2017年度中考數學試卷匯編圓(帶內容答案)

圓的有關性質

一、選擇題

1.（2016?山東省濱州市?3分）如圖，/8是。。的直徑，C,。是0。上的點，且OC\\BD,

力。分別與BC,OC相交于點E,F,則下列結論：

①，。_LBD;@^AOC=^AEC-③CB平分NAB。;?AF=DF\⑤8p=2。，⑥△CE曲BED,

其中一定成立的是（）

A.②④⑤⑥B.①③⑤⑥C.②③④⑥D.①③④⑤

【考點】圓的綜合題.

【分析】①由直徑所對圓周角是直角，

②由于N/OC是。。的圓心角，N/a是。。的圓內部的角角，

③由平行線得到NOCB=zDBC,再由圓的性質得到結論判斷出NOBC=zDBC;

④用半徑垂直于不是直徑的弦，必平分弦；

⑤用三角形的中位線得到結論；

⑥得不到ACF和△%■。中對應相等的邊，所以不一定全等.

【解答】解：①、X8是O。的直徑,

.2408=90°,

..AD1.BD,

②、是。。的圓心角，N/a是。。的圓內部的角角，

:.z.AOCtz.AEC,

：.z.OCB=z.DBC,

■：OC=OB,

:.z.OCB=z.OBC,

:.z.OBC=z.DBC,

:.CB平分乙ABD,

④、是。。的直徑，

.?.乙4。8=90°,

:.AD1.BD,

■：OC\\BD,

尸0=90°,

???點。為圓心，

:.AF=DF,

⑤、由④有，力尸=。尸，

；點。為中點，

.?Q尸是“8。的中位線，

:.BD^2OF.

⑥?3）尸和A8￡。中,沒有相等的邊，

爾與A6￡。不全等，

故選。

【點評】此題是圓綜合題，主要考查了圓的性質,平行線的性質，角平分線的性質，解本題

的關鍵是熟練掌握圓的唾.

2.（2016?山東省德州市?3分）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中

有下列問題"今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？"其意思是："今有直角三角形，

勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形能容納的圓形（內

切圓）直徑是多少？"（）

A.3步B.5步C.6步D.8步

【考點】三角形的內切圓與內心.

【專題】圓的有關概念及性質.

【分析】根據勾股定理求出直角三角形的斜邊，即可確定出內切圓半徑.

【解答】解：根據勾股定理得：斜邊為必誨=17,

2+1R-17

1P

則該直角三角形能容納的圓形（內切圓）半徑r=-2-=3（步），即直徑為6步，

故選C

【點評】此題考查了三角形的內切圓與內心，Rt^ABC,三邊長為a,b,c（斜邊），其內

切圓半徑々史。.

3.（2016?山東省濟寧市-3分）如圖，在0。中，忘，2/08=40。，貝Ik/OC的度

數是（）

B

A.40°B.30°C,20°D.15°

【考點】圓心角、弧、弦的關系.

【分析】先由圓心角、弧、弦的關系求出〃。仁“。6=50。，再由圓周角定理即可得出結

論.

【解答】解:,.在o。中，標=*￡,

：.z.AOC-z.AOB,

?.2/08=40°,

..""=40°,

:.^ADC=^LAOC=2Q°,

故選C.

4.（2016云南省昆明市4分）如圖，為。。的直徑，28=6,力九弦CD,垂足為G,

E尸切。。于點8,N/=30°,連接4?、OC、6c下列結論不正確的是（）

A.EF\\CDB.A096是等邊三角形

C.CG=DGD.菽的長為日”

【考點】弧長的計算；切線的性質.

【分析】根據切線的性質定理和垂徑定理判斷力；根據等邊三角形的判定定理判斷B;根據

垂徑定理判斷C;利用弧長公式計算出后例長判斷D.

【解答】解：?.，8為0。的直徑，f尸切。。于點8,

：.ABA.EF,又ABlCD.

:.由。，A正確;

■：ABA.^CD,

?■?BC=BD，

.?"08=2/2=60°,又OC=OD,

是等邊三角形，8正確；

弦CD,

：.CG=DG,C正確;

■-1^-I60X">(3ce±t3

BC的長為：——rzz——="，。錯俁，

loU

故選：D.

5.(2016?浙江省湖州市?3分)如圖，圓。是的Z6C的外接圓，N/C8=90°,"=25°,

過點C作圓。的切線，交AB的延長線于點。，則N。的度數是()

【考點】切線的性質；圓周角定理.

【分析】首先連接OC,由N/=25°,可求得N8OC的度數，由。是圓。的切線，可得

0d。，繼而求得答案.

【解答】解：連接OC,

.?圓。是/?加力8c的外接圓，N/C8=90°,

是直徑，

?"=25°,

.?.N8OC=2"=50°,

??,c。是圓。的切線，

:.OCA_CD,

.-.zP=90°-N8OC=40。.

故選B.

6.（2016浙江省紹興市4分）如圖，8。是O。的直徑，點AC在。。上，0=箴,

N/O8=60°,則N6OC的度數是（）

A.60°B,45℃.35°D.30°

【考點】圓周角定理.

【分析】直接根據圓周角定理求解.

【解答】解：連結OC,如圖，

-AB=BC,

.?28。0=1/1。8=當60°=30°.

22

故選D.

7.（2016廣西南寧3分）如圖，點4,B,C,P在。。上，CD^OA,CErOB,垂足

分別為。，&N〃CE=40。，則NP的度數為（）

A.140°B.70℃.60°D.40°

【考點】圓周角定理.

【分析】先根據四邊形內角和定理求出的度數，再由圓周角定理即可得出結論.

【解答】解：?.C2LC4,CErOB,垂足分別為。，E,zZ?C￡=40°,

.?.zP（9F=180o-40°=140°,

二“聶。。￡=70°.

2

故選B.

【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，

都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關鍵.

8.（2016貴州畢節(jié)3分）如圖，點4,6,C在。。上，"=36°,NC=28°,貝上8=（）

A.100°B.72℃.64°D.36°

【考點】圓周角定理.

【分析】連接根據等腰三角形的性質得至IJNO，C=NC=28°,根據等腰三角形的性質解

答即可.

【解答】解：連接OA.

:OA=OC,

:.^OAC=^C=28°,

:20/8=64°,

:OA=OB,

...N8=N36=64°,

9.（2016河北3分）圖示為4x4的網格圖，/,8,C,D,。均在格點上，點。是（）

第9題圖

A.A/Q?的外心B.6c的外心

C.的內心D.”SC的內心

答案：B

解析：點。在外，且到三點距離相等，故為外心。

知識點：外心：三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心。

內心：三角形內心到三角形三條邊的距離相等。（也就是內切圓圓心）

10.（2016?山東濰坊3分）木桿28斜靠在墻壁上，當木桿的上端力沿墻壁/V。豎直下滑

時，木桿的底端8也隨之沿著射線。例方向滑動.下列圖中用虛線畫出木桿中點。隨之下

落的路線，其中正確的是（）

OBMOBMOBMOBM

【考點】軌跡；直角三角形斜邊上的中線.

【分析】先連接OP,易知。戶是/?小/斜邊上的中線，根據直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半，可得OP^AB,由于木桿不管如何滑動,長度都不變，那么。戶就是一個

定值，那么。點就在以。為圓心的圓弧上.

【解答】解：如右圖，

連接OP,由于。。是斜邊上的中線，

所以。吟AB,不管木桿如何滑動，它的長度不變，也就是。戶是一個定值，點P就在以

。為圓心的圓弧上，那么中點P下落的路線是一段弧線.

故選D.

11.（2016?陜西?3分）如圖，。。的半徑為4,△力8c是O。的內接三角形，連接。&

OC.若N班C與N8OC互補，則弦6c的長為（）

A.3bB.4辰.5折.6A/3

【考點】垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形.

【分析】首先過點。作ODX.8c于D,由垂徑定理可得BC=2BD,又由圓周角定理，可求

得N8OC的度數，然后根據等腰三角形的性質，求得NO8C的度數，利用余弦函數，即可

求得答案.

【解答】解：過點。作ODLBC于D,

貝BC=2BD,

,"/6C內接于。。，N82C與/6OC互補，

:.乙BOC=2乙A,N8OC+N4=180°,

.-.z5（9（7=120°,

：OB=OC,

:./LOBC=^OCB=^=3G°,

???。。的半徑為4,

:.BD=OB.cos乙OBC=A^^=2臬,

?收=4曬■

12.(2016?四川眉山?3分)如圖，4。是。。上的兩個點，8c是直徑.若/。=32°,則

AOAC=()

【分析】先根據圓周角定理求出N8及N6ZC的度數，再由等腰三角形的性質求出/。46的

度數，進而可得出結論.

【解答】解：.BC是直徑,zZ?=32°,

...N8=NP=32°,N必回90°.

：OA=OB,

..N8ZO=N6=32°,

：.^OAC=^BAC-zBAO=3Q°-32°=58°.

故選B.

【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等,

都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關鍵.

13.(2016?四川攀枝花)如圖，點。(0,3),0(0,0),C(4,0)在0/上，BD

是。力的T弦，貝Usin乙OBD=()

【考點】銳角三角函數的定義.

【分析】連接CD,可得出NOS仄,根據點Z?(0,3),C(4,0)，得OD=3,

0c=4,由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函數求出夕位。8。即可.

【解答】解：「0(0,3),0(4,0),

.-.(9/7=3,OC=4,

：^COD=90°,

.?.CZ?=732+42=5，

連接C。，如圖所示：

：z.OBD^z.OCD,

：.sinz.OBD-sinz.OCD=^-=-^r.

CD5

故選：D.

y)

【點評】本題考查了圓周角定理，勾股定理、以及銳角三角函數的定義；熟練掌握圓周角定

理是解決問題的關鍵.

14.（2016?黑龍江龍東?3分）若點。是等腰小8C的外心，且N8OG60。，底邊8c=2,

則的面積為（）

A.2+\/5B.華C.2+^2->/3D.4+273^2-73

【考點】三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質.

【分析】根據題意可以畫出相應的圖形，然后根據不同情況，求出相應的邊的長度，從而可

以求出不同情況下的面積，本題得以解決.

【解答】解：由題意可得，如右圖所示，

存在兩種情況，

當"6C為"1歌時，連接08、OC,

:點。是等腰的外心，且/6。。=60。，底邊BC=2,OB=OC,

.”。尤為等邊三角形，OB=OC=BC=2,O4U8C于點。，

-'CD-I,OZ?=^22-12=V3，

_BC?A|D_2X（2-q）=2-b，

S

AA1BC-2-273

當"6U為"28C時，連接OB、OC,

??點。是等腰“跋的外心，且N6。0=60°,底邊BC=2,OB=OC,

.“。8c為等邊三角形，OB=OC=BC=2,O4U6C于點。，

-'-CD-1,<9/7=^22-12=V3>

片及吆=2X⑵正）_2+技

22

由上可得，”8C的面積為2-73H￡2+V3,

故選C.

15.（2016?黑龍江齊齊哈爾-3分）下列命題中，真命題的個數是（）

①同位角相等

②經過一點有且只有一條直線與這條直線平行

③長度相等的弧是等弧

④順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形.

A.ljB.2jC.3jD.4j

【考點】命題與定理.

【分析】根據平行線的性質對①進行判斷；根據平行公理對②進行判斷；根據等弧的定義對

③進行判斷;根據中點四邊的判定方法可判斷順次連接菱形各邊中點得到的四邊形為平行四

邊形，加上菱形的對角線垂直可判斷中點四邊形為矩形.

【解答】解：兩直線平行，同位角相等，所以①錯誤；

經過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，所以②錯誤；

在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，所以③選項錯誤；

順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形，所以④正確.

故選A.

16.（2016?湖北黃石-3分）如圖所示，O。的半徑為13,弦的長度是24,ONrAB,

垂足為/V,則O/V=（）

A.5B.7C.9D.11

【分析】根據。。的半徑為13,弦28的長度是24,0ML28,可以求得Z/V的長，從而

可以求得02的長.

【解答】解：由題意可得，

04=13,N024=90°,46=24,

：.AN=12,

-AN2=7132-122=5，

故選A.

【點評】本題考查垂徑定理，解題的關鍵是明確垂徑定理的內容，利用垂徑定理解答問題.

17.（2016湖北荊州3分）如圖，過O。外一點。引O。的兩條切線PA、PB,切點分別

是48,交。。于點C,點。是優(yōu)弧球上不與點4點。重合的一個動點，連接AD、

CD,若“眸80：貝的度數是（）

A.15°B.20℃.25°D.30°

【分析】根據四邊形的內角和，可得N6C4,根據等弧所對的圓周角相等，根據圓周角定理,

可得答案.

B

【解答】解；如圖",

由四邊形的內角和定理，得

N83=360°-90°-90°-80°=100°,

?AC=BC，得

N/OC=N8OC=50°.

由圓周角定理，得

z/IPC=lz/t?C=25°,

2

故選：C.

【點評】本題考查了切線的性質，切線的性質得出眾=前是解題關鍵，又利用了圓周角定

理.

二、填空題

1.（2016?重慶市4卷4分）如圖，OA,。8是。。的半徑,點C在。。上，連接47,

BC,若N/06=120°,則/?=60度.

【分析】根據圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧

所對的圓心角的一半可得答案.

【解答】解：.OJlOS,

.2/06=120°,

.?.N/D=120°X±=60°,

2

故答案為：60.

【點評】此題主要考查了圓周角定理，關鍵是掌握圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等

弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

2.（2016?廣西百色?3分）如圖，。。的直徑28過弦。的中點E,若NC=25°,則NZ?=_

65。.

【考點】圓周角定理.

【分析】先根據圓周角定理求出NZ的度數，再由垂徑定理求出/力￡。的度數，進而可得出

結論.

【解答】解：-.zC=25°,

.Z=NC=25°.

???。。的直徑力8過弦。的中點E,

：.AB±.CD,

.Z￡Z?=90°,

.20=90。-25°=65°.

故答案為：65°.

3.（2016?貴州安順4分）如圖,28是O。的直徑，弦皿08于點E,若28=8,CD=6,

貝UBE-A于

C'D

B

【分析】連接OC,根據垂徑定理得出CE=ED=CD=3,然后在Rt^OfC中由勾股定理求

出的長度，最后由BE=OB-OE,即可求出命的長度.

【解答】解：如圖，連接OC.

?.?弦于點f,CD=6,

:.CE=ED^2Cl>3.

?.在Rt^OEC中,NO￡C=90°,CE=3,0c=4,

:.OE==V7

:.BE=OB-OE=A-V7.

故答案為4-V7.

【點評】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理等知識，關鍵在于熟練的運用垂徑定理得出

CE、的長度.

4.（2016海南4分）如圖，Z8是。。的直徑，AC.BC是。。的弦，直徑于點

P.若點。在優(yōu)弧ABC上，/8=8,8c=3,則DP=5.5

E

【考點】圓周角定理；垂徑定理.

【分析】解：由和是的直徑，可推出OA=OB=OD=A,NC=90。，又有DELAC.

得到OPWBC,于是有根據相似三角形的性質即可得到結論.

【解答】解：?.Z8和。舊是。。的直徑，

:.OA=OB=OD=4,zC=90°,

5L：DE^.AC,

:.OP\\BC,

iAOPiABC,

OP_AO

,而任，

OP^

即三至，

:.OP=1.5.

:.DP=OP+OP=5.5,

故答案為：5.5.

【點評】本題主要考查了圓周角定理，平行線的判定,相似三角形的判定和性質,熟練掌握

圓周角定理是解決問題的關鍵.

5.（2016?青海西寧2分）O。的半徑為1，弦AB=\歷，弦AC=M，則度數為75。

或15°.

【考點】垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形.

【分析】連接OA,過。作OKL/8于F,OEL/C于尸，根據垂徑定理求出力￡所值，

根據解直角三角形的知識求出N048和NO4U,然后分兩種情況求出N8ZC即可.

【解答】解：有兩種情況：

①如圖1所示：連接OA,過。作0sLz8于E,OFrAC^-F,

：.AOEA=^OFA=9Q°,

由垂徑定理得：AE=BE=^,力尸=67=返，

22

3/04￡=絆=匹，3"/尸=空=返，

0A20A2

:.^OAE=3Q°,NO4G45°,..N8/IC=30°+45°=75°;

②如圖2所示:

連接以，過。作0sLz8于E,OF^AC=^F,

..Ng=Ng=90°,

由垂徑定理得：AE=BE當,AF=CF=^,

cos^OAE=~^-,COSNOZ金牛=返，

0A20A2

:.z.OAE=3Q°,N?F=45°,

:.^BAC=^S°-30°=15°;

故答案為：75。或15°.

1

6.(2016?吉林?3分)如圖，四邊形力8。內接于OO,NZ?/8=130°,連接OC,點P是

半徑OC上任意一點，連接DP.BP,則N8也可能為80度(寫出一個即可).

【考點】圓內接四邊形的性質；圓周角定理.

【分析】連接OB、根據圓內接四邊形的性質求出NOCB的度數，根據圓周角定理求

出的度數，得到NZ?CB<N8.

【解答】解：連接。員OD.

,?四邊形力6。內接于。。，N〃Z8=130°,

.203=180°-130°=50°,

由圓周角定理得，^DOB=2^DCB=100°,

：.^DCB<ABPD<ADOB,即50°<^BPD<100°,

.28也可能為80°,

故答案為：80.

7.(2016?四川瀘州)如圖，在平面直角坐標系中，已知點/(1,0),5(1

-a,0),C(l+a,0)(a>0),點P在以。(4,4)為圓心，1為半徑的

圓上運動，且始終滿足N6PC=90。，則a的最大值是6

【考點】三角形的外接圓與外心.

【分析】首先證明/6=4C=a,根據條件可知PA=AB=AC=a,求出上到

點力的最大距離即可解決問題.

【解答】解：X(1,0),5(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),

..AB=1-(1-a)=a,CA=a+l-l=a,

'AB-AC,

:.PA=AB=AC=a,

如圖延長2。交。。于P,此時21最大，

：A(1,0),。(4,4),

：.AD=5,

二/7=5+1=6,

-a的最大值為6.

故答案為6.

8.(2016?黑龍江龍東-3分)如圖，例/V是。。的直徑，MN=4,N//VW=40。，點8為弧

//V的中點，點P是直徑例/V上的一個動點，則以1+%的最小值為二、屈.

【考點】軸對稱-最短路線問題；圓周角定理.

【分析】過/作關于直線例"的對稱點4連接AB，由軸對稱的性質可知48即為PA+PB

的最小值，由對稱的性質可知菽=亦,再由圓周角定理可求出N/'OAZ的度數，再由勾股

定理即可求解.

【解答】解：過力作關于直線例/V的對稱點,連接/'6,由軸對稱的性質可知46即為

勿+P8的最小值，

連接OB,OA,AA,

??,//'關于直線例/V對稱，

.,愈=廠1，

?"例/V=40°,

；.N4O/V=80°,4BON=AO：

:2408=120°,

過。作OQJL48于Q,

在/?m/'OQ中，。4'=2,

.?./'8=24Q=26，

即以1+戶8的最小值

故答案為：273.

A

三、解答題

1.(2016?四川瀘州)如圖，△/18c內接于。。，8。為0。的直徑，8。與AC

相交于點H,ZC的延長線與過點8的直線相交于點E,Hz/=z￡5C.

(1)求證：6F是。。的切線；

(2)已知CGWEB,且CG與BD、82分別相交于點尸、G,若8G?8/=48,

FG=y[2.DF=2BF,求力”的值.

【考點】圓的綜合題；三角形的外接圓與外心；切線的判定.

【分析】(1)欲證明8F是O。的切線，只要證明/￡8。=90°.

(2)由4/80,4086,得區(qū)=空求出8C,再由尸CSASC。，得BC=BF?BD

BGBC

求出BF,CF.CG.GB,再通過計算發(fā)現CG=AG,進而可以證明CH=CB,

求出ZC即可解決問題.

【解答】(1)證明：連接CD,

,?,8。是直徑，

:.ABCD=9Q°,即NO+NC6O=90°,

'：Z.A-Z.D,Z.A-Z.EBC,

:.乙CBD+乙EBC=90°,

BEA.BD,

???8F是0。切線.

(2)解：:31￡8,

:.乙BCG=^EBC,

:.z.A-z.BCG,

:乙CBG=4ABC

ABCsACBG,

.導嚕，即BO=BG?BA=48,

DbDC

：.BC=4/3,

■：CG\\EB,

CF1.BD,

△BFCsABCD,

:.BC=BF?BD,

■：DF=2BF,

:.BF=4,

在RCBCF中，CF=7BC2-FB2=4、反，

:.CG=CF+FG=5^/2,

在RT^BFG中,BG=VBF2+FG2=3\^2-

???8G?82=48,

?.BA=8揚PAG=5量,

:.CG=AG.

：.^A=^ACG=ABCG,4CFH=^CFB=q0°,

:.乙CHF=z.CBF,

：.CH=CB=AM，

hABCsACBG,

,AC=BC

"CG~'BG'

CG3

:.AH=AC-CH=^^.

3

2.(2016?四川攀枝花)如圖，在A/O8中，N/O6為直角，04=6,08=8,半徑為2

的動圓圓心Q從點。出發(fā)，沿著方向以1個單位長度/秒的速度勻速運動，同時動點P

從點Z出發(fā)，沿著方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運動，設運動時間為f秒(0

<"5)以P為圓心，外長為半徑的。P與AB、OA的另一個交點分別為C。，連結CD、

a.

(1)當？為何值時，點Q與點。重合？

(2)當。Q經過點，時，求OP被。8截得的弦長.

(3)若OP與線段QC只有一個公共點，求子的取值范圍.

B

【考點】圓的綜合題.

【分析】(1)由題意知CDS.OA,所以，利用對應邊的比求出2。的長度，

若Q與。重合時，則，AD+OQ=OA,列出方程即可求出f的值；

(2)由于0＜片5,當Q經過/點時，OQ=4,此時用時為4s,過點。作PE1.OB于點E,

利用垂徑定理即可求出。戶被。8截得的弦長；

(3)若。P與線段QC只有一個公共點，分以下兩種情況，①當QC與。P相切時，計算

出此時的時間；②當Q與。重合時，計算出此時的時間；由以上兩種情況即可得出f的取

值范圍.

【解答】解：(1)..3=6,08=3,

二由勾股定理可求得：28=10,

由題意知：OQ=AP=t,

：.AC=2t,

是。戶的直徑，

.2。/=90。，

：.CD\\OB,

：aACDs&ABO,

.AC_AD

"AB=OA(

.,.74P=-pt，

5

當Q與。重合時，

AD+OQ=OA,

?哈t+片6,

.30.

,r"11’

(2)當0。經過/點時，如圖1,

OQ=OA-QA=4,

4

?小丁=4s,

:.PA=A,

:.BP=AB-PA=6,

過點P作PEI08于點&OP與08相交于點F、G.

連接)，

:.PE\\OA,

:^PEB-^AOB,

.PE_BP

,京辛，

?/￡=￥,

b

由勾股定理可求得：仔三綽9,

由垂徑定理可求知:FG=2EF=皿獸■;

(3)當QC與OP相切時，如圖2,

此時NQC4=90。，

:OQ=AP=t,

；./Q=6-t,AC=2t,

'：z.A=z.A,

AQCA=^ABO,

:.^AQC-^ABO,

,AQ_AC

?,而而，

.6-t_2t

'10'6'

*13'

.?.當0＜仁；|時,OP與QC只有一個交點，

當QCLO4時，

此時Q與。重合，

由（1）可知：七招,

當答〈仁5時，0P與QC只有一個交點，

綜上所述，當，OP與QC只有一個交點，/的取值范圍為：0<”才|或居<華5.

圖2

B

【點評】本題考查圓的綜合問題，涉及圓的切線判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性

質，學生需要根據題意畫出相應的圖形來分析，并且能綜合運用所學知識進行解答.

3.（2016?山東濰坊）正方形內接于。。，如圖所示,在劣弧標上取一點E,連接

DE、BE,過點。作DFWBE交O。于點F,連接BF、AF,且/尸與相交于點G,求證：

（1）四邊形F8尸。是矩形；

【考點】正方形的性質；矩形的判定；圓周角定理.

【分析】（1）直接利用正方形的性質、圓周角定理結合平行線的性質得出

/BED=/BAD=90。，/BFD=/BCD=90。，zEDF=9b°,進而得出答案；

（2）直接利用正方形的性質標的度數是90°,進而得出BE=DF,則BE=DG.

【解答】證明：（1）1.正方形ABCD內接于0O,

"BED=/BAD=9G：8cp=90°,

文：DF\\BE,

：.^EDF+^BED=18Q°,

.?.z￡P￡=90°,

???四邊形￡8尸。是矩形；

(2))?.正方形ABCD內接于。O,

，薪的度數是90°,

.力處45°,

又.NG0G9O°,

:.乙DGF=LDFC=45°,

:.DG=DF,

又?.在矩形EBFD中,BE=DF,

:.BE=DG.

4.(2016?廣西桂林?8分)已知任意三角形的三邊長，如何求三角形面積？

古希臘的幾何學家海倫解決了這個問題，在他的著作《度量論》一書中給出了計算公式--

海倫公式S=[p(p_a)(p-b)(p-C)(其中a，6，。是三角形的三邊長,

。,5為三角形的面積)，并給出了證明

P~2

例如：在“8C中，a=3,b=4,u5,那么它的面積可以這樣計算：

:a=3,。=4,u5

._a+b+c

??尸^-=6

?.S=VP(p-a)(p-b)(p-c)=V6X3X2X1=6

事實上，對于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題，還可用我國南宋時期數學家秦九韶

提出的秦九韶公式等方法解決.

如圖,在6c中,8c=5,AC=6,/8=9

(1)用海倫公式求的面積；

(2)求“6C的內切圓半徑r.

【考點】三角形的內切圓與內心；二次根式的應用.

【分析】(1)先根據BC、ZC的長求出P,再代入到公式S=Vp(p-a)(p-b)(p-c)

即可求得S的值；

(2)根據公式S=lr(ZC+6C+/18),代入可得關于「的方程,解方程得「的值.

【解答】解：(1)-.BC=S,/回6,48=9,

BC+AC4-AB=516+9=w

P22

??.s=VP(P-a)(p-b)(p-c)=V10X5x4X1=10-72；

故△板的面積1072；

(2).5=全(2C+8C+/8),

???IO&=￡,(5+6+9),

解得：r=V2，

故的內切圓半徑々血.

5.(2016?廣西桂林10分)如圖，在四邊形力8。中，Z8=6,BC=8,0=24,AD=26,

N8=90。，以4。為直徑作圓。，過點。作。國48交圓。于點E

(1)證明點C在圓。上；

(2)求為厄4乃的值；

(3)求圓心。到弦的距離.

BA

E-----D

【考點】實數的運算.

【分析】（1）如圖1,連結。.先由勾股定理求出/C=10,再利用勾股定理的逆定理證

明A/。是直角三角形，NC=90°,那么0c為/?力4。斜邊上的中線，根據直角三角形斜

邊上的中線等于斜邊的一半得出。0=,力。=r,即點C在圓。上；

（2汝口圖2延長BC、交于點尸下。=90°根據同角的余角相等得出NCO￡=N，CB在

Rt^ABC中,利用正切函數定義求出tan^ACB=-=-,則tanz.CDE=tan^ACB=-;

844

（3）如圖3，連結Zf,作OGLED于點G,則0GlM￡,且易證"863多。，

根據相似三角形對應邊成比例求出CF=~-,那么BF=BC+CF=/^.再證明四邊形28%

55

是矩形，得出2￡=8/三半，所以OG=^rAE=^.

bN5

【解答】（1）證明：如圖1,連結co.

,.48=6,BC=8,z5=90°,

.?.410.

又..CP=24,AD=26,102+242=262,

???A/O是直角三角形，zC=90°.

,.乂。為。。的直徑，

：.AO=OD,OC為/?仁/。斜邊上的中線，

.-.OC=^AD^r,

.,.點C在圓。上；

(2)解：如圖2,延長6GDE交于點F/BFD=9G.

■：^BFD=90°,

:.ACDE+AFCD=9Q°,

又："8=90°,

:.^ACB+AFCD=2G°,

:.z.CDE=z.AC^>.

在R3ABC中,tan乙ACB=2=￡,

84

3

:.tanz.CDE-tanz.ACB--;

4

(3)解：如圖3,連結〃，作OG_L￡。于點G,則OGIIZF,且OG=4/￡.

^j^ABC-^CFD,

.AB=AC即g=12

CFCD'CF24'

"=今，

□

BF=BC+CF=8.

55

:AB=AF=AAED=9Q°,

四邊形28%是矩形，

.-.AE=BF=—,

5

:.OG=-AE^—,

25

即圓心。到弦的距離為平.

5

BA

6.(2016?貴州安順口2分)如圖，在矩形中，點。在對角線ACY.,以＜24的長為

半徑的圓。與42/C分別交于點￡F,且乙ACB=LDCE.

(1)判斷直線"與。。的位置關系，并證明你的結論；

返

(2)若tan"CB=2,BC=2,求0。的半徑.

【分析】(1)連接。￡.欲證直線CE與O。相切，只需證明NC￡O=90。，即OE±&F即可；

(2)在直角三角形Z史中，根據三角函數的定義可以求得AB=、反,然后根據勾股定理求

得/(；=、幾，同理知。匹=1；

方法一、在RSCOE中,利用勾股定理可以求得Ca=OP+CP,即（A-r）'=戶+3,

從而易得/"的值；

方法二、過點。作。例，/￡于點例，在/?熱力例。中，根據三角函數的定義可以求得/?的

值.

【解答】解：（1）直線％與O。相切.…（1分）

理由如下：

?.四邊形Z8C。是矩形，

:.BC\\AD,z.ACB=z.DAC;

文：乙ACB=4DCE,

:.乙DAC=ADCE;

連接OE,貝此。4c=N/￡O=N/XT;

???zPC￡+zZ?￡C=90°

.1.z/￡0+zZ?￡C=90°

.-.zO￡C=90°,即OEA.CE.

又。￡是。。的半徑，

.?.直線上與。。相切.…（5分）

AB返

（2）：tan^ACB^^-2,BC=2,

:.AB=BC、tanzACB=Fi,

:.AC=E；

文：乙ACB=4DCE，

返

：.tan/.DCE-tanz-ACB-2,

.'.DE-DGtanADCE-1;

方法一：在RNCDE中,CF=VCD2+DE2=V3,

2

連接。巳設。。的半徑為「，則在々ACW中，Ca=OP+CP,gp（V6-r）=/2+3

返

解得：々4

方法二:AE=AD-DE=1,過點。作OA<L/E于點〃，貝I」AM=2AE=2

AM12返

在中，G!4=cosZEA0=2^^T...（9分）

【點評】本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點的半徑；利用勾股定理計算線段的

長.

7.(2016?黑龍江哈爾濱口0分)已知：08C內接于OO,。是上一點，ODLBC,垂足

為H.

(1)如圖1,當圓心。在Z8邊上時，求證：AC=2OH-t

(2)如圖2,當圓心。在“SC外部時，連接AD、CD,與8c交于點巴求證：

乙ACALAPB;

(3)在(2)的條件下，如圖3,連接BD,￡為O。上一點，連接DE交8c于點Q、交

于點N,連接OE,8尸為O。的弦，8Q.OE于點R交DE于點G,若“3

乙ABD=24BDN,/C=5遙,BN=3后,tanzABc],求6尸的

B

【考點】圓的綜合題,

【分析】(1)OaL6C可知點H是8c的中點，又中位線的性質可得

(2)由垂徑定理可知：BD=3，所以N8ZO=NC4。，由因為所以

AACD=^APB-,

(3)由4ABD=2乙BDN可知乙AND=9b°,由可知M?和8Q的長

度，再由夕」QF和OD1BC可知乙GBN=zABC,所以BG=BQ,連接，。并延長交O。

于點I,連接《后利用圓周角定理可求得兀和，/的長度，設QH=x,利用勾股定理可求

出Q"和〃。的長度，利用垂徑定理可求得E。的長度，最后利用⑵叱?！?。=：制］可求得

/?G的長度，最后由垂徑定理可求得8尸的長度.

【解答】解：(1)；OZZL6C,

二由垂徑定理可知：點H是8c的中點，

.點。是的中點，

.?.OA是“8C的中位線，

:.AC=2OH;

(2)-：ODrBC,

二.由垂徑定理可知：BD=CD，

:.z.BAD=z.CAD,

,.金=同，

:.z.ABC-z.ADC,

.-.180°-/胡。-N/8C=180。-ACAD-AADC,

"ACD=/APB,

(3)連接延長交于。。于點I,連接IC,Z8與相交于點M.

■：^ACD-乙ABD=2乙BDN,

3AC。-乙BDN=^ABD+乙BDN,

,:乙ABD+乙BDN=^AND,

:.乙ACD-乙BDN=AAND.

■：^ACD+^ABD=13Q°,

:zABD+/BDN=180°-4AND,

.?.N4V0=18O。-乙AND,

；zAND=90。，

'：tanz.ABC=^,BN=3瓜,

.W0竽，

???由勾股定理可求得：8Q=芋,

■：z.BNQ=^QHD=9G°,

:.乙ABC=^QDH.

■：OE=OD,

:.乙OED=乙QDH,

???z￡/?<?=90°,

:.AOED=Z.GBN,

:.乙GBN=4ABC,

,：ABA.ED,

BG=BQ=^,GN=NQ=^^-,

,；//是。。直徑，

:.z.ACI=9Q°,

■:tan乙AIC=tan乙ABC=^,

IC2

.?心10?,

，由勾股定理可求得：AI=2S,

連接。8,

設QH=x,

tan乙ABC-tan乙ODE=-1-,

型」

"HD-2'

:.HD^2x,

:.OH=OD-HD=^--2x,

BH^BQ+QH=^-+x,

由勾股定理可得:O吐B印+OW

??.（苧產=（錚x）2+（苧-2x）2,

解得：x=J■或弓，

當Q〃=,時，

..QD=、芯QH=^~,

:,ND=QD+NQ=6心

:.MN=3y[s,MD=1S

q

???Q〃二尹符合題意，舍去,

5

當Q小弓時，

:.QD='、[%QH=三舉>

:.ND=NQ+QD=A^>,

由垂徑定理可求得：屹=10、/萬,

:.GD=GN+ND=

:.EG=ED-GD=2^1

■:tan乙OED=m,

?西」

?京花'

:.EG=Q$RG,

q

；.RG戲,

:.BR=RG+BG=U

..由垂徑定理可知：BF=2BR=2A.

（?。?/p>

8.（2016河北）（本小題滿分10分）

如圖，半圓。的直徑力6=4,以長為2的弦PQ為直徑，向點。方向作半圓M,其中P點、

在/Q（?。┥锨也慌cZ點重合，但Q點可與6點重合.

發(fā)現ZP（?。┑拈L與Q8（?。┑拈L之和為定值/,求/;

思考點M與28的最大距離為此時點P,力間的距離為;點例與28的

最小距離為此時半圓例的弧與力8所圍成的封閉圖形面積為.

探究當半圓例與28相切時，求ZP（?。┑拈L.

（注:結果保留TT,cos35°=^-,cos55°=與）

解析：圖畫好，就好求。最大距離就是0例，當。例_L/8時，利用角和邊的關系，bAOP

是等邊三角形，點例與26的最小距離，Q與8重合，面積，扇形減三角形。

相切，兩種情況，左邊和右邊，對稱的，畫好圖，根據COS35°=F伸55。=工,

33

以及已知角，求所需要的角。

知識點：圓

.

2