新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章預(yù)備知識(shí)1集合1.1集合的概念與表示第1課時(shí)集合的概念課件北師大版必修第一冊(cè)

1.1

集合的概念與表示第1課時(shí)

集合的概念自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析隨

堂

練

習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.通過(guò)實(shí)例了解集合的含義.2.理解集合中元素的特征,并能利用它們進(jìn)行解題.3.掌握元素與集合的關(guān)系,并能用符號(hào)“∈”或“?”來(lái)表示.4.掌握數(shù)學(xué)中一些常見(jiàn)的集合及其記法.5.體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程,提升邏輯推理的核心素養(yǎng).

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、集合的概念【問(wèn)題思考】1.閱讀下面的語(yǔ)句,并回答提出的問(wèn)題:①平面內(nèi)到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)d的所有的點(diǎn);②方程x2-1=0的所有實(shí)數(shù)根;③著名的科學(xué)家.(1)以上各語(yǔ)句中要研究的對(duì)象分別是什么?(2)哪個(gè)語(yǔ)句中的對(duì)象不確定?為什么?提示:(1)分別為點(diǎn),實(shí)數(shù)根,科學(xué)家.(2)③中的對(duì)象不確定.因?yàn)椤爸睕](méi)有明確的劃分標(biāo)準(zhǔn).2.一般地,我們把指定的某些對(duì)象的全體稱(chēng)為集合,通常用大寫(xiě)英文字母A,B,C,…表示.集合中的每個(gè)對(duì)象叫作這個(gè)集合的元素,通常用小寫(xiě)英文字母a,b,c,…表示.3.下列各組對(duì)象不能組成集合的是(

)A.大于6的所有整數(shù)B.高一數(shù)學(xué)課本中所有的簡(jiǎn)單題C.被3除余2的所有正整數(shù)D.函數(shù)y=x圖象上所有的點(diǎn)答案:B二、元素與集合的關(guān)系【問(wèn)題思考】1.設(shè)集合A表示“1~10之間的所有素?cái)?shù)”,3和4與集合A是何關(guān)系?提示:3是集合A的元素,即3屬于集合A,記作3∈A;4不是集合A的元素,即4不屬于集合A,記作4?A.2.如果元素a在集合A中,就說(shuō)元素a屬于集合A,記作a∈A;如果元素a不在集合A中,就說(shuō)元素a不屬于集合A,記作a?A.三、集合中元素的性質(zhì)【問(wèn)題思考】1.構(gòu)成英文單詞good的所有字母能否組成一個(gè)集合?如果能組成一個(gè)集合,該集合中有幾個(gè)元素?為什么?提示:能.因?yàn)榧现械脑厥敲鞔_的(確定性).該集合有三個(gè)元素.因?yàn)榧现械脑乇仨毷遣煌?互異性).2.某班所有頭發(fā)較長(zhǎng)的同學(xué)能否組成一個(gè)集合?某班身高高于175cm的男生能否組成一個(gè)集合?集合元素確定性的含義是什么?提示:某班所有頭發(fā)較長(zhǎng)的同學(xué)不能組成集合,因?yàn)椤邦^發(fā)較長(zhǎng)”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn).某班身高高于175

cm的男生能組成一個(gè)集合,因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)確定.集合元素確定性的含義:集合中的元素必須是確定的,也就是說(shuō),一個(gè)集合確定后,任何一個(gè)對(duì)象是或不是這個(gè)集合的元素就確定了.3.(1)抽象概括:一個(gè)集合確定后,任何一個(gè)對(duì)象是或不是這個(gè)集合的元素就確定了.(2)規(guī)定:一個(gè)集合中的任何兩個(gè)元素都不相同.也就是說(shuō),集合中的元素沒(méi)有重復(fù).(3)概括:集合中元素具有確定性、互異性、無(wú)序性.四、常用的數(shù)集及其記法【問(wèn)題思考】1.非負(fù)整數(shù)集與正整數(shù)集有何區(qū)別?提示:非負(fù)整數(shù)集包括0,而正整數(shù)集不包括0.2.填表:3.若a∈Q,則一定有a∈R嗎?反過(guò)來(lái)呢?提示:若a∈Q,則一定有a∈R;反過(guò)來(lái),若a∈R,但不一定有a∈Q.【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)某服裝店所有漂亮的衣服能組成一個(gè)集合.(×

)(2)方程x2-2x+1=0的解集中含有兩個(gè)元素.(×

)(3)0∈N+.(×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

集合的概念【例1】

(多選題)下列各組對(duì)象能組成一個(gè)集合的是(

).A.某校園中所有較高的樹(shù)B.平面直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)C.不小于10的自然數(shù)D.所有的等邊三角形解析:A中“較高”沒(méi)有明確的標(biāo)準(zhǔn),所以不能組成一個(gè)集合;B,C,D中的對(duì)象都滿足集合中元素的確定性,所以能組成集合.答案:BCD一般地,要確認(rèn)一組對(duì)象a1,a2,a3,…,an能不能組成集合的過(guò)程為【變式訓(xùn)練1】

(多選題)下列說(shuō)法正確的有(

).A.所有素?cái)?shù)能組成一個(gè)集合B.數(shù)軸上的一些點(diǎn)能組成一個(gè)集合C.正偶數(shù)的全體可以組成一個(gè)集合D.大于4020且小于4024的所有整數(shù)不能組成一個(gè)集合解析:A中“素?cái)?shù)”具有確定性,能組成集合,故正確;B中“一些點(diǎn)”的標(biāo)準(zhǔn)不明確,不能組成集合,故錯(cuò)誤;C中“正偶數(shù)”具有確定性,可組成集合,故正確;D中滿足條件的整數(shù)有2

021,2

022,2

023,具有確定性,能組成集合,故錯(cuò)誤.答案:AC探究二

元素與集合的關(guān)系答案:ACD判斷元素與集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法:如果集合中的元素是直接給出的,只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.(2)推理法:對(duì)于一些沒(méi)有直接表示出來(lái)元素的集合,只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可,此時(shí)應(yīng)明確已知集合中的元素具有什么特征.探究三

集合中元素的性質(zhì)【例3】

已知集合A中含有兩個(gè)元素a和a2,若1∈A,求實(shí)數(shù)a的值.分析:1∈A→a=1或a2=1→驗(yàn)證互異性解:因?yàn)?∈A,所以a=1或a2=1,即a=±1.當(dāng)a=1時(shí),a=a2,集合A中只有一個(gè)元素,所以a≠1;當(dāng)a=-1時(shí),集合A中含有兩個(gè)元素1,-1,符合集合中元素的互異性,所以a=-1.1.本例中若去掉條件“1∈A”,其他條件不變,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么?解:由題意a和a2組成含有兩個(gè)元素的集合,則a≠a2,解得a≠0且a≠1.2.本例中若將條件“1∈A”改為“2∈A”,其他條件不變,求實(shí)數(shù)a的值.3.已知集合A中含有三個(gè)元素a+1,3a,a2+1,若1∈A,求實(shí)數(shù)a的值.根據(jù)集合中元素的特征求解參數(shù)的值或取值范圍的基本步驟易

錯(cuò)

辨

析因忽視集合中元素的互異性致誤【典例】

方程x2-(a+1)x+a=0的解集中有幾個(gè)元素?錯(cuò)解

x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解為x1=1,x2=a,則方程的解集中有兩個(gè)元素1,a.以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:以上錯(cuò)解中沒(méi)有注意到字母a的取值是不確定的.事實(shí)上,當(dāng)a=1時(shí),不滿足集合中元素的互異性.正解:因?yàn)閤2-(a+1)x+a=(x-a)·(x-1)=0,所以方程的解為x1=1,x2=a.若a=1,則方程的解集中只有一個(gè)元素1;若a≠1,則方程的解集中有兩個(gè)元素1,a.1.先解方程得到x的值,再根據(jù)元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn).2.在解方程求得x的值后,常因忘記驗(yàn)證集合中元素的互異性,而造成錯(cuò)誤.【變式訓(xùn)練】

若以方程x2-5x+6=0和x2-x-2=0的解為元素組成集合M,則M中元素的個(gè)數(shù)為(

)A.1 B.2

C.3

D.4解析:方程x2-5x+6=0有兩個(gè)不同的解x1=2,x2=3,方程x2-x-2=0有兩個(gè)不同的解x3=-1,x4=2,其中2是兩個(gè)方程相同的解,在集合M中作為一個(gè)元素,故M中共有3個(gè)元素.答案:C隨

堂

練

習(xí)1.下列各選項(xiàng)中所述對(duì)象可以組成集合的是(

)A.相當(dāng)大的數(shù)B.本班視力較好的學(xué)生C.平面內(nèi)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)D.有趣的游戲解析:A中“相當(dāng)大”這個(gè)詞界限不確定,不明確哪些元素在該集合中,故選項(xiàng)A中的對(duì)象不能組成集合;同樣選項(xiàng)B,D中的對(duì)象也不能組成集合,故選C.答案:C2.設(shè)集合A中只含有一個(gè)元素a,則有(

)A.0∈A B.a?A

C.a∈A

D.a=A解析:∵集合A中只含有一個(gè)元素a,∴a屬于集合A,即a∈A.答案:C3.由x2,x3組成一個(gè)集合A,A中含有兩個(gè)元素,則實(shí)數(shù)x的取值可以是(

)A.0 B.-1 C.1

D.-1或1解析:驗(yàn)證法:若x=0,則x2=0,x3=0,不合題意;若x=1,則x2=1,x3=1,不合題意;若x=-1,