河北省滄州市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

滄州市2022~2023學(xué)年度高一年級(jí)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色.埋水簽字筆將彌封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色.黑水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè).一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則的子集的個(gè)數(shù)為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】先求中元素的個(gè)數(shù)，再求的子集的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)榧?，所以，所以的子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：D.2.下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念，即可得出答案.【詳解】B項(xiàng)可化為，根據(jù)冪函數(shù)的概念，可知函數(shù)是冪函數(shù)，即函數(shù)是冪函數(shù).ACD均不是冪函數(shù).故選：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件以及必要條件的定義，分別判斷充分性以及必要性即可得出答案.【詳解】由，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，由在R上單調(diào)遞增，則有，所以充分性成立；當(dāng)時(shí)，由在R上單調(diào)遞增，可得，在的情況下，不成立，所以必要性不成立.所以，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知函數(shù).設(shè)，則（）A. B.0 C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，結(jié)合已知求出，進(jìn)而代入解析式即可得出答案.【詳解】由已知可得，，即，又，所以.故選：D.5.若，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B.或 C.或 D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為，求解即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?原不等式可化為所以，解得.所以，不等式的解集為.故選：A.6.已知，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用半角正切公式即可求值，注意法二：正切值的符號(hào).【詳解】方法一：∵，，∴.方法二：∵，，∴的終邊落在第一象限，的終邊落在第一或第三象限，即，∴故選：C7.函數(shù)的部分圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，即可排除AD，又，即可排除B.【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除AD；又，故排除B.故選：C.8.定義：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量的值，都存在唯一一個(gè)使得成立，則稱函數(shù)為“正積函數(shù)”.下列函數(shù)是“正積函數(shù)”的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“正積函數(shù)”的定義一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，由，當(dāng)時(shí)，則不存在滿足情況，故A不是正積函數(shù)；對(duì)于B，，由，則任意一個(gè)自變量的值，都存在唯一一個(gè)滿足，故B正積函數(shù)；對(duì)于C，，由，得，當(dāng)時(shí)，則，，，則不唯一，故C不是正積函數(shù)；對(duì)于D，，由，當(dāng)時(shí)，則不存在滿足情況，故D不是正積函數(shù).故選:B.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若“”為真命題，“”為假命題，則集合M可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由已知條件，寫出命題的否定，即為真命題，四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由題意為真命題，為真命題，則應(yīng)滿足選項(xiàng)為集合的子集，且滿足，AD選項(xiàng)均滿足，B選項(xiàng)當(dāng)時(shí)不符合，故錯(cuò)誤，C選項(xiàng)不存在，故錯(cuò)誤.故選：AD10.設(shè)，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合選項(xiàng)及條件逐個(gè)判定，把代入可得A正確，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得B正確，利用基本不等式可得C正確，利用1的代換及基本不等式可得D不正確.【詳解】對(duì)于A，，且，解得，故A正確；對(duì)于B，，即，，故B正確；對(duì)于C，，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，故C正確；對(duì)于D，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，又故D錯(cuò)誤.故選：.11.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.的最小正周期是C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.在區(qū)間上是增函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】先利用偶函數(shù)求出，再利用周期公式求解周期，利用圖象的性質(zhì)求解對(duì)稱性和單調(diào)性.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又，所以，即.對(duì)于A，由，得.當(dāng)時(shí)，，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，正確；對(duì)于B,的最小正周期是B正確；對(duì)于C,圖象的對(duì)稱中心為C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，即是的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間；由于在上單調(diào)遞增，D正確.故選:ABD.12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.為奇函數(shù)C.在上為減函數(shù) D.方程僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】BD【解析】【分析】由已知可推出，令，可得，求出函數(shù)值，即可判斷A項(xiàng)；由題意可推出周期為8，結(jié)合為奇函數(shù)，可判斷B項(xiàng)；根據(jù)對(duì)稱性，結(jié)合已知可推出在上單調(diào)遞增，進(jìn)而根據(jù)周期性即可判斷C項(xiàng)；根據(jù)的性質(zhì)畫出圖象以及的圖象，由結(jié)合圖象即可判斷D項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以.所以有，所以，所以，即有，所以的一個(gè)周期為8.對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，?令，有，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，的周期為8.故，.所以，從而為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞增，又周期為8，故在上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，作出與的大致圖象，如圖所示.其中單調(diào)遞減且，所以兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn)，故方程僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性，可根據(jù)對(duì)稱性得出解析式關(guān)系式，進(jìn)而由兩個(gè)關(guān)系式，即可得出函數(shù)的周期.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則__________.【答案】【解析】【分析】對(duì)賦值即可求得.詳解】.故答案為：2.14.函數(shù)的定義域是__________.【答案】【解析】【分析】由已知，解不等式組，即可得出答案.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.15.在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A(，1)，將點(diǎn)A繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到B點(diǎn)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為__.【答案】(－1，)【解析】【分析】由已知∠AOx＝30°，則∠BOx＝120°，又OB=2，結(jié)合三角函數(shù)定義求點(diǎn)B的坐標(biāo).【詳解】依題意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝，即B(－1，).故答案為：(－1，).16.若正實(shí)數(shù)是關(guān)于的方程的根，則__________.【答案】0【解析】【分析】設(shè)，同構(gòu)變形得到，即，從而得到，即，從而結(jié)果.【詳解】令，則在上單調(diào)遞增，，即，故，∵正實(shí)數(shù)是方程的根，，則，得，即.故答案為：0四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知集合，.（1）求集合，；（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求的值.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）解出集合，根據(jù)并集以及補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求出答案；（2）先求出交集，進(jìn)而根據(jù)一元二次不等式的解集，得出一元二次方程的根，代入即可求出答案.【小問1詳解】解可得，，所以.因?yàn)椋裕?【小問2詳解】由（1）知，，所以的解集為，所以的解為2，3.所以，解得.所以，，.18.已知函數(shù)（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性;（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性（不必寫出過程），并解不等式【答案】（1）函數(shù)是R上的偶函數(shù)，證明見解析（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，【解析】【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義判斷并證明函數(shù)為偶函數(shù)；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)及函數(shù)的加減合成的單調(diào)性規(guī)律判定函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而兩邊同時(shí)平方，等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次方程，求解即得.【小問1詳解】證明：依題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽．對(duì)于任意，都有，所以函數(shù)是R上的偶函數(shù)．【小問2詳解】解：函數(shù)在上單調(diào)遞增．因?yàn)楹瘮?shù)R上偶數(shù)函數(shù)，所以等價(jià)于．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，解得，所以不等式的解集為．19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦函數(shù)性質(zhì)知在上遞增，即可求增區(qū)間；（2）應(yīng)用整體法求的區(qū)間，再由正弦函數(shù)性質(zhì)求值域.小問1詳解】由，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.【小問2詳解】由，可得從而，所以.所以的值域?yàn)?20.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象.（1）若恒成立，求；（2）若在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化簡，根據(jù)平移規(guī)律可得到，利用是函數(shù)的最大值即可求解；（2）由可得，結(jié)合函數(shù)的周期可考慮區(qū)間，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式即可【小問1詳解】∵，∴，又恒成立，∴是函數(shù)的最大值，故，得，，∵，∴.【小問2詳解】∵，∴，令，所以在上是單調(diào)函數(shù)可轉(zhuǎn)化成在是單調(diào)函數(shù)，因?yàn)榈闹芷跒?，所以在是單調(diào)函數(shù)，∵，∴，.∵在是單調(diào)函數(shù)，∴∴.21.某書商為提高某套叢書的銷售量，準(zhǔn)備舉辦一場展銷會(huì)，據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)每套叢書售價(jià)定為元時(shí)，銷售量可達(dá)到萬套．現(xiàn)出版社為配合該書商的活動(dòng)，決定進(jìn)行價(jià)格改革，每套叢書的供貨價(jià)格分成固定價(jià)格和浮動(dòng)價(jià)格兩部分，其中固定價(jià)格為20元，浮動(dòng)價(jià)格(單位：元)與銷售量(單位：萬套)成反比，比例系數(shù)為10．假設(shè)不計(jì)其他成本，即銷售每套叢書的利潤=售價(jià)供貨價(jià)格.（1）求每套叢書利潤與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系，并求出每套叢書售價(jià)定為80元時(shí)，書商能獲得的總利潤是多少萬元？（2）每套叢書售價(jià)定為多少元時(shí)，每套叢書的利潤最大？并求出最大利潤.【答案】（1），總利潤為(萬元)；（2）當(dāng)元時(shí)，每套利潤最大為元.【解析】【分析】（1）首先據(jù)銷售量求得的范圍，然后計(jì)算出供貨價(jià)格，可得利潤函數(shù)，令代入計(jì)算出每套書的利潤，再乘以銷量可得總利潤；（2）利用基本不等式可得最值．【詳解】（1）∵∴當(dāng)時(shí)，(元)此時(shí)銷量為(萬件)總利潤為(萬元)（2）∵∴∴當(dāng)且僅當(dāng)，即元時(shí)，每套利潤最大為元.．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是確定利潤函數(shù)，并湊出應(yīng)用基本不等式的條件“一正二定”，然后再考慮“三相等”．22.已知函數(shù)，其中.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）求出，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，求解即可得到答案；（2）原題可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合的定義域，求方程根的個(gè)數(shù).對(duì)的取值范圍分類討論，得出根的個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域即可得出答案.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，所以的取值范圍?【小問2詳解】由已知可得，.求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即求方程根的個(gè)數(shù).由，可得，即，整理