高二數(shù)學(xué)同步練習(xí)2章末

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2章章末一、選擇題1．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則eq\o(OA，\s\up6(→））·eq\o（OB,\s\up6(→)）的值是（)A．12 B．－12C．3 D．－3[解析]解法一:設(shè)AB方程為：x＝my＋1，A、B坐標(biāo)分別為(x1，y1），(x2，y2），由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝my＋1,y2＝4x））得：y2－4my－4＝0，∴y1y2＝－4，又eq\o(OA，\s\up6(→）)·eq\o（OB,\s\up6（→)）＝x1x2＋y1y2＝eq\f（y\o\al(2,1），4）·eq\f(y\o\al(2,2),4)＋y1y2＝eq\f(16，16)＋(－4)＝－3,故應(yīng)選D.解法二：取AB過點(diǎn)F且垂直于x軸，這一情況來研究．∵F(1，0)，∴A(1，2）,B（1，－2），eq\o(OA，\s\up6（→）)＝（1，2)，eq\o（OB，\s\up6（→))＝（1，－2)，∴eq\o（OA,\s\up6（→）)·eq\o（OB，\s\up6（→))＝1－4＝－3，故應(yīng)選D。[點(diǎn)評(píng)]特值法是解選擇題常用的重要方法，從特殊入手，解決一般性問題,不但快而且準(zhǔn)，在今后的學(xué)習(xí)中，一定要重視特殊與一般的關(guān)系．2．F1、F2是橢圓eq\f(x2,a2）＋eq\f（y2,b2）＝1（a>b〉0）的兩焦點(diǎn),P是橢圓上任一點(diǎn),從任一焦點(diǎn)引∠F1PF2的外角平分線的垂線，垂足為Q，則點(diǎn)Q的軌跡為()A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線[分析]此題用基本坐標(biāo)法求解,運(yùn)算相當(dāng)繁瑣，而且一時(shí)難以理出思路．本題易借助幾何圖形的幾何性質(zhì)加以解決．［解析]延長垂線F1Q交F2P的延長線于點(diǎn)A，如圖所示．則△APF1是等腰三角形，∴|PF1｜＝｜AP|，從而|AF2|＝｜AP|＋｜PF2|＝|PF1｜＋｜PF2｜＝2a.∵O是F1F2的中點(diǎn)，Q是AF1的中點(diǎn)，∴|OQ｜＝eq\f（1，2）｜AF2|＝a.∴Q點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，半徑為a的圓．故選A.［點(diǎn)評(píng)］看似凌亂繁多的條件,應(yīng)用圓錐曲線的定義求解,可避免很多繁瑣的計(jì)算，提高解題效率．二、填空題3．(2010·重慶文,13）已知過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A、B兩點(diǎn),｜AF|＝2，則｜BF|＝______.［答案]2[解析］本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系．設(shè)A點(diǎn)(x1，y1），B點(diǎn)（x2，y2)拋物線y2＝4x,焦點(diǎn)為(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1。｜AF|＝x1－(－1）＝2，所以x1＝1。則AF與x軸垂直,｜BF｜＝｜AF|＝2。4．已知A、B、D三點(diǎn)不在一條直線上，且A(－2，0),B(2，0），｜eq\o（AD,\s\up6（→））|＝2,eq\o(AC,\s\up6(→））＝eq\o(AB，\s\up6(→)）＋eq\o(AD,\s\up6(→)）,eq\o(AE,\s\up6（→）)＝eq\f（1,2）eq\o(AC，\s\up6（→)），則點(diǎn)E的軌跡方程是__________．[答案］x2＋y2＝1（y≠0）[解析］如圖設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），∵eq\o（AE,\s\up6(→)）＝eq\f（1，2）eq\o（AC,\s\up6（→））＝eq\f(1,2）(eq\o（AB，\s\up6(→））＋eq\o（AD，\s\up6(→））），∴由向量加法的平行四邊形法則可知，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，連結(jié)OE,又O為AB的中點(diǎn)，∴OE＝eq\f(1,2)AD＝1.即動(dòng)點(diǎn)E到定點(diǎn)O的距離為定值1，由圓的定義知，點(diǎn)E的軌跡方程為x2＋y2＝1（y≠0)．[點(diǎn)評(píng)］平面向量在解析幾何中的應(yīng)用，是高考考查的重要內(nèi)容，本題借助于圖形，將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，找到了突破口，即點(diǎn)E到定點(diǎn)O的距離等于定值1這一關(guān)鍵，從而求出了動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一重要思想．三、解答題5．橢圓ax2＋by2＝1與直線x＋y－1＝0相交于A、B，C是AB的中點(diǎn)，若|AB｜＝2eq\r(2），OC的斜率為eq\f（\r(2）,2)，求橢圓的方程．［解析]由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(ax2＋by2＝1，x＋y＝1）)得（a＋b)x2－2bx＋b－1＝0。設(shè)A（x1,y1）、B(x2，y2)，則｜AB｜＝eq\r（(k2＋1）（x1－x2）2）＝eq\r(2）·eq\f（\r（4b2－4(a＋b)(b－1）)，a＋b）.∵｜AB|＝2eq\r（2)，∴eq\f（\r（a＋b－ab）,a＋b）＝1。①設(shè)C(x，y)，則x＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(b，a＋b)，y＝1－x＝eq\f(a,a＋b），∵OC的斜率為eq\f(\r(2）,2），∴eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),2)。代入①，得a＝eq\f(1，3）,b＝eq\f(\r（2),3）。∴橢圓方程為eq\f(x2,3)＋eq\f（\r（2),3）y2＝1。6．如圖所示,過拋物線y2＝2px(p>0)的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦交拋物線于A、B兩點(diǎn)．(1)證明：直線AB過定點(diǎn);（2)求△AOB面積的最小值．[解析］（1)證明：設(shè)直線AB的方程為x＝my＋b，A（x1，y1)，B（x2，y2）.eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,x＝my＋b，）)消去x得y2－2pmy－2pb＝0，則y1y2＝－2pb。又OA⊥OB.所以y1y2＝－x1x2.由方程組消去y，得x2－（2b＋2pm2)x＋b2＝0，則x1·x2＝b2。因此,b2＝2pb.所以b＝2p.所以直線AB恒過定點(diǎn)(2p，0)．(2)解：由(1）知：AB恒過定點(diǎn)M(2p，0)．所以S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝eq\f（1，2