2024屆河南濮陽(yáng)建業(yè)國(guó)際學(xué)校高三（南充三診）聯(lián)合診斷考試數(shù)學(xué)試題

2024屆河南濮陽(yáng)建業(yè)國(guó)際學(xué)校高三（南充三診）聯(lián)合診斷考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，且，則（）A．3 B． C． D．2．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則（）A． B．3 C． D．43．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為()A．-120 B．120 C．-15 D．154．過(guò)拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線(xiàn)交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線(xiàn)，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則M到直線(xiàn)NF的距離為（）A． B． C． D．5．執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的是（）A． B．C． D．6．若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿(mǎn)足，則公比（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)于兩點(diǎn)，且直線(xiàn)的傾斜角是漸近線(xiàn)傾斜角的2倍，若，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．9．過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線(xiàn)過(guò)的上頂點(diǎn)，且與橢圓相交于另一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為，若，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．已知，若對(duì)任意，關(guān)于x的不等式（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）至少有2個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．12．已知直線(xiàn)：（）與拋物線(xiàn)：交于（坐標(biāo)原點(diǎn)），兩點(diǎn)，直線(xiàn)：與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn).若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直,則_____．14．在中，，，，則繞所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積為_(kāi)_____________.15．已知是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若時(shí)，，則不等式的解集是___________．16．已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過(guò)直線(xiàn)的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為_(kāi)_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知矩形中，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).沿將矩形折起，使，如圖所示.設(shè)P、Q分別為線(xiàn)段，的中點(diǎn)，連接.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知數(shù)列為公差為d的等差數(shù)列，，，且，，依次成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.19．（12分）在世界讀書(shū)日期間，某地區(qū)調(diào)查組對(duì)居民閱讀情況進(jìn)行了調(diào)查，獲得了一個(gè)容量為200的樣本，其中城鎮(zhèn)居民140人，農(nóng)村居民60人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農(nóng)村居民有30人.（1）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)？城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計(jì)200（2）調(diào)查組從該樣本的城鎮(zhèn)居民中按分層抽樣抽取出7人，參加一次閱讀交流活動(dòng)，若活動(dòng)主辦方從這7位居民中隨機(jī)選取2人作交流發(fā)言，求被選中的2位居民都是經(jīng)常閱讀居民的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知橢圓的焦距為，斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的中點(diǎn)為，且直線(xiàn)的斜率為.（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)左焦點(diǎn)斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，問(wèn)：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，說(shuō)明理由.21．（12分）a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊.已知a＝3，，且B＝60°.（1）求△ABC的面積；（2）若D，E是BC邊上的三等分點(diǎn)，求.22．（10分）設(shè)橢圓E:（a,b>0）過(guò)M（2，），N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線(xiàn)與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，若不存在說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

設(shè),則,利用和求得,即可.【題目詳解】設(shè),則,因?yàn)?則,所以,又,即,所以,所以,故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則的應(yīng)用,考查共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用.2、B【解題分析】由正弦定理及條件可得，即.，∴，由余弦定理得?！?選B。3、C【解題分析】

寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令，即，則可求系數(shù)．【題目詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，即時(shí)，系數(shù)為．故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

聯(lián)立方程解得M(3，)，根據(jù)MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，計(jì)算距離得到答案.【題目詳解】依題意得F(1,0)，則直線(xiàn)FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.由M在x軸的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF等于直線(xiàn)FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形點(diǎn)M到直線(xiàn)NF的距離為故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.5、A【解題分析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結(jié)果的值.【題目詳解】滿(mǎn)足，執(zhí)行第一次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第三次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第四次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第五次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第六次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第七次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第八次循環(huán)，，；不成立，跳出循環(huán)體，輸出的值為，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查算法與程序框圖的計(jì)算，解題時(shí)要根據(jù)算法框圖計(jì)算出算法的每一步，考查分析問(wèn)題和計(jì)算能力，屬于中等題.6、B【解題分析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復(fù)數(shù)化為，求出，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【題目詳解】，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

由正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足，即，又，即，運(yùn)算即可得解.【題目詳解】解：因?yàn)椋?，又，所以，又，解?故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，屬基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

先求出直線(xiàn)l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得A，B的縱坐標(biāo)，利用，求出a，b的關(guān)系，即可求出該雙曲線(xiàn)的離心率．【題目詳解】雙曲線(xiàn)1（a＞b＞0）的漸近線(xiàn)方程為y＝±x，∵直線(xiàn)l的傾斜角是漸近線(xiàn)OA傾斜角的2倍，∴kl，∴直線(xiàn)l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得y或y，∵，∴2?，∴ab，∴c＝2b，∴e．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．9、D【解題分析】

求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由，得出，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓的方程，可得出關(guān)于、、的齊次等式，進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【題目詳解】由題意可得、.由，得，則，即.而，所以，所以點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，整理可得，所以，所以.即橢圓的離心率為故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關(guān)鍵就是要得出、、的齊次等式，充分利用點(diǎn)在橢圓上這一條件，圍繞求點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10、B【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)（），求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個(gè)正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知，要使得至少有2個(gè)正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)（），則（），所以在上單調(diào)遞增，所以，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個(gè)正整數(shù)x，使得成立，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.，整理得.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問(wèn)題中求解參數(shù)問(wèn)題,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力和邏輯推理能力,難度較難.11、C【解題分析】

根據(jù)在關(guān)于對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解．【題目詳解】，，，．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用．掌握正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)是解題基礎(chǔ)．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則．12、D【解題分析】

設(shè)，，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，消去、列出韋達(dá)定理，再由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)，得到方程，即可求出參數(shù)的值；【題目詳解】解：設(shè)，，由，得，∵，解得或，∴，.又由，得，∴或，∴，∵，∴，又∵，∴代入解得.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1.【解題分析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)斜率的關(guān)系建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．【題目詳解】函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直,函數(shù)的圖象在的切線(xiàn)斜率本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線(xiàn)垂直的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．14、【解題分析】

由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)倒立的圓錐底對(duì)底組合在一起，根據(jù)圓錐側(cè)面積計(jì)算公式可得.【題目詳解】解：由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)倒立的圓錐底對(duì)底組合在一起，在中，，，，如下圖所示，底面圓的半徑為，則所形成的幾何體的表面積為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積計(jì)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

構(gòu)造，先利用定義判斷的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合奇偶性，單調(diào)性求解不等式即可.【題目詳解】令，則是上的偶函數(shù)，，則在上遞減，于是在上遞增．由得，即，于是，則，解得．故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.16、【解題分析】

設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x，可求得，代入圓柱的表面積公式，即得解【題目詳解】設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x，則由，得，∴．故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓柱的軸截面和表面積，考查了學(xué)生空間想象，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】

(1)取中點(diǎn)R，連接，,可知中,且,由Q是中點(diǎn),可得則有且,即四邊形是平行四邊形,則有,即證得平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求得半平面的法向量:,然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)論可求得二面角的余弦值.【題目詳解】（1）取中點(diǎn)R，連接，，則在中，，且，又Q是中點(diǎn)，所以，而且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）在平面內(nèi)作交于點(diǎn)G，以E為原點(diǎn)，，，分別為x，y，x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即，取，得，又平面的一個(gè)法向量為，所以.因此，二面角的余弦值為【題目點(diǎn)撥】本題考查線(xiàn)面平行的判定,考查利用空間向量求解二面角,考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力,難度一般.18、（1）（2）【解題分析】

（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)求出公差，從而求出，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.（2）由（1）求出，再利用裂項(xiàng)求和法即可求解.【題目詳解】（1），且，，依次成等比數(shù)列，，即：，，，，，；（2），.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)求和法，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見(jiàn)解析，有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).（2）【解題分析】

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表，然后計(jì)算出，與臨界值表中的數(shù)據(jù)對(duì)照后可得結(jié)論；（2）由題意得概率為古典概型，根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算可得所求.【題目詳解】（1）由題意可得：城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10030130不經(jīng)常閱讀403070合計(jì)14060200則，所以有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).（2）在城鎮(zhèn)居民140人中，經(jīng)常閱讀的有100人，不經(jīng)常閱讀的有40人.采取分層抽樣抽取7人，則其中經(jīng)常閱讀的有5人，記為、、、、；不經(jīng)常閱讀的有2人，記為、.從這7人中隨機(jī)選取2人作交流發(fā)言，所有可能的情況為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21種，被選中的位居民都是經(jīng)常閱讀居民的情況有種，所求概率為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算，以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，利用列舉法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力.對(duì)于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿(mǎn)足條件的事件個(gè)數(shù)可數(shù)，使得滿(mǎn)足條件的事件個(gè)數(shù)除以總的事件個(gè)數(shù)即可，屬于中檔題.20、(1).(2)為定值.過(guò)程見(jiàn)解析.【解題分析】分析：（1）焦距說(shuō)明，用點(diǎn)差法可得＝.這樣可解得，得橢圓方程；（2）若，這種特殊情形可直接求得，在時(shí)，直線(xiàn)方程為，設(shè)，把直線(xiàn)方程代入橢圓方程，后可得，然后由紡長(zhǎng)公式計(jì)算出弦長(zhǎng)，同時(shí)直線(xiàn)方程為，代入橢圓方程可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而計(jì)算出，最后計(jì)算即可.詳解：（1）由題意可知，設(shè)，代入橢圓可得：，兩式相減并整理可得，，即.又因?yàn)?，，代入上式可得?又，所以，故橢圓的方程為.（2）由題意可知，，當(dāng)為長(zhǎng)軸時(shí)，為短半軸，此時(shí)；否則，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，消可得，，則有：，所以設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨得，所以.故，綜上所述，為定值.點(diǎn)睛：設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則有，證明方法是點(diǎn)差法：即把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，，兩式相減，結(jié)合