新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列1數(shù)列的概念及其函數(shù)特性1.1數(shù)列的概念課件北師大版選擇性必修第二冊

1.1數(shù)列的概念第一章內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解數(shù)列的概念及數(shù)列的分類,認(rèn)識數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型.2.了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),了解數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.3.能根據(jù)數(shù)列的前幾項,寫出它的一個通項公式.能根據(jù)通項公式確定數(shù)列的某一項.4.體會數(shù)學(xué)抽象的過程,加強邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、數(shù)列的概念【問題思考】1.觀察下面的例子,并回答問題.①2,1,3,-5;②0,1,2,…;③-2,-2,-2.(1)以上各例中的研究對象是什么?(2)以上各例中的數(shù)有次序嗎?(3)以上各例中各有幾個數(shù)?提示:(1)數(shù).(2)有.(3)①4個;②無數(shù)個;③3個.2.按一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個數(shù)列的項.數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2,a3,…,an,…或簡記為數(shù)列{an}.其中a1是數(shù)列的第1項,也叫數(shù)列的首項;an是數(shù)列的第n項,也叫數(shù)列的通項.3.下列關(guān)于正整數(shù)的前5個數(shù)的排列:①1,2,3,4,5;②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4;④4,1,5,3,2.其中可以稱為數(shù)列的有(

).A.①

B.①②C.①②③ D.①②③④解析:數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù).因此選D.答案:D二、數(shù)列的分類【問題思考】1.數(shù)列3,3,3,3,3與數(shù)列3,3,3,3,3,…各有幾項?提示:第一個數(shù)列有5項,第二個數(shù)列有無數(shù)項.2.項數(shù)有限的數(shù)列,稱為有窮數(shù)列;項數(shù)無限的數(shù)列,稱為無窮數(shù)列.3.對于下列數(shù)列:①4,3,2,1,0,-1,…;②1,2,4,8,…,1024;③2,7,2,7,…,2,7,…;④6,6,6,…,6,….其中有窮數(shù)列有

;無窮數(shù)列有

.(填序號)

答案:②

①③④三、通項公式【問題思考】1.對于數(shù)列1,-1,1,-1,…,回答下列問題.(1)數(shù)列中的項an與其序號n是否有一定的規(guī)律?(2)試寫出an關(guān)于n的一個關(guān)系式.(3)an關(guān)于n的關(guān)系式唯一嗎?提示:(1)是.(2)an=(-1)n+1.(答案不唯一)(3)不唯一.2.數(shù)列可以看作定義域為正整數(shù)集N+(或其子集)的函數(shù).如果數(shù)列{an}的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子表示成an=f(n),那么這個式子就叫作這個數(shù)列的通項公式,數(shù)列的通項公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.3.是否任何數(shù)列都能寫出其通項公式?提示:否.4.

【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)-5,2,1,-8,7,…,981不構(gòu)成數(shù)列.(×)(2)-1,1,3,5,7,…是有窮數(shù)列.(×)合作探究釋疑解惑探究一數(shù)列的分類【例1】

已知下列數(shù)列:答案:①⑥

②③④⑤①2018,2019,2020,2021,2022,2023;④1,0,-1,…,2,…;⑤2,4,8,16,32,…;⑥-1,-1,-1,-1.其中,有窮數(shù)列為

,無窮數(shù)列為

.(填序號)

判斷一個數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列,需要從定義入手.若數(shù)列中有無窮項,則為無窮數(shù)列,反之則為有窮數(shù)列.③-2的1次冪,2次冪,3次冪,4次冪,…構(gòu)成的數(shù)列-2,4,-8,16,-32,….其中,有窮數(shù)列為

,無窮數(shù)列為

.(填序號)

答案:①

②③【變式訓(xùn)練1】

給出下列數(shù)列:①2015~2022年某省普通高中生人數(shù)(單位:萬人)構(gòu)成的數(shù)列82,93,105,119,129,130,132,135;探究二根據(jù)數(shù)列的通項公式求數(shù)列中的項【例2】

根據(jù)下列數(shù)列的通項公式,寫出它的前4項.∴{bn}的前4項依次為0,-1,0,1.對于例2(2),求b202.an=f(n)表示的是序號n與數(shù)列的項之間的函數(shù)關(guān)系.由f(n)求an即已知函數(shù)的自變量求其對應(yīng)的函數(shù)值,將自變量n的值代入an=f(n)即可.【變式訓(xùn)練2】

根據(jù)下面數(shù)列{an}的通項公式,寫出它的前5項.(1)an=n2;解:

(1)1,4,9,16,25.探究三根據(jù)數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式【例3】

根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項,寫出數(shù)列的一個通項公式:(記各數(shù)列為{an})(1)-1,7,-13,19,…;(3)5,55,555,5555,….解:

(1)數(shù)列的偶數(shù)項為正,奇數(shù)項為負(fù),故通項公式必含有因式(-1)n,觀察各項的絕對值,從第2項起,每一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6,故該數(shù)列的一個通項公式為an=(-1)n(6n-5).(2)數(shù)列的各項,有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可將數(shù)列的各項都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再將例3(3)改為:0.5,0.55,0.555,…,求該數(shù)列的一個通項公式.由數(shù)列的前幾項歸納該數(shù)列通項公式的常用方法及具體策略(1)常用方法:觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等.(2)具體策略:①分析分?jǐn)?shù)中分子、分母的特征;②分析相鄰項的變化特征;③分析拆項后的特征;④分析各項的符號特征或絕對值特征;⑤化異為同,對于分?jǐn)?shù),可對分子、分母分別考慮,或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系;⑥對于正負(fù)號交替出現(xiàn)的情況,可用(-1)n或(-1)n+1處理.【變式訓(xùn)練3】

根據(jù)給出的前幾項,寫出各數(shù)列的一個通項公式.(1)a,b,a,b,a,b,…;(2)9,99,999,9999,…;(2)各項加1后,變?yōu)?0,100,1

000,10

000,…,故原數(shù)列的一個通項公式為an=10n-1.(3)數(shù)列中的每一項由三部分組成,分母是從1開始的奇數(shù);分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方,分子的后一部分是減去從1開始的自然數(shù),故數(shù)【思想方法】

利用函數(shù)與方程的思想求解數(shù)列的問題

數(shù)列是定義域為正整數(shù)集N+(或其子集)的函數(shù),靈活運用函數(shù)與方程的思想解決數(shù)列問題,有時可達(dá)到事半功倍的效果.判斷某數(shù)值是不是該數(shù)列中的項,需先假定它是數(shù)列中的項,列方程求解.若方程的解為正整數(shù),則該數(shù)值是此數(shù)列中的項;若方程無解或解不是正整數(shù),則該數(shù)值不是此數(shù)列中的項.【變式訓(xùn)練】

已知數(shù)列{an}的通項公式是an=

(n∈N+).(1)0和1是不是數(shù)列{an}中的項?如果是,那么是第幾項?(2)數(shù)列{an}中是否存在連續(xù)且相等的兩項?若存在,分別是第幾項?解:(1)若0是{an}中的第n項,則

=0,解得n=0或n=21.∵n∈N+,∴n=21.∴0是{an}中的第21項.若1是{an}中的第n項,則

=1,∴n2-21n=2,即n2-21n-2=0.因為方程n2-21n-2=0不存在正整數(shù)解,所以1不是{an}中的項.(2)假設(shè){an}中存在第m項與第m+1項相等,即am=am+1,解得m=10.故數(shù)列{an}中存在連續(xù)且相等的兩項,分別為第10項與第11項.隨堂練習(xí)1.下列說法中,正確的是(

).A.數(shù)列1,3,5,7可表示為集合{1,3,5,7}B.數(shù)列1,0,-1,-2與數(shù)列-2,-1,0,1是相同的數(shù)列D.數(shù)列0,1,2,3,4,…,可記為{n}解析:由數(shù)列定義知A錯誤,B中前后兩個數(shù)列中的數(shù)排列次序不同,D中n∈N+,不包括0.答案:C2.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=n2+(-1)n×2,則其第3,4項分別是(

).A.9,14 B.9,18

C.7,18

D.7,14解析:a3=32-2=7,a4=42+2=18.答案:C答案:4

不是

4.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=3n2-28n.(1)寫出數(shù)列的第4項和第6項;(2)-49和68是該數(shù)列的項嗎?若是,是第