新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章預(yù)備知識2常用邏輯用語2.1必要條件與充分條件第2課時充要條件課件北師大版必修第一冊

2.1

必要條件與充分條件第2課時

充要條件自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解充要條件的意義.2.掌握充分、必要、充要條件的應(yīng)用.3.區(qū)分充分條件但不是必要條件、必要條件但不是充分條件.4.體會抽象概括的過程,加強(qiáng)邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng).

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、充要條件的含義【問題思考】1.(1)已知p:整數(shù)a是6的倍數(shù),q:整數(shù)a是2和3的倍數(shù).請判斷:p是q的充分條件嗎?p是q的必要條件嗎?提示:因?yàn)閜?q,所以p是q的充分條件.又q?p,所以p是q的必要條件.(2)通過問題(1)的判斷,你發(fā)現(xiàn)了什么?這種關(guān)系是否對任意一個“若p,則q”的命題只要具備上述命題的條件都成立?你能用數(shù)學(xué)語言概括出來嗎?提示:可以發(fā)現(xiàn)p既是q的充分條件,又是q的必要條件,且這種關(guān)系對“若p,則q”的命題只要具備p?q,且q?p都成立,即p?q.2.抽象概括一般地,如果

p?q,且

q?p,那么稱p是q的充分且必要條件,簡稱p是q的充要條件,記作

p?q.3.符號“?”的含義是什么?提示:符號“?”的含義是“等價于”.二、充分條件、必要條件、充要條件的判斷【問題思考】1.觀察兩個集合A={x|x>0}和B={x|x>1},(1)集合A,B滿足什么關(guān)系?(2)若p:x>0,q:x>1,則p是q的什么條件?提示:(1)B?A.(2)p是q的必要條件.2.若p不是q的充分條件,則q可能是p的必要條件嗎?p可能是q的必要條件嗎?提示:充分條件與必要條件是共存的,如果p不是q的充分條件,則q也不是p的必要條件.但p可能是q的必要條件.3.充分條件、必要條件的判斷,如表.提示:充分條件,但不是必要條件

必要條件,但不是充分條件

4.設(shè)集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的(

).A.充分條件,但不是必要條件B.必要條件,但不是充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:因?yàn)镹?M,所以“a∈M”是“a∈N”的必要條件,但不是充分條件.答案:B【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)當(dāng)p是q的充要條件時,也可以說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立.(

√

)(2)若p是q的充要條件,則命題p和q是兩個相互等價的命題.(

√

)(4)“1<x<2”是“x<2”成立的必要條件,但不是充分條件.(

×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究四探究一

充要條件的判斷【例1】

在下列各題中,試判斷p是q的什么條件.(1)若a,b∈R,p:a2+b2≠0,q:a,b不全為0;(2)p:x=1,q:x2-2x+1=0.解:(1)由a2+b2≠0?a,b不全為0,反之,由a,b不全為0?a2+b2≠0,故p是q的充要條件.(2)解x2-2x+1=0,得x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要條件,即p是q的充要條件.判斷充要條件的兩種思路(1)命題角度:判斷p?q及q?p這兩個命題是否成立.若兩者都成立,則p與q互為充要條件.(2)集合角度:從集合角度去判斷.已知集合A,B,p:x∈A,q:x∈B,若A?B,且B?A,則p與q互為充要條件.【變式訓(xùn)練1】

a,b中至少有一個不為零的充要條件是(

)A.ab=0 B.ab>0C.a2+b2=0 D.a2+b2>0解析:若a2+b2>0,則a,b不同時為零;a,b中至少有一個不為零,則a2+b2>0.答案:D探究二

充分條件、必要條件的判斷【例2】

在下列各題中,試判斷p是q的什么條件.(1)p:y+x>4,q:x>1,y>3;(2)p:a>b,c<0,q:ac<bc;(3)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC為等腰三角形.解:(1)y+x>4不能推出x>1,y>3,即p

q,而由x>1,y>3可得x+y>4,即q?p,故p是q的必要條件,但不是充分條件.(2)當(dāng)a>b,c<0時,有ac<bc,即p?q,而當(dāng)ac<bc時,不一定有a>b,c<0,也可能是a<b,c>0,即q

p,故p是q的充分條件,但不是必要條件.(3)如圖.由圖可知p,q對應(yīng)的集合間無包含關(guān)系,故p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件.從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件設(shè)A={x|x滿足條件p},B={x|x滿足條件q}.若A?B,則p是q的充分條件,若A?B,則p是q的充分條件,但不是必要條件

若B?A,則p是q的必要條件,若B?A,則p是q的必要條件,但不是充分條件

若A=B,則p,q互為充要條件

若A不包含于B且B不包含于A,則p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件

【變式訓(xùn)練2】

對任意實(shí)數(shù)a,b,c,給出下列命題:①“a=b”是“ac=bc”的充要條件;②“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件;③“a>b”是“a2>b2”的充分條件;④“a<5”是“a<3”的必要條件.其中為真命題的是

.(填序號)

解析:①由a=b,可得ac=bc.但ac=bc時不一定有a=b,故①為假命題;②由“a+5為無理數(shù)”可得“a為無理數(shù)”,由“a為無理數(shù)”可得“a+5為無理數(shù)”,故②為真命題;③由“a>b”不能得出a2>b2,如a=1,b=-2,故③為假命題;④“由a<5”不能推出“a<3”,而由“a<3”可推出“a<5”,故④為真命題.答案:②④探究三

充要條件的證明充要條件的證明策略(1)要證明p是q的充要條件,需要從充分性和必要性兩個方向進(jìn)行,即證明兩個命題“若p,則q”和“若q,則p”均為真.(2)可以利用集合的思想來證明,證明p與q對應(yīng)的集合是相同的,證明前必須分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些條件推證到哪些結(jié)論.提醒:證明時一定要注意,分清充分性與必要性的證明方向.【變式訓(xùn)練3】

求證:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0),有一個正根和一個負(fù)根的充要條件是ac<0.證明:設(shè)方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為x1,x2.必要性:因?yàn)殛P(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一個正根和一個負(fù)根,所以關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,且兩根異號,即方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一個正根和一個負(fù)根.探究四

與充分、必要及充要條件相關(guān)的參數(shù)的求解【例4】

已知p:A={x|-2≤x≤10},q:B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.若p是q的必要條件,但不是充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析:將p,q的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合A,B的關(guān)系→列不等式組求解→下結(jié)論解:因?yàn)閜是q的必要條件,但不是充分條件,所以B?A,即{x|1-m≤x≤1+m,m>0}?{x|-2≤x≤10},又m>0,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,3].1.若本例中將“p是q的必要條件,但不是充分條件”改為“p是q的充分條件,但不是必要條件”,其余條件不變,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:因?yàn)閜是q的充分條件,但不是必要條件,所以A?B,即{x|-2≤x≤10}?{x|1-m≤x≤1+m,m>0}.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[9,+∞).2.若本例中p,q不變,是否存在實(shí)數(shù)m,使得p是q的充要條件?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.應(yīng)用充分條件但不是必要條件,必要條件但不是充分條件或充要條件求參數(shù)的值(取值范圍)的一般步驟(1)根據(jù)已知條件將充分條件但不是必要條件,必要條件但不是充分條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系.(2)根據(jù)集合間的關(guān)系構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)求解.【變式訓(xùn)練4】

若“x>2m-3”是“-1<x<4”的必要條件,但不是充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

解析:由“x>2m-3”是“-1<x<4”的必要條件,但不是充分條件,得(-1,4)?(2m-3,+∞),所以2m-3≤-1,解得m≤1.答案:(-∞,1]易

錯

辨

析不能準(zhǔn)確判斷充要條件致誤【典例】

“函數(shù)y=ax2+ax+1的圖象在x軸的上方”是“0<a<4”的

條件.

錯解

設(shè)p:函數(shù)y=ax2+ax+1的圖象在x軸的上方,q:0<a<4.因?yàn)楫?dāng)0<a<4時,方程ax2+ax+1=0的判別式Δ<0,所以當(dāng)0<a<4時,y=ax2+ax+1>0恒成立,即函數(shù)y=ax2+ax+1的圖象在x軸的上方,故q?p.得0<a<4,故p?q.所以p是q的充要條件.答案

充要以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:忽略了a=0時y=ax2+ax+1>0變?yōu)?>0這一情況.正解:設(shè)p:函數(shù)y=ax2+ax+1的圖象在x軸的上方,q:0<a<4.因?yàn)楫?dāng)0<a<4時,方程ax2+ax+1=0的判別式Δ<0,所以當(dāng)0<a<4時,函數(shù)y=ax2+ax+1的圖象在x軸的上方,故q?p.而當(dāng)a=0時,函數(shù)y=ax2+ax+1的值為1,其圖象在x軸上方,所以p

q.故p為q的必要條件,但不是充分條件.答案:必要條件,但不是充分

用定義判斷時無論是p?q,還是q?p,均要認(rèn)真考慮是否有反例,這一點(diǎn)往往是判斷充分性和必要性的關(guān)鍵和難點(diǎn).隨

堂

練

習(xí)1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},則“a=3”是“A?B”的(

)A.充分條件,但不是必要條件B.必要條件,但不是充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:∵A={1,a},B={1,2,3},A?B,∴a∈B,且a≠1,∴a=2或a=3,∴“a=3”是“A?B”的充分條件,但不是必要條件.答案:A2.二次函數(shù)y=x2+mx+1的圖象關(guān)于直線x=1對稱的充要條件是(

)A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1解析:由二次函數(shù)y=x2