°,

:.AD1.BD,

■：OC\\BD,

尸0=90°,

???點(diǎn)。為圓心，

:.AF=DF,

⑤、由④有，力尸=。尸，

；點(diǎn)。為中點(diǎn)，

.?Q尸是“8。的中位線，

:.BD^2OF.

⑥?3）尸和A8￡。中,沒有相等的邊，

爾與A6￡。不全等，

故選。

【點(diǎn)評(píng)】此題是圓綜合題，主要考查了圓的性質(zhì),平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解本題

的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的唾.

2.（2016?山東省德州市?3分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中

有下列問題"今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？"其意思是："今有直角三角形，

勾（短直角邊）長(zhǎng)為8步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為15步，問該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)

切圓）直徑是多少？"（）

A.3步B.5步C.6步D.8步

【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，即可確定出內(nèi)切圓半徑.

【解答】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為必誨=17,

2+1R-17

1P

則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑r=-2-=3（步），即直徑為6步，

故選C

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，Rt^ABC,三邊長(zhǎng)為a,b,c（斜邊），其內(nèi)

切圓半徑々史。.

3.（2016?山東省濟(jì)寧市-3分）如圖，在0。中，忘，2/08=40。，貝Ik/OC的度

數(shù)是（）

B

A.40°B.30°C,20°D.15°

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【分析】先由圓心角、弧、弦的關(guān)系求出〃。仁“。6=50。，再由圓周角定理即可得出結(jié)

論.

【解答】解:,.在o。中，標(biāo)=*￡,

：.z.AOC-z.AOB,

?.2/08=40°,

..""=40°,

:.^ADC=^LAOC=2Q°,

故選C.

4.（2016云南省昆明市4分）如圖，為。。的直徑，28=6,力九弦CD,垂足為G,

E尸切。。于點(diǎn)8,N/=30°,連接4?、OC、6c下列結(jié)論不正確的是（）

A.EF\\CDB.A096是等邊三角形

C.CG=DGD.菽的長(zhǎng)為日”

【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算；切線的性質(zhì).

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)定理和垂徑定理判斷力；根據(jù)等邊三角形的判定定理判斷B;根據(jù)

垂徑定理判斷C;利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算出后例長(zhǎng)判斷D.

【解答】解：?.，8為0。的直徑，f尸切。。于點(diǎn)8,

：.ABA.EF,又ABlCD.

:.由。，A正確;

■：ABA.^CD,

?■?BC=BD，

.?"08=2/2=60°,又OC=OD,

是等邊三角形，8正確；

弦CD,

：.CG=DG,C正確;

■-1^-I60X">(3ce±t3

BC的長(zhǎng)為：——rzz——="，。錯(cuò)俁，

loU

故選：D.

5.(2016?浙江省湖州市?3分)如圖，圓。是的Z6C的外接圓，N/C8=90°,"=25°,

過點(diǎn)C作圓。的切線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，則N。的度數(shù)是()

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【分析】首先連接OC,由N/=25°,可求得N8OC的度數(shù)，由。是圓。的切線，可得

0d。，繼而求得答案.

【解答】解：連接OC,

.?圓。是/?加力8c的外接圓，N/C8=90°,

是直徑，

?"=25°,

.?.N8OC=2"=50°,

??,c。是圓。的切線，

:.OCA_CD,

.-.zP=90°-N8OC=40。.

故選B.

6.（2016浙江省紹興市4分）如圖，8。是O。的直徑，點(diǎn)AC在。。上，0=箴,

N/O8=60°,則N6OC的度數(shù)是（）

A.60°B,45℃.35°D.30°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】直接根據(jù)圓周角定理求解.

【解答】解：連結(jié)OC,如圖，

-AB=BC,

.?28。0=1/1。8=當(dāng)60°=30°.

22

故選D.

7.（2016廣西南寧3分）如圖，點(diǎn)4,B,C,P在。。上，CD^OA,CErOB,垂足

分別為。，&N〃CE=40。，則NP的度數(shù)為（）

A.140°B.70℃.60°D.40°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】先根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再由圓周角定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.C2LC4,CErOB,垂足分別為。，E,zZ?C￡=40°,

.?.zP（9F=180o-40°=140°,

二“聶。?！?70°.

2

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，

都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.

8.（2016貴州畢節(jié)3分）如圖，點(diǎn)4,6,C在。。上，"=36°,NC=28°,貝上8=（）

A.100°B.72℃.64°D.36°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】連接根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得至IJNO，C=NC=28°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解

答即可.

【解答】解：連接OA.

:OA=OC,

:.^OAC=^C=28°,

:20/8=64°,

:OA=OB,

...N8=N36=64°,

9.（2016河北3分）圖示為4x4的網(wǎng)格圖，/,8,C,D,。均在格點(diǎn)上，點(diǎn)。是（）

第9題圖

A.A/Q?的外心B.6c的外心

C.的內(nèi)心D.”SC的內(nèi)心

答案：B

解析：點(diǎn)。在外，且到三點(diǎn)距離相等，故為外心。

知識(shí)點(diǎn)：外心：三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心。

內(nèi)心：三角形內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。（也就是內(nèi)切圓圓心）

10.（2016?山東濰坊3分）木桿28斜靠在墻壁上，當(dāng)木桿的上端力沿墻壁/V。豎直下滑

時(shí)，木桿的底端8也隨之沿著射線。例方向滑動(dòng).下列圖中用虛線畫出木桿中點(diǎn)。隨之下

落的路線，其中正確的是（）

OBMOBMOBMOBM

【考點(diǎn)】軌跡；直角三角形斜邊上的中線.

【分析】先連接OP,易知。戶是/?小/斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半，可得OP^AB,由于木桿不管如何滑動(dòng),長(zhǎng)度都不變，那么。戶就是一個(gè)

定值，那么。點(diǎn)就在以。為圓心的圓弧上.

【解答】解：如右圖，

連接OP,由于。。是斜邊上的中線，

所以。吟AB,不管木桿如何滑動(dòng)，它的長(zhǎng)度不變，也就是。戶是一個(gè)定值，點(diǎn)P就在以

。為圓心的圓弧上，那么中點(diǎn)P下落的路線是一段弧線.

故選D.

11.（2016?陜西?3分）如圖，。。的半徑為4,△力8c是O。的內(nèi)接三角形，連接。&

OC.若N班C與N8OC互補(bǔ)，則弦6c的長(zhǎng)為（）

A.3bB.4辰.5折.6A/3

【考點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形.

【分析】首先過點(diǎn)。作ODX.8c于D,由垂徑定理可得BC=2BD,又由圓周角定理，可求

得N8OC的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得NO8C的度數(shù)，利用余弦函數(shù)，即可

求得答案.

【解答】解：過點(diǎn)。作ODLBC于D,

貝BC=2BD,

,"/6C內(nèi)接于。。，N82C與/6OC互補(bǔ)，

:.乙BOC=2乙A,N8OC+N4=180°,

.-.z5（9（7=120°,

：OB=OC,

:./LOBC=^OCB=^=3G°,

???。。的半徑為4,

:.BD=OB.cos乙OBC=A^^=2臬,

?收=4曬■

12.(2016?四川眉山?3分)如圖，4。是。。上的兩個(gè)點(diǎn)，8c是直徑.若/。=32°,則

AOAC=()

【分析】先根據(jù)圓周角定理求出N8及N6ZC的度數(shù)，再由等腰三角形的性質(zhì)求出/。46的

度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【解答】解：.BC是直徑,zZ?=32°,

...N8=NP=32°,N必回90°.

：OA=OB,

..N8ZO=N6=32°,

：.^OAC=^BAC-zBAO=3Q°-32°=58°.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,

都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.

13.(2016?四川攀枝花)如圖，點(diǎn)。(0,3),0(0,0),C(4,0)在0/上，BD

是。力的T弦，貝Usin乙OBD=()

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【分析】連接CD,可得出NOS仄,根據(jù)點(diǎn)Z?(0,3),C(4,0)，得OD=3,

0c=4,由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函數(shù)求出夕位。8。即可.

【解答】解：「0(0,3),0(4,0),

.-.(9/7=3,OC=4,

：^COD=90°,

.?.CZ?=732+42=5，

連接C。，如圖所示：

：z.OBD^z.OCD,

：.sinz.OBD-sinz.OCD=^-=-^r.

CD5

故選：D.

y)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，勾股定理、以及銳角三角函數(shù)的定義；熟練掌握?qǐng)A周角定

理是解決問題的關(guān)鍵.

14.（2016?黑龍江龍東?3分）若點(diǎn)。是等腰小8C的外心，且N8OG60。，底邊8c=2,

則的面積為（）

A.2+\/5B.華C.2+^2->/3D.4+273^2-73

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)不同情況，求出相應(yīng)的邊的長(zhǎng)度，從而可

以求出不同情況下的面積，本題得以解決.

【解答】解：由題意可得，如右圖所示，

存在兩種情況，

當(dāng)"6C為"1歌時(shí)，連接08、OC,

:點(diǎn)。是等腰的外心，且/6。。=60。，底邊BC=2,OB=OC,

.”。尤為等邊三角形，OB=OC=BC=2,O4U8C于點(diǎn)。，

-'CD-I,OZ?=^22-12=V3，

_BC?A|D_2X（2-q）=2-b，

S

AA1BC-2-273

當(dāng)"6U為"28C時(shí)，連接OB、OC,

??點(diǎn)。是等腰“跋的外心，且N6。0=60°,底邊BC=2,OB=OC,

.“。8c為等邊三角形，OB=OC=BC=2,O4U6C于點(diǎn)。，

-'-CD-1,<9/7=^22-12=V3>

片及吆=2X⑵正）_2+技

22

由上可得，”8C的面積為2-73H￡2+V3,

故選C.

15.（2016?黑龍江齊齊哈爾-3分）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

①同位角相等

②經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行

③長(zhǎng)度相等的弧是等弧

④順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.

A.ljB.2jC.3jD.4j

【考點(diǎn)】命題與定理.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)平行公理對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)等弧的定義對(duì)

③進(jìn)行判斷;根據(jù)中點(diǎn)四邊的判定方法可判斷順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形為平行四

邊形，加上菱形的對(duì)角線垂直可判斷中點(diǎn)四邊形為矩形.

【解答】解：兩直線平行，同位角相等，所以①錯(cuò)誤；

經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行，所以②錯(cuò)誤；

在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的弧是等弧，所以③選項(xiàng)錯(cuò)誤；

順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，所以④正確.

故選A.

16.（2016?湖北黃石-3分）如圖所示，O。的半徑為13,弦的長(zhǎng)度是24,ONrAB,

垂足為/V,則O/V=（）

A.5B.7C.9D.11

【分析】根據(jù)。。的半徑為13,弦28的長(zhǎng)度是24,0ML28,可以求得Z/V的長(zhǎng)，從而

可以求得02的長(zhǎng).

【解答】解：由題意可得，

04=13,N024=90°,46=24,

：.AN=12,

-AN2=7132-122=5，

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是明確垂徑定理的內(nèi)容，利用垂徑定理解答問題.

17.（2016湖北荊州3分）如圖，過O。外一點(diǎn)。引O。的兩條切線PA、PB,切點(diǎn)分別

是48,交。。于點(diǎn)C,點(diǎn)。是優(yōu)弧球上不與點(diǎn)4點(diǎn)。重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、

CD,若“眸80：貝的度數(shù)是（）

A.15°B.20℃.25°D.30°

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，可得N6C4,根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，根據(jù)圓周角定理,

可得答案.

B

【解答】解；如圖",

由四邊形的內(nèi)角和定理，得

N83=360°-90°-90°-80°=100°,

?AC=BC，得

N/OC=N8OC=50°.

由圓周角定理，得

z/IPC=lz/t?C=25°,

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)得出眾=前是解題關(guān)鍵，又利用了圓周角定

理.

二、填空題

1.（2016?重慶市4卷4分）如圖，OA,。8是。。的半徑,點(diǎn)C在。。上，連接47,

BC,若N/06=120°,則/?=60度.

【分析】根據(jù)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧

所對(duì)的圓心角的一半可得答案.

【解答】解：.OJlOS,

.2/06=120°,

.?.N/D=120°X±=60°,

2

故答案為：60.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等

弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

2.（2016?廣西百色?3分）如圖，。。的直徑28過弦。的中點(diǎn)E,若NC=25°,則NZ?=_

65。.

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】先根據(jù)圓周角定理求出NZ的度數(shù)，再由垂徑定理求出/力￡。的度數(shù)，進(jìn)而可得出

結(jié)論.

【解答】解：-.zC=25°,

.Z=NC=25°.

???。。的直徑力8過弦。的中點(diǎn)E,

：.AB±.CD,

.Z￡Z?=90°,

.20=90。-25°=65°.

故答案為：65°.

3.（2016?貴州安順4分）如圖,28是O。的直徑，弦皿08于點(diǎn)E,若28=8,CD=6,

貝UBE-A于

C'D

B

【分析】連接OC,根據(jù)垂徑定理得出CE=ED=CD=3,然后在Rt^OfC中由勾股定理求

出的長(zhǎng)度，最后由BE=OB-OE,即可求出命的長(zhǎng)度.

【解答】解：如圖，連接OC.

?.?弦于點(diǎn)f,CD=6,

:.CE=ED^2Cl>3.

?.在Rt^OEC中,NO￡C=90°,CE=3,0c=4,

:.OE==V7

:.BE=OB-OE=A-V7.

故答案為4-V7.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，關(guān)鍵在于熟練的運(yùn)用垂徑定理得出

CE、的長(zhǎng)度.

4.（2016海南4分）如圖，Z8是。。的直徑，AC.BC是。。的弦，直徑于點(diǎn)

P.若點(diǎn)。在優(yōu)弧ABC上，/8=8,8c=3,則DP=5.5

E

【考點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理.

【分析】解：由和是的直徑，可推出OA=OB=OD=A,NC=90。，又有DELAC.

得到OPWBC,于是有根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：?.Z8和。舊是。。的直徑，

:.OA=OB=OD=4,zC=90°,

5L：DE^.AC,

:.OP\\BC,

iAOPiABC,

OP_AO

,而任，

OP^

即三至，

:.OP=1.5.

:.DP=OP+OP=5.5,

故答案為：5.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，平行線的判定,相似三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握

圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵.

5.（2016?青海西寧2分）O。的半徑為1，弦AB=\歷，弦AC=M，則度數(shù)為75。

或15°.

【考點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形.

【分析】連接OA,過。作OKL/8于F,OEL/C于尸，根據(jù)垂徑定理求出力￡所值，

根據(jù)解直角三角形的知識(shí)求出N048和NO4U,然后分兩種情況求出N8ZC即可.

【解答】解：有兩種情況：

①如圖1所示：連接OA,過。作0sLz8于E,OFrAC^-F,

：.AOEA=^OFA=9Q°,

由垂徑定理得：AE=BE=^,力尸=67=返，

22

3/04￡=絆=匹，3"/尸=空=返，

0A20A2

:.^OAE=3Q°,NO4G45°,..N8/IC=30°+45°=75°;

②如圖2所示:

連接以，過。作0sLz8于E,OF^AC=^F,

..Ng=Ng=90°,

由垂徑定理得：AE=BE當(dāng),AF=CF=^,

cos^OAE=~^-,COSNOZ金牛=返，

0A20A2

:.z.OAE=3Q°,N?F=45°,

:.^BAC=^S°-30°=15°;

故答案為：75?；?5°.

1

6.(2016?吉林?3分)如圖，四邊形力8。內(nèi)接于OO,NZ?/8=130°,連接OC,點(diǎn)P是

半徑OC上任意一點(diǎn)，連接DP.BP,則N8也可能為80度(寫出一個(gè)即可).

【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理.

【分析】連接OB、根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NOCB的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求

出的度數(shù)，得到NZ?CB<N8.

【解答】解：連接。員OD.

,?四邊形力6。內(nèi)接于。。，N〃Z8=130°,

.203=180°-130°=50°,

由圓周角定理得，^DOB=2^DCB=100°,

：.^DCB<ABPD<ADOB,即50°<^BPD<100°,

.28也可能為80°,

故答案為：80.

7.(2016?四川瀘州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/(1,0),5(1

-a,0),C(l+a,0)(a>0),點(diǎn)P在以。(4,4)為圓心，1為半徑的

圓上運(yùn)動(dòng)，且始終滿足N6PC=90。，則a的最大值是6

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心.

【分析】首先證明/6=4C=a,根據(jù)條件可知PA=AB=AC=a,求出上到

點(diǎn)力的最大距離即可解決問題.

【解答】解：X(1,0),5(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),

..AB=1-(1-a)=a,CA=a+l-l=a,

'AB-AC,

:.PA=AB=AC=a,

如圖延長(zhǎng)2。交。。于P,此時(shí)21最大，

：A(1,0),。(4,4),

：.AD=5,

二/7=5+1=6,

-a的最大值為6.

故答案為6.

8.(2016?黑龍江龍東-3分)如圖，例/V是。。的直徑，MN=4,N//VW=40。，點(diǎn)8為弧

//V的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑例/V上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以1+%的最小值為二、屈.

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問題；圓周角定理.

【分析】過/作關(guān)于直線例"的對(duì)稱點(diǎn)4連接AB，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知48即為PA+PB

的最小值，由對(duì)稱的性質(zhì)可知菽=亦,再由圓周角定理可求出N/'OAZ的度數(shù)，再由勾股

定理即可求解.

【解答】解：過力作關(guān)于直線例/V的對(duì)稱點(diǎn),連接/'6,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知46即為

勿+P8的最小值，

連接OB,OA,AA,

??,//'關(guān)于直線例/V對(duì)稱，

.,愈=廠1，

?"例/V=40°,

；.N4O/V=80°,4BON=AO：

:2408=120°,

過。作OQJL48于Q,

在/?m/'OQ中，。4'=2,

.?./'8=24Q=26，

即以1+戶8的最小值

故答案為：273.

A

三、解答題

1.(2016?四川瀘州)如圖，△/18c內(nèi)接于。。，8。為0。的直徑，8。與AC

相交于點(diǎn)H,ZC的延長(zhǎng)線與過點(diǎn)8的直線相交于點(diǎn)E,Hz/=z￡5C.

(1)求證：6F是。。的切線；

(2)已知CGWEB,且CG與BD、82分別相交于點(diǎn)尸、G,若8G?8/=48,

FG=y[2.DF=2BF,求力”的值.

【考點(diǎn)】圓的綜合題；三角形的外接圓與外心；切線的判定.

【分析】(1)欲證明8F是O。的切線，只要證明/￡8。=90°.

(2)由4/80,4086,得區(qū)=空求出8C,再由尸CSASC。，得BC=BF?BD

BGBC

求出BF,CF.CG.GB,再通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)CG=AG,進(jìn)而可以證明CH=CB,

求出ZC即可解決問題.

【解答】(1)證明：連接CD,

,?,8。是直徑，

:.ABCD=9Q°,即NO+NC6O=90°,

'：Z.A-Z.D,Z.A-Z.EBC,

:.乙CBD+乙EBC=90°,

BEA.BD,

???8F是0。切線.

(2)解：:31￡8,

:.乙BCG=^EBC,

:.z.A-z.BCG,

:乙CBG=4ABC

ABCsACBG,

.導(dǎo)嚕，即BO=BG?BA=48,

DbDC

：.BC=4/3,

■：CG\\EB,

CF1.BD,

△BFCsABCD,

:.BC=BF?BD,

■：DF=2BF,

:.BF=4,

在RCBCF中，CF=7BC2-FB2=4、反，

:.CG=CF+FG=5^/2,

在RT^BFG中,BG=VBF2+FG2=3\^2-

???8G?82=48,

?.BA=8揚(yáng)PAG=5量,

:.CG=AG.

：.^A=^ACG=ABCG,4CFH=^CFB=q0°,

:.乙CHF=z.CBF,

：.CH=CB=AM，

hABCsACBG,

,AC=BC

"CG~'BG'

CG3

:.AH=AC-CH=^^.

3

2.(2016?四川攀枝花)如圖，在A/O8中，N/O6為直角，04=6,08=8,半徑為2

的動(dòng)圓圓心Q從點(diǎn)。出發(fā)，沿著方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)Z出發(fā)，沿著方向也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒(0

<"5)以P為圓心，外長(zhǎng)為半徑的。P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C。，連結(jié)CD、

a.

(1)當(dāng)？為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)。重合？

(2)當(dāng)。Q經(jīng)過點(diǎn)，時(shí)，求OP被。8截得的弦長(zhǎng).

(3)若OP與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，求子的取值范圍.

B

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【分析】(1)由題意知CDS.OA,所以，利用對(duì)應(yīng)邊的比求出2。的長(zhǎng)度，

若Q與。重合時(shí)，則，AD+OQ=OA,列出方程即可求出f的值；

(2)由于0＜片5,當(dāng)Q經(jīng)過/點(diǎn)時(shí)，OQ=4,此時(shí)用時(shí)為4s,過點(diǎn)。作PE1.OB于點(diǎn)E,

利用垂徑定理即可求出。戶被。8截得的弦長(zhǎng)；

(3)若。P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，分以下兩種情況，①當(dāng)QC與。P相切時(shí)，計(jì)算

出此時(shí)的時(shí)間；②當(dāng)Q與。重合時(shí)，計(jì)算出此時(shí)的時(shí)間；由以上兩種情況即可得出f的取

值范圍.

【解答】解：(1)..3=6,08=3,

二由勾股定理可求得：28=10,

由題意知：OQ=AP=t,

：.AC=2t,

是。戶的直徑，

.2。/=90。，

：.CD\\OB,

：aACDs&ABO,

.AC_AD

"AB=OA(

.,.74P=-pt，

5

當(dāng)Q與。重合時(shí)，

AD+OQ=OA,

?哈t+片6,

.30.

,r"11’

(2)當(dāng)0。經(jīng)過/點(diǎn)時(shí)，如圖1,

OQ=OA-QA=4,

4

?小丁=4s,

:.PA=A,

:.BP=AB-PA=6,

過點(diǎn)P作PEI08于點(diǎn)&OP與08相交于點(diǎn)F、G.

連接)，

:.PE\\OA,

:^PEB-^AOB,

.PE_BP

,京辛，

?/￡=￥,

b

由勾股定理可求得：仔三綽9,

由垂徑定理可求知:FG=2EF=皿獸■;

(3)當(dāng)QC與OP相切時(shí)，如圖2,

此時(shí)NQC4=90。，

:OQ=AP=t,

；./Q=6-t,AC=2t,

'：z.A=z.A,

AQCA=^ABO,

:.^AQC-^ABO,

,AQ_AC

?,而而，

.6-t_2t

'10'6'

*13'

.?.當(dāng)0＜仁；|時(shí),OP與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)QCLO4時(shí)，

此時(shí)Q與。重合，

由（1）可知：七招,

當(dāng)答〈仁5時(shí)，0P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)，OP與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，/的取值范圍為：0<”才|或居<華5.

圖2

B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合問題，涉及圓的切線判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性

質(zhì)，學(xué)生需要根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形來(lái)分析，并且能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.

3.（2016?山東濰坊）正方形內(nèi)接于。。，如圖所示,在劣弧標(biāo)上取一點(diǎn)E,連接

DE、BE,過點(diǎn)。作DFWBE交O。于點(diǎn)F,連接BF、AF,且/尸與相交于點(diǎn)G,求證：

（1）四邊形F8尸。是矩形；

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；矩形的判定；圓周角定理.

【分析】（1）直接利用正方形的性質(zhì)、圓周角定理結(jié)合平行線的性質(zhì)得出

/BED=/BAD=90。，/BFD=/BCD=90。，zEDF=9b°,進(jìn)而得出答案；

（2）直接利用正方形的性質(zhì)標(biāo)的度數(shù)是90°,進(jìn)而得出BE=DF,則BE=DG.

【解答】證明：（1）1.正方形ABCD內(nèi)接于0O,

"BED=/BAD=9G：8cp=90°,

文：DF\\BE,

：.^EDF+^BED=18Q°,

.?.z￡P(guān)￡=90°,

???四邊形￡8尸。是矩形；

(2))?.正方形ABCD內(nèi)接于。O,

，薪的度數(shù)是90°,

.力處45°,

又.NG0G9O°,

:.乙DGF=LDFC=45°,

:.DG=DF,

又?.在矩形EBFD中,BE=DF,

:.BE=DG.

4.(2016?廣西桂林?8分)已知任意三角形的三邊長(zhǎng)，如何求三角形面積？

古希臘的幾何學(xué)家海倫解決了這個(gè)問題，在他的著作《度量論》一書中給出了計(jì)算公式--

海倫公式S=[p(p_a)(p-b)(p-C)(其中a，6，。是三角形的三邊長(zhǎng),

。,5為三角形的面積)，并給出了證明

P~2

例如：在“8C中，a=3,b=4,u5,那么它的面積可以這樣計(jì)算：

:a=3,。=4,u5

._a+b+c

??尸^-=6

?.S=VP(p-a)(p-b)(p-c)=V6X3X2X1=6

事實(shí)上，對(duì)于已知三角形的三邊長(zhǎng)求三角形面積的問題，還可用我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶

提出的秦九韶公式等方法解決.

如圖,在6c中,8c=5,AC=6,/8=9

(1)用海倫公式求的面積；

(2)求“6C的內(nèi)切圓半徑r.

【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；二次根式的應(yīng)用.

【分析】(1)先根據(jù)BC、ZC的長(zhǎng)求出P,再代入到公式S=Vp(p-a)(p-b)(p-c)

即可求得S的值；

(2)根據(jù)公式S=lr(ZC+6C+/18),代入可得關(guān)于「的方程,解方程得「的值.

【解答】解：(1)-.BC=S,/回6,48=9,

BC+AC4-AB=516+9=w

P22

??.s=VP(P-a)(p-b)(p-c)=V10X5x4X1=10-72；

故△板的面積1072；

(2).5=全(2C+8C+/8),

???IO&=￡,(5+6+9),

解得：r=V2，

故的內(nèi)切圓半徑々血.

5.(2016?廣西桂林10分)如圖，在四邊形力8。中，Z8=6,BC=8,0=24,AD=26,

N8=90。，以4。為直徑作圓。，過點(diǎn)。作。國(guó)48交圓。于點(diǎn)E

(1)證明點(diǎn)C在圓。上；

(2)求為厄4乃的值；

(3)求圓心。到弦的距離.

BA

E-----D

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

【分析】（1）如圖1,連結(jié)。.先由勾股定理求出/C=10,再利用勾股定理的逆定理證

明A/。是直角三角形，NC=90°,那么0c為/?力4。斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜

邊上的中線等于斜邊的一半得出。0=,力。=r,即點(diǎn)C在圓。上；

（2汝口圖2延長(zhǎng)BC、交于點(diǎn)尸下。=90°根據(jù)同角的余角相等得出NCO￡=N，CB在

Rt^ABC中,利用正切函數(shù)定義求出tan^ACB=-=-,則tanz.CDE=tan^ACB=-;

844

（3）如圖3，連結(jié)Zf,作OGLED于點(diǎn)G,則0GlM￡,且易證"863多。，

根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出CF=~-,那么BF=BC+CF=/^.再證明四邊形28%

55

是矩形，得出2￡=8/三半，所以O(shè)G=^rAE=^.

bN5

【解答】（1）證明：如圖1,連結(jié)co.

,.48=6,BC=8,z5=90°,

.?.410.

又..CP=24,AD=26,102+242=262,

???A/O是直角三角形，zC=90°.

,.乂。為。。的直徑，

：.AO=OD,OC為/?仁/。斜邊上的中線，

.-.OC=^AD^r,

.,.點(diǎn)C在圓。上；

(2)解：如圖2,延長(zhǎng)6GDE交于點(diǎn)F/BFD=9G.

■：^BFD=90°,

:.ACDE+AFCD=9Q°,

又："8=90°,

:.^ACB+AFCD=2G°,

:.z.CDE=z.AC^>.

在R3ABC中,tan乙ACB=2=￡,

84

3

:.tanz.CDE-tanz.ACB--;

4

(3)解：如圖3,連結(jié)〃，作OG_L￡。于點(diǎn)G,則OGIIZF,且OG=4/￡.

^j^ABC-^CFD,

.AB=AC即g=12

CFCD'CF24'

"=今，

□

BF=BC+CF=8.

55

:AB=AF=AAED=9Q°,

四邊形28%是矩形，

.-.AE=BF=—,

5

:.OG=-AE^—,

25

即圓心。到弦的距離為平.

5

BA

6.(2016?貴州安順口2分)如圖，在矩形中，點(diǎn)。在對(duì)角線ACY.,以＜24的長(zhǎng)為

半徑的圓。與42/C分別交于點(diǎn)￡F,且乙ACB=LDCE.

(1)判斷直線"與。。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

返

(2)若tan"CB=2,BC=2,求0。的半徑.

【分析】(1)連接。￡.欲證直線CE與O。相切，只需證明NC￡O=90。，即OE±&F即可；

(2)在直角三角形Z史中，根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求得AB=、反,然后根據(jù)勾股定理求

得/(；=、幾，同理知。匹=1；

方法一、在RSCOE中,利用勾股定理可以求得Ca=OP+CP,即（A-r）'=戶+3,

從而易得/"的值；

方法二、過點(diǎn)。作。例，/￡于點(diǎn)例，在/?熱力例。中，根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求得/?的

值.

【解答】解：（1）直線％與O。相切.…（1分）

理由如下：

?.四邊形Z8C。是矩形，

:.BC\\AD,z.ACB=z.DAC;

文：乙ACB=4DCE,

:.乙DAC=ADCE;

連接OE,貝此。4c=N/￡O=N/XT;

???zPC￡+zZ?￡C=90°

.1.z/￡0+zZ?￡C=90°

.-.zO￡C=90°,即OEA.CE.

又?！晔?。。的半徑，

.?.直線上與。。相切.…（5分）

AB返

（2）：tan^ACB^^-2,BC=2,

:.AB=BC、tanzACB=Fi,

:.AC=E；

文：乙ACB=4DCE，

返

：.tan/.DCE-tanz-ACB-2,

.'.DE-DGtanADCE-1;

方法一：在RNCDE中,CF=VCD2+DE2=V3,

2

連接。巳設(shè)。。的半徑為「，則在々ACW中，Ca=OP+CP,gp（V6-r）=/2+3

返

解得：々4

方法二:AE=AD-DE=1,過點(diǎn)。作OA<L/E于點(diǎn)〃，貝I」AM=2AE=2

AM12返

在中，G!4=cosZEA0=2^^T...（9分）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；利用勾股定理計(jì)算線段的

長(zhǎng).

7.(2016?黑龍江哈爾濱口0分)已知：08C內(nèi)接于OO,。是上一點(diǎn)，ODLBC,垂足

為H.

(1)如圖1,當(dāng)圓心。在Z8邊上時(shí)，求證：AC=2OH-t

(2)如圖2,當(dāng)圓心。在“SC外部時(shí)，連接AD、CD,與8c交于點(diǎn)巴求證：

乙ACALAPB;

(3)在(2)的條件下，如圖3,連接BD,￡為O。上一點(diǎn)，連接DE交8c于點(diǎn)Q、交

于點(diǎn)N,連接OE,8尸為O。的弦，8Q.OE于點(diǎn)R交DE于點(diǎn)G,若“3

乙ABD=24BDN,/C=5遙,BN=3后,tanzABc],求6尸的

B

【考點(diǎn)】圓的綜合題,

【分析】(1)OaL6C可知點(diǎn)H是8c的中點(diǎn)，又中位線的性質(zhì)可得

(2)由垂徑定理可知：BD=3，所以N8ZO=NC4。，由因?yàn)樗?/p>

AACD=^APB-,

(3)由4ABD=2乙BDN可知乙AND=9b°,由可知M?和8Q的長(zhǎng)

度，再由夕」QF和OD1BC可知乙GBN=zABC,所以BG=BQ,連接，。并延長(zhǎng)交O。

于點(diǎn)I,連接《后利用圓周角定理可求得兀和，/的長(zhǎng)度，設(shè)QH=x,利用勾股定理可求

出Q"和〃。的長(zhǎng)度，利用垂徑定理可求得E。的長(zhǎng)度，最后利用⑵叱?！?。=：制］可求得

/?G的長(zhǎng)度，最后由垂徑定理可求得8尸的長(zhǎng)度.

【解答】解：(1)；OZZL6C,

二由垂徑定理可知：點(diǎn)H是8c的中點(diǎn)，

.點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

.?.OA是“8C的中位線，

:.AC=2OH;

(2)-：ODrBC,

二.由垂徑定理可知：BD=CD，

:.z.BAD=z.CAD,

,.金=同，

:.z.ABC-z.ADC,

.-.180°-/胡。-N/8C=180。-ACAD-AADC,

"ACD=/APB,

(3)連接延長(zhǎng)交于。。于點(diǎn)I,連接IC,Z8與相交于點(diǎn)M.

■：^ACD-乙ABD=2乙BDN,

3AC。-乙BDN=^ABD+乙BDN,

,:乙ABD+乙BDN=^AND,

:.乙ACD-乙BDN=AAND.

■：^ACD+^ABD=13Q°,

:zABD+/BDN=180°-4AND,

.?.N4V0=18O。-乙AND,

；zAND=90。，

'：tanz.ABC=^,BN=3瓜,

.W0竽，

???由勾股定理可求得：8Q=芋,

■：z.BNQ=^QHD=9G°,

:.乙ABC=^QDH.

■：OE=OD,

:.乙OED=乙QDH,

???z￡/?<?=90°,

:.AOED=Z.GBN,

:.乙GBN=4ABC,

,：ABA.ED,

BG=BQ=^,GN=NQ=^^-,

,；//是。。直徑，

:.z.ACI=9Q°,

■:tan乙AIC=tan乙ABC=^,

IC2

.?心10?,

，由勾股定理可求得：AI=2S,

連接。8,

設(shè)QH=x,

tan乙ABC-tan乙ODE=-1-,

型」

"HD-2'

:.HD^2x,

:.OH=OD-HD=^--2x,

BH^BQ+QH=^-+x,

由勾股定理可得:O吐B印+OW

??.（苧產(chǎn)=（錚x）2+（苧-2x）2,

解得：x=J■或弓，

當(dāng)Q〃=,時(shí)，

..QD=、芯QH=^~,

:,ND=QD+NQ=6心

:.MN=3y[s,MD=1S

q

???Q〃二尹符合題意，舍去,

5

當(dāng)Q小弓時(shí)，

:.QD='、[%QH=三舉>

:.ND=NQ+QD=A^>,

由垂徑定理可求得：屹=10、/萬(wàn),

:.GD=GN+ND=

:.EG=ED-GD=2^1

■:tan乙OED=m,

?西」

?京花'

:.EG=Q$RG,

q

；.RG戲,

:.BR=RG+BG=U

..由垂徑定理可知：BF=2BR=2A.

（?。?/p>

8.（2016河北）（本小題滿分10分）

如圖，半圓。的直徑力6=4,以長(zhǎng)為2的弦PQ為直徑，向點(diǎn)。方向作半圓M,其中P點(diǎn)、

在/Q（?。┥锨也慌cZ點(diǎn)重合，但Q點(diǎn)可與6點(diǎn)重合.

發(fā)現(xiàn)ZP（?。┑拈L(zhǎng)與Q8（?。┑拈L(zhǎng)之和為定值/,求/;

思考點(diǎn)M與28的最大距離為此時(shí)點(diǎn)P,力間的距離為;點(diǎn)例與28的

最小距離為此時(shí)半圓例的弧與力8所圍成的封閉圖形面積為.

探究當(dāng)半圓例與28相切時(shí)，求ZP（?。┑拈L(zhǎng).

（注:結(jié)果保留TT,cos35°=^-,cos55°=與）

解析：圖畫好，就好求。最大距離就是0例，當(dāng)。例_L/8時(shí)，利用角和邊的關(guān)系，bAOP

是等邊三角形，點(diǎn)例與26的最小距離，Q與8重合，面積，扇形減三角形。

相切，兩種情況，左邊和右邊，對(duì)稱的，畫好圖，根據(jù)COS35°=F伸55。=工,

33

以及已知角，求所需要的角。

知識(shí)點(diǎn)：圓

.

2