高級(jí)運(yùn)籌學(xué)課件

層次分析法(AHP)

AHP(AnalyticHierarchyProcess)方法，又稱為層次分析法或多層次權(quán)重解析方法，是20世紀(jì)70年代初期由美國(guó)著名運(yùn)籌學(xué)家、匹茲堡大學(xué)薩蒂(T·L·Saaty)教授首次提出來(lái)的。該方法是定量和定性分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策方法，能夠有效地分析目標(biāo)準(zhǔn)則體系層次間的非序列關(guān)系，有效地綜合測(cè)度決策者的判斷和比較。由于系統(tǒng)、簡(jiǎn)潔、實(shí)用，在社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、管理等許多方面，得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。

**1.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型

首先要把問題條理化、層次化，構(gòu)造出能夠反映系統(tǒng)內(nèi)在聯(lián)系的遞階層次結(jié)構(gòu)模型。將具有共同屬性的元素歸并為一組，作為結(jié)構(gòu)模型的一個(gè)層次。同一層次的元素既對(duì)下一層次元素起著制約作用，同時(shí)又受到上一層次元素的制約。這樣，構(gòu)造了遞階層次結(jié)構(gòu)模型。AHP的層次結(jié)構(gòu)，既可以是序列型的，也可以是非序列型的。一般來(lái)說(shuō)，可以將層次分為三種類型：

①最高層。只包含一個(gè)元素，表示總目標(biāo)層。

②中間層。包含若干層元素，表示實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)所涉及到的各子目標(biāo)，稱目標(biāo)層。

③最低層。表示實(shí)現(xiàn)各決策目標(biāo)的可行方案，稱為方案層。

*1.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型

層次結(jié)構(gòu)中相鄰兩層次元素之間的關(guān)系用直線標(biāo)明，稱為作用線，元素之間不存在關(guān)系，就沒有作用線。如果某一元素與相鄰下一層次所有元素均有關(guān)系，則稱此元素與下一層次存在完全層次關(guān)系；如果某元素僅與相鄰下一層次部分元素存在關(guān)系，則稱為不完全層次關(guān)系。在實(shí)際操作中，模型的層次數(shù)由系統(tǒng)的復(fù)雜程度和決策的實(shí)際需要而定，不宜過(guò)多。每一層次元素一般不要超過(guò)9個(gè)，過(guò)多的元素會(huì)給主觀判斷比較帶來(lái)困難。構(gòu)造一個(gè)合理而簡(jiǎn)潔的層次結(jié)構(gòu)模型，是AHP方法的關(guān)鍵。

G…………C1C2……Cs總目標(biāo)第1層子目標(biāo)第n層子目標(biāo)方案層*1.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型

[例1]構(gòu)建科研課題決策的層次結(jié)構(gòu)模型。決策往往涉及眾多因素：成果貢獻(xiàn)、人才培養(yǎng)、可行性、發(fā)展前景四個(gè)目標(biāo)。和這四個(gè)目標(biāo)相關(guān)的因素又有以下幾個(gè)：

①實(shí)用價(jià)值。研究成果給社會(huì)帶來(lái)的效益，包括經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益。實(shí)用價(jià)值與成果貢獻(xiàn)、人才培養(yǎng)、發(fā)展前景等目標(biāo)都有關(guān)系。

②科技水平。課題在學(xué)術(shù)上的理論價(jià)值以及在同行中的領(lǐng)先水平?？萍妓街苯雨P(guān)系到成果貢獻(xiàn)、人才培養(yǎng)、發(fā)展前景。

③優(yōu)勢(shì)發(fā)揮。課題發(fā)揮本單位學(xué)科及人才優(yōu)勢(shì)程度，體現(xiàn)與同類課題比較的有利因素。與人才培養(yǎng)、課題可行性、發(fā)展前景均有關(guān)系。

④難易程度。指課題本身的難度以及課題組現(xiàn)有人才、設(shè)備條件所決定的成功可能性。與課題可行性、發(fā)展前景相關(guān)聯(lián)。

⑤研究周期。課題研究預(yù)計(jì)所需時(shí)間，與可行性直接相關(guān)。

⑥財(cái)政支持。是指課題的經(jīng)費(fèi)、設(shè)備以及經(jīng)費(fèi)來(lái)源。與課題可行性、發(fā)展前景直接相關(guān)?？蒲姓n題決策，就是綜合上述各種目標(biāo)和因素，確定各個(gè)課題的相對(duì)優(yōu)劣次序，以供優(yōu)選課題和安排科研力量參考。為此，建立科研課題決策的層次結(jié)構(gòu)模型。模型從上到下，分為四個(gè)層次，層次之司的關(guān)聯(lián)情況均以作用線標(biāo)明。

*1.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型

綜合評(píng)價(jià)科研課題A課題1……成果貢獻(xiàn)B1人才培養(yǎng)B2可行性B3發(fā)展前景B4實(shí)用價(jià)值C1科技水平C2優(yōu)勢(shì)發(fā)揮C3難易程度C4研究周期C5財(cái)政支持C6經(jīng)濟(jì)效益C11社會(huì)效益C12課題N*1.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特征向量

AHP方法采用優(yōu)先權(quán)重作為區(qū)分方案優(yōu)劣程度的指標(biāo)。優(yōu)先權(quán)重是一種相對(duì)度量數(shù)，表示方案相對(duì)優(yōu)劣的程度，其數(shù)值介于0和

1之間。在給定的決策準(zhǔn)則之下，數(shù)值越大，方案越優(yōu)，反之越劣。方案層各方案關(guān)于目標(biāo)準(zhǔn)則體系整體的優(yōu)先權(quán)重，是通過(guò)遞階層次從上到下逐層計(jì)算得到。這個(gè)過(guò)程稱為遞階層次權(quán)重解析過(guò)程。

[例2]設(shè)有3個(gè)物體，它們的重量分別為g1，g2，g3。為了測(cè)出各物體的重量，現(xiàn)將每一物體與其它物體重量?jī)蓛杀容^：第i個(gè)物體重量與其它物體重量相比較，得到3個(gè)重量比值gi/g1

，gi/g2，gi/g3

(i=1,2,3)。構(gòu)成一個(gè)3行3列的矩陣A，稱為3個(gè)物體重量的判斷矩陣。

*1.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特征向量

設(shè)3個(gè)物體重量組成的向量為

根據(jù)線性代數(shù)知識(shí)，3是矩陣A的最大特征值，G是矩陣A屬于特征值3的特征向量。因此，物體測(cè)重問題就轉(zhuǎn)化為求判斷矩陣的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量，3個(gè)物體的重量，就是判斷矩陣最大特征值3的特征向量的各個(gè)分量。*1.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特征向量

判斷矩陣

產(chǎn)生問題：根據(jù)決策者主觀判斷所構(gòu)造的判斷矩陣的最大特征值是否存在，是否為單根?

元素aij＞0（稱為正矩陣），i,j=1,2,3，并且滿足下列三個(gè)條件：

標(biāo)度定

義含

義1同樣重要兩元素對(duì)某準(zhǔn)則同樣重要3稍微重要兩元素對(duì)某準(zhǔn)則，一元素比另一元素稍微重要5明顯重要兩元素對(duì)某準(zhǔn)則，一元素比另一元素明顯重要7強(qiáng)烈重要兩元素對(duì)某準(zhǔn)則，一元素比另一元素強(qiáng)烈重要9極端重要兩元素對(duì)某準(zhǔn)則，一元素比另一元素極端重要2,4,6,8相鄰標(biāo)度中值表示相鄰兩標(biāo)度之間折衷時(shí)的標(biāo)度上列標(biāo)度倒數(shù)反比較元素i對(duì)元素j的標(biāo)度為aij，反之為l/aij*1.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特征向量

實(shí)際中，判斷矩陣的構(gòu)造采用Saaty引用的1-9標(biāo)度方法，各級(jí)標(biāo)度含義如下表。

1-9標(biāo)度法則符合人的認(rèn)識(shí)規(guī)律，有一定科學(xué)依據(jù)。從人的直覺判斷能力看，在區(qū)分事物數(shù)量差別時(shí)，習(xí)慣使用相同、較強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、極端強(qiáng)等判斷語(yǔ)言。根據(jù)心理學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，多數(shù)人對(duì)不同事物在相同準(zhǔn)則上的差異，其分辨能力介于5-9級(jí)之間，1-9標(biāo)度反映了多數(shù)人的判斷能力。Saaty將l-9標(biāo)度方法和其它標(biāo)度方法進(jìn)行對(duì)比，大量模擬實(shí)驗(yàn)證明，1-9標(biāo)度是可行的，與其它標(biāo)度方法比較，能更有效地將思維判斷數(shù)量化。

CrAlA2A3Ala11a12a13A2a21a22a23A3a31a32a33*1.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特征向量

[例3]設(shè)有3個(gè)元素A1，A2，A3，現(xiàn)在構(gòu)造關(guān)于準(zhǔn)則Cr的判斷矩陣

*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性

定義1:設(shè)如果滿足下列二個(gè)條件：則稱A

為互反矩陣。

定義2:設(shè)如果滿足下列三個(gè)條件：則稱A

為一致性矩陣。*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性

定理1(Perron):設(shè)則：①A

有最大的正特征值

max，并且

max是單根，其余特征值的模均小于

max

定理2:設(shè)A

是互反矩陣。②A

的屬于

max的特征向量X＞0

①若

max是A

的最大特征值，則

max≥m

②若

1,

2,…,

m

是A的特征值，則③A是一致性矩陣的充分必要條件是

max=m

*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性定理2:設(shè)A

是一致性矩陣，則：①一致性正矩陣是互反正矩陣；

②A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致性矩陣；③A的每一行均為任意指定一行的正數(shù)倍數(shù)；④A的最大特征值

max=m，其余特征值均為0

；⑤若A的屬于

max的特征向量為

產(chǎn)生問題：根據(jù)決策者主觀判斷所構(gòu)造的判斷矩陣具有互反性，但是不一定具有一致性，即不一定滿足*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性

盡管判斷矩陣不具有完全的一致性，仍希望它的最大特征值

max略大于階數(shù)m，其余特征值接近于零，稱之為滿意的一致性。這樣，計(jì)算出的層次單排序結(jié)果才是合理的。因此，必須對(duì)判斷矩陣的一致性進(jìn)行檢驗(yàn)，使之達(dá)到滿意的一致性標(biāo)準(zhǔn)。

設(shè)判斷矩陣A的全部特征值為：

1=

max，

2，

，

m

由于A是互反矩陣，aii=1，(i=1，2，

，m)。由矩陣?yán)碚撚?/p>

為達(dá)到滿意一致性，除了

max之外，其余特征值盡量接近于零。取作為檢驗(yàn)判斷矩陣一致性指標(biāo)。

階數(shù)12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41階數(shù)9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性C.I越大，偏離一致性越大。反之，偏離一致性越小。判斷矩陣的階數(shù)m越大，判斷的主觀因素造成的偏差越大，偏離一致性也就越大，反之，偏離一致性越小。當(dāng)階數(shù)m≤2時(shí)，C.I=0，判斷矩陣具有完全一致性。因此，必須引入平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I，隨判斷矩陣的階數(shù)而變化，如下表。這些R.I值是用隨機(jī)方法構(gòu)造判斷矩陣，經(jīng)過(guò)500次以上的重復(fù)計(jì)算，求出一致性指標(biāo)，并加以平均而得到的。

一致性指標(biāo)C.I與同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I的比較值，稱為一致性比率*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性用一致性比率C.R檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性，當(dāng)C.R越小時(shí)，判斷矩陣的一致性越好。一般認(rèn)為，當(dāng)C.R≤0.1時(shí)，判斷矩陣符合一致性標(biāo)準(zhǔn)，層次單排序的結(jié)果是可以接受的。否則，需要修正判斷矩陣，直到檢驗(yàn)通過(guò)。判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)步驟是：

第一步：求出一致性指標(biāo)

第二步：查表得到平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I

第三步：計(jì)算一致性比率

當(dāng)C.R≤0.1時(shí)，接受判斷矩陣，否則，修改判斷矩陣

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解判斷矩陣A=(aij)m×m是決策者主觀判斷的描述，求解判斷矩陣并不要求過(guò)高的精度。有根法、和法及冪法，冪法適于在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算。

（1）根法

第一步：計(jì)算A的每一行元素之積Mi

第二步：計(jì)算Mi的m次方根ai

第三步：對(duì)向量a=(a1,a2,…,am)T作歸一化處理，

得到最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量W=(w1,w2,…,wm)T

第四步：求A的最大特征值

max*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（1）根法取算述平均值：

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（1）根法[例3]求解下列判斷矩陣的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（1）根法

進(jìn)行一致性檢驗(yàn)：

所以，判斷矩陣A滿足一致性檢驗(yàn)。

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解（2）和法

第一步：判斷矩陣A的元素按列作歸一化處理得到矩陣Q

第二步：將矩陣Q的元素按行相加，得到向量a

第三步：對(duì)向量a=(a1,a2,…,am)T作歸一化處理，

得到最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量W=(w1,w2,…,wm)T

第四步：求A的最大特征值

max*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法取算述平均值：

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法[例3]求解下列判斷矩陣的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法

進(jìn)行一致性檢驗(yàn)：

所以，判斷矩陣A滿足一致性檢驗(yàn)。

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解（3）冪法：逐步迭代方法，容易編程計(jì)算

第一步：k=0，任取初始正向量

第二步：k=1，迭代計(jì)算定理：設(shè)則，其中E=(1,1,…,1)T，C為常數(shù)

第k+1步：迭代計(jì)算（k=0,1,2,3,…）*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解（3）冪法：逐步迭代方法，容易編程計(jì)算

第三步：精度檢查，當(dāng)|mk+1-mk|<

，轉(zhuǎn)入第四步；否則令k=k+1，轉(zhuǎn)入第二步

第四步：求最大特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量

kX(k)Y(k)011111118.00008.50001.34290.941210.158023.73122.57660.489110.69060.131133.03672.10830.429810.69430.141543.09612.18480.440610.70570.142353.12292.20180.443110.70500.141963.11952.19830.442610.70470.141973.11892.19800.442610.70470.141983.11892.19800.442610.70470.1419*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（3）冪法[例3]求解下列判斷矩陣的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。精度=0.0001

解：任取初始正向量

當(dāng)k=7時(shí)，|m8－m7|=|3.1189－3.1189|=0＜0.0001，迭代終止。得到

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（3）冪法

進(jìn)行一致性檢驗(yàn)：

所以，判斷矩陣A不滿足一致性檢驗(yàn)。

*1.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程

一、遞階權(quán)重解析公式G…………C1C2……Cs總目標(biāo)第1層子目標(biāo)第2層子目標(biāo)方案層……第n層子目標(biāo)┆*1.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程

一、遞階權(quán)重解析公式第一層n1個(gè)子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重向量（第一層子目標(biāo)判斷矩陣最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量）第二層n2個(gè)子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重向量

第二層n2個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第一層第1個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量第二層n2個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第一層第2個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量第二層n2個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第一層第n1個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量*1.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程

一、遞階權(quán)重解析公式第三層n3個(gè)子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重向量

第三層n3個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第二層第1個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量第三層n3個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第二層第2個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量第三層n3個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第二層第n2個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量*1.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程

一、遞階權(quán)重解析公式第n層nn個(gè)子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重向量

第n層nn個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第n-1層第1個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量第n層nn個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第n-1層第2個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量第n層nn個(gè)子目標(biāo)關(guān)于第n-1層第nn-1個(gè)元素優(yōu)先權(quán)重向量*1.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程

二、AHP方法的基本步驟①建立層次結(jié)構(gòu)模型：對(duì)決策對(duì)象調(diào)查研究，將目標(biāo)體系所包含的因素劃分為不同層次。

②構(gòu)造判斷矩陣：按照層次結(jié)構(gòu)模型，從上到下逐層構(gòu)造判斷矩陣。每一層元素都以相鄰上一層次各元素為準(zhǔn)則，按1-9標(biāo)度方法兩兩比較構(gòu)造判斷矩陣。也可以用其他改進(jìn)的標(biāo)度方法構(gòu)造。③層次單排序及一致性檢驗(yàn)：求解判斷矩陣最大特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量，經(jīng)過(guò)歸一化處理，即得層次單排序權(quán)重向量。層次單排序要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)不合格的要修正判斷矩陣，直到符合滿意的一致性標(biāo)準(zhǔn)。

④層次總排序。層次總排序是從上到下逐層進(jìn)行的。在實(shí)際計(jì)算中，一般按表格形式計(jì)算較為簡(jiǎn)便。*1.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程

[例4]某市中心有一座商場(chǎng)，由于街道狹窄，人員車輛流量過(guò)大，經(jīng)常造成交通堵塞。市政府決定解決這個(gè)問題，經(jīng)過(guò)有關(guān)專家會(huì)商研究制定出三個(gè)可行方案：

c1：在商場(chǎng)附近修建一座環(huán)形天橋；

c2：在商場(chǎng)附近修建地下人行通道；

c3：搬遷商場(chǎng)。決策的總目標(biāo)是改善市中心交通環(huán)境。根據(jù)當(dāng)?shù)氐木唧w條件和有關(guān)情況,專家組擬定五個(gè)目標(biāo)作為對(duì)可行方案的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則：

b1：通車能力；

b2：方便群眾；

b3：基建費(fèi)用不宜過(guò)高；

b4：交通安全；

b5：市容美觀。試對(duì)該市改善市中心交通環(huán)境問題作出決策分析。

*1.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程

[解]用AHP方法對(duì)此問題作出決策分析

(1)構(gòu)建層次結(jié)構(gòu)模型

改善交通環(huán)境A總目標(biāo)準(zhǔn)則層方案層通車能力B1方便群眾B2基建費(fèi)用B3交通安全B4市容美觀B5天橋C1地道C2搬遷C3*(2)層次單排序及其一致性檢驗(yàn)①第一層：對(duì)于總目標(biāo)A，準(zhǔn)則層各準(zhǔn)則構(gòu)造判斷矩陣A(1)，求解最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。最大特征值特征向量(權(quán)重)所以，判斷矩陣A(1)滿足一致性檢驗(yàn)。

*(2)層次單排序及其一致性檢驗(yàn)②第二層：對(duì)于各準(zhǔn)則B1、B2、B3，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。最大特征值特征向量所以，判斷矩陣A1(2)滿足一致性檢驗(yàn)。

●對(duì)于準(zhǔn)則B1(通車能力)：*(2)層次單排序及其一致性檢驗(yàn)②第二層：對(duì)于各準(zhǔn)則B1、B2、B3，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。最大特征值特征向量所以，判斷矩陣A2(2)滿足一致性檢驗(yàn)。

●對(duì)于準(zhǔn)則B2(方便群眾)：*(2)層次單排序及其一致性檢驗(yàn)②第二層：對(duì)于各準(zhǔn)則B1、B2、B3，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。最大特征值特征向量所以，判斷矩陣A3(2)滿足一致性檢驗(yàn)。

●對(duì)于準(zhǔn)則B3(基建費(fèi)用)：*(2)層次單排序及其一致性檢驗(yàn)②第二層：對(duì)于各準(zhǔn)則B1、B2、B3，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。最大特征值特征向量所以，判斷矩陣A4(2)滿足一致性檢驗(yàn)。

●對(duì)于準(zhǔn)則B4(交通安全)：*(2)層次單排序及其一致性檢驗(yàn)②第二層：對(duì)于各準(zhǔn)則B1、B2、B3，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。最大特征值特征向量所以，判斷矩陣A5(2)滿足一致性檢驗(yàn)。

●對(duì)于準(zhǔn)則B5(市容美觀)：*(2)層次單排序及其一致性檢驗(yàn)●第二層權(quán)重向量（此時(shí)為層次總排序）這說(shuō)明三個(gè)可行方案的排序結(jié)果是C1＞C2＞C3，即是修建天橋是最滿意方案，其次是修建地下人行通道，最次是搬遷商場(chǎng)。

*習(xí)題一

1、某單位需要建立一個(gè)蓄水池，有南區(qū)方案和北區(qū)方案，按照投資合理、效益顯著、運(yùn)行可靠、管理方便的原則選擇最優(yōu)方案，各項(xiàng)比較準(zhǔn)則所需的相關(guān)資料如下，試用確定最佳方案。

目標(biāo)方案A工程投資B1工程效益B2施工條件B3開挖量C11地基條件C12施工條件C12進(jìn)水C21管理?xiàng)l件C22影響環(huán)境C23蓄水量C24施工條件C31南區(qū)方案D1北區(qū)方案D2*判斷矩陣：

模糊集合2.0引論一、模糊集合產(chǎn)生的原因

1、現(xiàn)實(shí)世界中存在大量的模糊現(xiàn)象和模糊概念。如“青年人”、“高個(gè)子”等。

2、研究模糊性具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。如“做化學(xué)實(shí)驗(yàn)”、“炒萊”等。

3、信息科學(xué)和人工智能的發(fā)展促進(jìn)了模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。如“電視圖像的調(diào)節(jié)”等。人腦思維活動(dòng)的特點(diǎn)之一：就是能對(duì)模糊事物進(jìn)行識(shí)別和判斷。如：要找一個(gè)人，只知道他是“高個(gè)子，大胡子”，無(wú)須知道他的身高究竟具體是多少米，以及臉上有多少根胡子、平均有多粗。二、模糊性與隨機(jī)性的區(qū)別

1、模糊性：事物的概念本身是模糊的。即事物是否符合給出的概念不明確。

2、隨機(jī)性：事物的概念本身是明確的，只是發(fā)生的條件不充分，使條件與事物的發(fā)生無(wú)因果關(guān)系，從而事物的發(fā)生與否表現(xiàn)出不確定性，但有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。三、起源

1965年，(美)著名控制論教授扎德(L.A.Zadeh)發(fā)表論文“模糊數(shù)學(xué)(fuzzy)”。

給定量研究客觀世界中的模糊性開辟了新途徑。*2.1模糊集合的定義

一、普通集合論知識(shí)：確定概念→普通集合→特征函數(shù)

1、集合的概念：符合某個(gè)確定概念的對(duì)象的全體。常用字母A、B、C

等表示。因此，確定概念可用集合來(lái)表示，集合是確定概念的外延。

2、論域：某議題范圍內(nèi)被討論的全部對(duì)象。常用字母U、V、X、Y

等表示。論域中的每個(gè)對(duì)象叫元素。常用字母a、b、c、d

等表示。如：{中南大學(xué)的學(xué)生}就可以成為一個(gè)論域。

⑴有限論域：元素個(gè)數(shù)為有限個(gè)或可列個(gè)的論域。

⑵無(wú)限論域：元素個(gè)數(shù)為無(wú)限個(gè)的論域。

3、論域中的子集：論域U中某一部分元素組成的全體叫論域U中的一個(gè)集合。

用A、B、

等表示。如論域U={中南大學(xué)的學(xué)生}，則A={中南大學(xué)的男學(xué)生}就是論域U中的一個(gè)集合。二、模糊子集的定義：模糊概念→模糊集合→隸屬函數(shù)給定論域

U，稱A是論域

U上的模糊子集(記為?)：如果對(duì)x∈U，都有一個(gè)確定的數(shù)

A(x)∈[0,1]與之對(duì)應(yīng)。此時(shí)，映射

A(x)：U[0,1]x

A(x)

A(x)稱為

A的隸屬函數(shù)；數(shù)

A(x)稱為論域U中的元素x對(duì)模糊子集A的隸屬度，表示x屬于A的程度。

特例：當(dāng)

A(x)=0、1時(shí)，模糊子集?蛻化為普通集合A；

?的隸屬函數(shù)

A(x)蛻化為A特征函數(shù)CA(x)，即

*

例2-1組成一個(gè)100人的評(píng)比小組，對(duì)五種商品X1,X2,X3,X4,X5進(jìn)行評(píng)比。結(jié)果是：認(rèn)為商品X1“質(zhì)量好”的有81人，占81%=0.81；認(rèn)為商品X2“質(zhì)量好”的有53人，占53%=0.53；認(rèn)為商品X3“質(zhì)量好”的有100人，占100%=1；認(rèn)為商品X4“質(zhì)量好”的有0人，占0%=0；認(rèn)為商品X5“質(zhì)量好”的有24人，占24%=0.24。對(duì)論域U={X1,X2,X3,X4,X5}(有限論域)中的每一個(gè)元素均規(guī)定了一個(gè)隸屬度：

X1→0.81，X2→0.53，X3→0.1，X4→0

，X5→0.24

它們確定了U中的一個(gè)模糊子集A，表示商品“質(zhì)量好”這一模糊概念。

*

例2-2考查某商店商品銷售利潤(rùn)的經(jīng)濟(jì)效益論域U=[0，k](無(wú)限論域)表示該商品銷售利潤(rùn)額的范圍，則表示商品銷售利潤(rùn)的“經(jīng)濟(jì)效益好”這一模糊概念的模糊子集?，用以下隸屬函數(shù)表示：

其中，n為同期商品銷售額，m為銷售利潤(rùn)效益最好時(shí)刻的利潤(rùn)率。

*

例2-3取年齡為論域U=[0,100]，給出兩個(gè)模糊概念“年輕”和“年老”，表示它們的兩模糊子集記為Y與O，其隸屬函數(shù)定義為：

0150

100x0125

100x

若你的年齡x=30歲，則

2.2模糊子集的運(yùn)算：?仍記為

A(除非特別申明)

1.關(guān)系運(yùn)算：對(duì)論域U

⑴模糊空集

：對(duì)xU，均有

(x)=0⑵模糊全集E：對(duì)xU，均有

E(x)=1⑶模糊冪集(U)：U中的全體模糊子集(含普通子集)構(gòu)成的普通集合(其元素是模糊子集)。

⑷A=B：對(duì)xU，均有

A(x)=B(x)⑸A

B：對(duì)xU，均有

A(x)≤B(x)

2.并、交、余運(yùn)算：對(duì)論域U

⑴并(A∪B)：設(shè)A,B(U),對(duì)xU，則A∪B是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集

A∪B(x)=Max{A(x),B(x)}=A(x)∨

B(x）

⑵交(A∩B)：設(shè)A,B(U),對(duì)xU，則A∩B是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集

A∩B(x)=Min{A(x),B(x)}=A(x)∧

B(x）

⑶余(Ac)：設(shè)A(U),對(duì)xU，則Ac是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集

Ac(x)=1-A(x)

例2-4商品論域U={X1,X2,X3,X4,X5}，表示“商品質(zhì)量好”這個(gè)模糊概念的模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，“商品質(zhì)量差”這個(gè)模糊概念的模糊子集為：B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。則：①表示“商品質(zhì)量或好或差”這個(gè)模糊概念的模糊子集為：

A∪B={0.81∨0.05,0.53∨0.21,1∨0,0∨0.36,0.24∨0.57}={0.81,0.53,1,0.36,0.57}；

②表示“商品質(zhì)量又好又差”這個(gè)模糊概念的模糊子集為：

A∩B={0.81∧0.05,0.53∧0.21,1∧0,0∧0.36,0.24∧0.57}={0.05,0.21,0,0,0.24}；

③表示“商品質(zhì)量不好”這個(gè)模糊概念的模糊子集為：

Ac={1-0.81,1-0.53,1-1,1-0,1-0.24}={0.19,0.47,0,1,0.76}；**例2-5年齡論域U=[0,100]，給出兩個(gè)模糊概念“年輕”和“年老”,對(duì)應(yīng)的模糊子集Y與O,隸屬函數(shù)為

0150

100x0125

100x

則：表示“又老又年輕”這個(gè)模糊概念的模糊子集為O∪Y：隸屬函數(shù)為

0125

100x

50x*

3.運(yùn)算性質(zhì)：

⑴對(duì)偶律：(

A∪B)c=Ac∩

Bc；(

A∩B)c=Ac∪

Bc⑵冪等律：A∪A=A；A∩A=A⑶交換律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A⑷結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

⑸分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)⑹吸收律：(A∪B)∩A=A；(A∩B)∪A=A⑺兩極律：A∪=A；A∩=

；A∪E=E；A∩E=A⑻還原律：(

Ac)c=A

⑼不滿足互補(bǔ)律：A∪Ac≠E，

A∩Ac≠

⑽偽補(bǔ)律：

A∪Ac(x)=A(x)∨Ac(x)≥?

；

A∩Ac(x)=A(x)∧Ac(x)≤?

例2-6設(shè)有模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}

則：A∪Ac={0.81,0.53,1,1,0.76}≠E，并且其隸屬度均大于1/2A∩Ac={0.19,0.47,0,0,0.24}≠

，并且其隸屬度均小于1/2

*

4.幾種常用的模糊算子：須同時(shí)滿足對(duì)偶律、交換律、結(jié)合律、兩極律

⑴普通實(shí)數(shù)乘法

與最大∨算子M(

,∨)：

A∪B(x)=A(x)∨B(x)；

A∩B(x)=A(x)

B(x)⑵普通實(shí)數(shù)乘法

與有界和⊙算子M(

,⊙)：

A∪B(x)=A(x)⊙B(x)；

A∩B(x)=A(x)

B(x)

其中有界和⊙：對(duì)a,b[0,1],有a⊙b=min{a+b,1}⑶普通實(shí)數(shù)乘法

與概率和△算子M(

,△)：

A∪B(x)=A(x)△B(x)；

A∩B(x)=A(x)

B(x)

其中概率和△：對(duì)a,b[0,1],有a△b=a+b–a·b⑷有界積☆與有界和⊙算子M(☆,⊙)：

A∪B(x)=A(x)⊙B(x)；

A∩B(x)=A(x)☆

B(x)

其中有界積☆：對(duì)a,b[0,1],有a☆b=max{0,a+b–1}

例2-7設(shè)有模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，

B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。采用算子M(☆,⊙)，得：則：A∪B={0.81⊙0.05，0.53⊙0.21，1⊙0，0⊙0.36，0.24⊙0.57}={0.86，0.74，1，0.36，0.81}A∩B={0.81☆0.05，0.53☆0.21，1☆0，0☆0.36，0.24☆0.57}={0，0，0，0，0}

*2.4模糊集合與普通集合的關(guān)系：模糊集合是普通集合的推廣

1.模糊子集A的

水平截集A

給定模糊子集A(U)，對(duì)[0,1]，稱普通集合A

={x|xU,且

A(x)≥}為模糊子集A的

水平截集。

即：A

由U中哪些隸屬度大于或等于

的元素組成，其特征函數(shù)為：*1

，

0

，

A(x)xoA

U1

例2-8五種商品{X1,X2,X3,X4,X5}，“質(zhì)量好”的模糊子集A=(0.81，0.53，1，0

，0.24)，進(jìn)一步研究：有50%以上的人認(rèn)為“質(zhì)量好”，稱為“合格”，則“合格”商品的集合為

A0.5={X1,X2,X3}，=0.5

有80%以上的人認(rèn)為“質(zhì)量好”，稱為“優(yōu)良”，則“優(yōu)良”商品的集合為

A0.8={X1,X3}，=0.8

A0.5與A0.8

均是A按一定水平

確定的普通子集(截集)。

2.水平截集A

的性質(zhì)

①(A∪B)

=A

∪B

；

②

(

A∩B)

=A

∩B

；

③設(shè)

1,2[0,1]，且

1≤2，則A1

A2

*3.模糊子集A的核A1、支撐架SuppA、邊界SuppA-A1①A的核

A1={x|A(x)≥1}；

②A的支撐架SuppA

={x|A(x)＞0}

；

③A的邊界SuppA-A1={x|0＜

A(x)＜1};④A0={x|A(x)≥0}=U

例2-9五種商品論域U={X1,X2,X3,X4,X5}，模糊子集A=(0.81，0.53，1，0

，0.24)，則

A的核

A1={X3}；

A的支撐架SuppA

={X1,X2,X3,X5}；

A的邊界SuppA-A1={X1,X2,X5};A0={X1,X2,X3,X4,X5}=U

A(x)xoA114.由A

生成的模糊子集設(shè)A(X)，其

水平截集為A

，*

，

0

，

1，

0，

分解定理：

或用隸屬函數(shù)

結(jié)論：任何模糊數(shù)學(xué)問題，均可通過(guò)分解定理用經(jīng)典集合論方法處理；從概念上講，模糊數(shù)學(xué)是經(jīng)典數(shù)學(xué)的推廣和發(fā)展；

A(x)xoA

U12.5實(shí)數(shù)域上的模糊集

論域X=R=(-∞,+∞)上的模糊子集A的隸屬函數(shù)稱為模糊分布。

1.戒上型：

*1

，x＜a

0

，x≥a

①降半矩形分布

②降半

分布

,x＞a

1,x≤a

，其中k＞0

③降半正態(tài)分布

,x＞a

1,x≤a

④降半柯西分布

,x＞a

1,x≤a

,其中k,

＞0

⑤降半梯形分布

0,x≥a1

1,x＜a2

,a2＜x≤a1

2.戒下型：

*0

，x≤a

1

，x＞a

①升半矩形分布

②升半

分布

0,x≤a

,x＞a

，其中k＞0

③升半正態(tài)分布

0,x≤a

,x＞a

④升半柯西分布

0,x≤a

,x＞a

,其中k,

＞0

⑤升半梯形分布

0,x≤a1

1,x＞a2

,a1＜x≤a2

3.對(duì)稱型：

*①矩形分布

②尖

分布

③正態(tài)分布

④柯西分布

⑤梯形分布

0

，x≤a-b

1

，a-b＜x≤a+b

0

，x＞a+b

,x≤a

,x＞a

，其中k＞0

0,x≤a-a2

,a-a2＜x≤a-a11,a-a1＜x≤a+a1

,a+a1＜x≤a+a2

0,x＞a+a2

由擴(kuò)張?jiān)碛?/p>

*

解：U={0,2,4,6,8,10}，V={a,b,c,d}

a

，x=0,2,4b

，x=6,8

c

，x=10

模糊關(guān)系

3.1模糊關(guān)系的定義

從普通集合A到普通集合B的一個(gè)模糊關(guān)系R是指：以笛卡爾積

A×B={(a,b)|a∈A，b∈B}為論域的一個(gè)模糊子集

R，

記作R：AB，或R∈(A×B)

其隸屬函數(shù)為

R(a,b)，稱為(a,b)具有模糊關(guān)系R的程度。

R：A×B[0,1](a,b)A(a,b)

若A=B

，則稱

R：A×A[0,1](a1,a2)A(a1,a2)

為A上的模糊關(guān)系。

例3-1設(shè)A={質(zhì)量好,質(zhì)量一般,質(zhì)量差}，B={價(jià)格高,價(jià)格中等,價(jià)格低}是兩個(gè)普通集合，則表示“質(zhì)價(jià)相符”這個(gè)模糊關(guān)系R，就是笛卡爾積A×B上的一個(gè)模糊子集，其隸屬函數(shù)為：

*R價(jià)格高價(jià)格中等價(jià)格低質(zhì)量好10.70質(zhì)量一般0.810.5質(zhì)量差00.61

例3-3設(shè)X，Y為兩個(gè)坐標(biāo)軸，則表示“x遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y”這個(gè)模糊關(guān)系R，就是笛卡爾積X×Y上的一個(gè)模糊子集，其隸屬函數(shù)為：

*0,x≤y

,x＞y

若取x=101，y=1，則x遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y的程度是：

例3-2設(shè)A={直線,園,橢圓,雙曲線,拋物線}，則表示這五種幾何圖形“相似關(guān)系”R，就是笛卡爾積A×A上的一個(gè)模糊子集，其隸屬函數(shù)為：

R直線園橢圓雙曲線拋物線直線100.10.20.3園010.90.50.4橢圓0.10.910.70.6雙曲線0.20.50.710.8拋物線0.30.40.60.81

3.2模糊矩陣一、概念

當(dāng)論域A、B為有限集時(shí)，模糊關(guān)系R可用矩陣表示，記為R=(rij),0≤rij≤1，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

例如:“質(zhì)價(jià)相符”這個(gè)模糊關(guān)系的模糊矩陣為：*

五種幾何圖形“相似”這個(gè)模糊關(guān)系的模糊矩陣為：

特例：當(dāng)隸屬度為0和1時(shí)，模糊矩陣變?yōu)槠胀ň仃?。?

二、幾種特殊的模糊矩陣：

①表示A×B上的“零關(guān)系”的零矩陣O：

*(a,b)A×B，

o(a,b)=0。即A與B中任意元素之間具有關(guān)系O的程度為0。

②表示A×A上的“恒等關(guān)系”的恒等矩陣I：

(a,b)A×A，當(dāng)a=b時(shí),I(a,b)=1；當(dāng)a≠b時(shí),I(a,b)=0。即A中任意元素自己與自己具有關(guān)系I的程度為1，與其余元素具有關(guān)系I的程度為0。

③表示A×B上的“全稱關(guān)系”的全矩陣E：

(a,b)A×B，

E(a,b)=1。即A與B中任意元素之間具有關(guān)系E的程度均為1。

三、模糊矩陣的運(yùn)算：設(shè)有模糊矩陣R=(rij)n×m

，S=(sij)n×m

①R與S的并：R∪S=(rij∨sij)；

②R與S的交：R∩S=(rij∧sij)；

③R的余：Rc=(1-rij)；

④R與S相等：R=S，i,j，均有rij=sij

；

⑤R包含于S：R

S，i,j，均有rij≤sij

。

*例如：

*

四、模糊矩陣的運(yùn)算性質(zhì)：

⑴冪等律：R∪R=R，R∩R=R；

⑵交換律：R∪S=S∪R，R∩S=S∩R；

⑶結(jié)合律：(R∪S)∪T=R∪(S∪T)，(R∩S)∩T=R∩(S∩T)；

⑷分配律：(R∪S)∩T=(R∩T)∪(S∩T)，(R∩S)∪T=(R∪T)∩(S∪T)；

⑸吸收律：(R∪S)∩S=S，(R∩S)∪S=S；

⑹兩極律：O∪R=R，O∩R=O，E∪R=E，E∩R=R；

⑺還原律：(Rc)c=R⑻R

S

R∪S=S，R∩S=R；

⑼R

S

Rc

Sc

；

⑽R1

S1,R2

S2

(R1∪R2)

(S1∪S2),(R1∩R2)

(S1∩S2)⑾O

RE

五、模糊矩陣R的

截矩陣R

：是一個(gè)普通矩陣設(shè)R=(rij)，對(duì)[0,1]，稱R

=(rij(

))為R的

截矩陣。

1,rij≥

0,rij＜

六、R

的運(yùn)算性質(zhì)：

⑴對(duì)[0,1]，有R

S

R

S

；

⑵(R∪S)

=R

∪S

，(R∩S)

=R

∩S

。*

例3-4設(shè)有模糊矩陣：

則：

例3-5商品“質(zhì)價(jià)相符”模糊關(guān)系的模糊矩陣為：

若參加者都認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”,則記為100%=1；無(wú)人認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”,則記為0%=0；有70%的人認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”,則記為70%=0.7。而質(zhì)檢和物價(jià)部門確定商品“質(zhì)價(jià)關(guān)系”時(shí)，把全部的人認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”定為“完全相符”;80%以上的人認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”定為“相符”;50%以上的人認(rèn)為“質(zhì)價(jià)相符”定為“基本相符”。

取=1，0.8，0.5得

截矩陣：

3.3模糊關(guān)系的合成

1、模糊關(guān)系合成的概念：

設(shè)有論域X、Y、Z，Q∈(X×Y)、R∈(Y×Z)

，則Q對(duì)R的合成Q

R∈(X×Z)，即Q

R是一個(gè)由X到Z的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)定義為：

*

特例：若X=Y=Z，則對(duì)X上的一個(gè)模糊關(guān)系R，記R

R=R2

2、對(duì)有限論域，模糊關(guān)系的合成可用模糊矩陣的運(yùn)算表示：設(shè)論域X={x1,x2,…,xn}、Y={y1,y2,…,ym}、Z={z1,z2,…,zl}，

Q=(qij)n×m∈(X×Y)、R=(rjk)m×l∈(Y×Z)

，則Q對(duì)R的合成S=Q

R=(sik)n×l∈(X×Z)，并且*

例3-7設(shè)有模糊矩陣：

則：

*3、模糊矩陣合成的運(yùn)算性質(zhì)：

⑴(Q

R)

=Q

R

；

例4-8設(shè)有模糊矩陣：取=0.6

則：

⑵(Q

R)S=Q(RS)

；

⑶Rm+n=Rm

Rn

；

⑷Q

R

QS

RS

；

Q

R

SQ

SR

；

Q

RQn

Rn⑸O

R=RO=O

；I

R=RI=R；

*⑹(Q∪R)

S=(Q

S)∪(R

S)，S

(Q∪R)

=(S

Q)∪(S

R)；

⑺(Q∩R)

S≠(Q

S)∩(R

S)，S

(Q∩R)

≠(S

Q)∩(S

R)；

例3-9設(shè)有模糊矩陣：

則:(Q∩R)

S

(Q

S)∩(R

S)

(Q∩R)

S≠(Q

S)∩(R

S)

⑻Q

R≠R

Q；

例3-10設(shè)有模糊矩陣：

則:

Q

R≠R

Q

3.4幾種常見的模糊關(guān)系

1、模糊倒置關(guān)系：

設(shè)R∈(X×Y)，即R是X到

Y上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為

R(x,y)，則RT∈(Y×X)，是Y到

X上的模糊關(guān)系，稱為R的倒置關(guān)系，其隸屬函數(shù)定義為：

*

特例，對(duì)有限論域X、Y，模糊關(guān)系R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，則RT的模糊矩陣為RT=(rji)n×m

例3-11商品“質(zhì)價(jià)相符”模糊矩陣為：則商品“價(jià)質(zhì)相符”模糊矩陣為：2、模糊對(duì)稱關(guān)系：

設(shè)R∈(X×X)，即R是X上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為

R(x1,x2)，

若對(duì)x1,x2

X

，均滿足

則稱R是模糊對(duì)稱關(guān)系。特例，對(duì)有限論域X，模糊關(guān)系R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若滿足RT=R，則R為模糊對(duì)稱矩陣。

例3-12模糊矩陣

則由RT=R，知R為模糊對(duì)稱矩陣。*3、模糊自反關(guān)系：

設(shè)R∈(X×X)，即R是X上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為

R(x1,x2)，

若對(duì)xX

，均滿足

則稱R是模糊自反關(guān)系。特例，對(duì)有限論域X，模糊關(guān)系R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若R主對(duì)角線上的元素均為1，則模糊矩陣R為模糊自反矩陣。

例3-13模糊矩陣

則R為模糊自反矩陣。4、模糊相似關(guān)系：

設(shè)R∈(X×X)，即R是X上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為

R(x1,x2)，

若R既是對(duì)稱關(guān)系又是自反關(guān)系，則稱R是X上的模糊相似關(guān)系，其隸屬函數(shù)滿足：對(duì)x1,x2,xX

，均有

特例，對(duì)有限論域X，模糊關(guān)系R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若R對(duì)稱且主對(duì)角線上的元素均為1，則R為模糊相似矩陣。*

例3-14論域U={直線,園,橢圓,雙曲線,拋物線}上的模糊矩陣因?yàn)镽既是模糊對(duì)稱矩陣又是模糊自反矩陣，所以R為U上五種幾何圖形間的模糊相似矩陣。

轉(zhuǎn)置模糊矩陣運(yùn)算性質(zhì)：

⑴(RT)T=R；

⑵(R∪Q)T=RT∪QT

，(R∩Q)T=RT∩QT

；

⑶R

Q

RT

QT

；

⑷(RT)

=(R

)T；

⑸(Q

R

)T=QT

RT，(Rn)T=(RT)n；

⑹對(duì)

模糊矩陣R：R∪RT必是對(duì)稱矩陣,

且R∪RT被所有包含R的對(duì)稱矩陣所包含。

*5、模糊傳遞關(guān)系：

⑴普通傳遞關(guān)系R：對(duì)x,y,zX，若(x,y)

R,(y,z)

R

(x,z)

R

如幾何中的平行關(guān)系

就普通傳遞關(guān)系：若ab,bcac⑵模糊傳遞關(guān)系R：

設(shè)R∈(X×X)，即R是X上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為

R(x1,x2)，

若RR

R(或R2

R)，則稱R是X上的模糊傳遞關(guān)系，其隸屬函數(shù)滿足：對(duì)x1,x2,x3

X

，均有

特例，對(duì)有限論域X，模糊關(guān)系R可表示為模糊矩陣R=(rij)n×n，其隸屬度為rij

，

若RR

R(或R2

R)，則稱R是X上的模糊傳遞矩陣，其隸屬度滿足：

例3-15影響企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的主要因素構(gòu)成論域

U={銷售額(X1),購(gòu)銷費(fèi)用(X2),零售利潤(rùn)(X3)},

它們彼此影響的模糊關(guān)系矩陣為：即RR

R，所以R為模糊傳遞矩陣。*⑶模糊關(guān)系R的

截關(guān)系

R

：

設(shè)R∈(X×Y)，即R是X到Y(jié)上的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為

R(x,y)，

對(duì)[0,1]，R的

截關(guān)系R

是X到Y(jié)上的普通關(guān)系，其特征函數(shù)為

特例，當(dāng)X=Y時(shí)，稱R

是X上的

截關(guān)系。1,

R(x,y)

≥

0,

R(x,y)

＜

⑷模糊傳遞關(guān)系與普通傳遞關(guān)系的聯(lián)系：

[定理]：設(shè)R∈(X×X)，即R是X到X上的模糊關(guān)系，則：

R是模糊傳遞關(guān)系

對(duì)[0,1]，R的

截關(guān)系R

均是普通傳遞關(guān)系。*6、模糊等價(jià)關(guān)系：

⑴普通等價(jià)關(guān)系R：若普通關(guān)系R同時(shí)具有自反性、對(duì)稱性、傳遞性，則稱R是普通等價(jià)關(guān)系。

⑵模糊等價(jià)關(guān)系R：若模糊關(guān)系R同時(shí)具有自反性、對(duì)稱性、傳遞性，則稱R是模糊等價(jià)關(guān)系。特例，對(duì)有限論域，模糊等價(jià)關(guān)系R可表示為模糊等價(jià)矩陣R=(rij)n×n，

例3-16上例中的模糊關(guān)系矩陣：為模糊自反、對(duì)稱、傳遞矩陣。故R為模糊等價(jià)矩陣。[定理]模糊矩陣R是模糊等價(jià)矩陣

對(duì)[0,1],R的

截矩陣R

均是普通等價(jià)矩陣。

模糊綜合評(píng)判

4.1模糊綜合評(píng)判數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用一、綜合評(píng)判數(shù)學(xué)模型

設(shè)有二個(gè)論域：X={X1,X2,…,Xn}表示綜合評(píng)判多種因素的集合，

Y={Y1,Y2,…,Yn}表示評(píng)語(yǔ)集合，則模糊變換AR=B稱為綜合評(píng)判數(shù)學(xué)模型。其中：R(X×Y)，是X×Y上的模糊關(guān)系矩陣；

A是X上的模糊子集，即各評(píng)判因素的權(quán)重，

B是Y上的模糊子集，即評(píng)判結(jié)果。二、綜合評(píng)判步驟

1、確定R：對(duì)因素集X中各個(gè)因素，用各種可行方法分別作出對(duì)評(píng)語(yǔ)集Y中各個(gè)評(píng)語(yǔ)的單因素評(píng)判，進(jìn)而得到一個(gè)實(shí)際上表示X和Y間模糊關(guān)系的模糊矩陣R。

2、確定A：對(duì)因素集X中各個(gè)因素，確定其在被評(píng)判事物中的重要程度(權(quán)重)，且權(quán)重之和為1。

3、確定B：作模糊變換B=AR，則B正好表示被評(píng)判事物在評(píng)語(yǔ)集Y上的綜合評(píng)判結(jié)果。*R輸入A輸出BAR=B*

例4-1市場(chǎng)調(diào)查與銷售預(yù)測(cè)時(shí)，欲知某商品受歡迎的程度?，F(xiàn)確定顧客從質(zhì)量、價(jià)格、花色、