新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第5章函數(shù)應用復習課課件北師大版必修第一冊

第5課時

函數(shù)應用知識網(wǎng)絡要點梳理專題歸納·核心突破

知識網(wǎng)絡

要點梳理1.函數(shù)的零點是什么?提示:對于函數(shù)y=f(x),使得f(x0)=0的數(shù)x0稱為方程f(x)=0的解,也稱為函數(shù)y=f(x)的零點.2.方程的根與函數(shù)的零點的關系是怎樣的?提示:方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y=f(x)有零點.3.函數(shù)的零點存在定理的內(nèi)容是怎樣的?怎樣理解?提示:零點存在定理:若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)的曲線,并且在區(qū)間端點的函數(shù)值一正一負,即f(a)·f(b)<0,則在開區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(x)至少有一個零點,即在區(qū)間(a,b)內(nèi)相應的方程f(x)=0至少有一個解.理解:(1)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上若不連續(xù),則f(a)·f(b)<0與函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的零點個數(shù)沒有關系(即:零點存在定理僅對連續(xù)函數(shù)適用).(2)連續(xù)函數(shù)y=f(x)若滿足f(a)·f(b)<0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點;反過來,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點不一定使f(a)·f(b)<0成立,若y=f(x)為單調(diào)函數(shù),則一定有f(a)·f(b)<0.4.函數(shù)零點常用的判定方法有哪些?提示:(1)定義法(定理法):使用零點存在定理,函數(shù)y=f(x)必須在區(qū)間上是連續(xù)的,當f(a)·f(b)<0時,函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點.(2)方程法:判斷方程f(x)=0是否有實數(shù)解.(3)圖象法:若一個函數(shù)(或方程)由兩個初等函數(shù)的和(或差)構成,則可考慮用圖象法求解,如f(x)=g(x)-h(x),作出y=g(x)和y=h(x)的圖象,其交點的橫坐標即函數(shù)f(x)的零點.5.怎樣判斷函數(shù)零點的個數(shù)?提示:(1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,則有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在定理法:利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線,且f(a)·f(b)<0,還必須結合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點或零點值所具有的性質(zhì).(3)數(shù)形結合法:轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題,先畫出兩個函數(shù)的圖象,看其交點個數(shù),其中交點的橫坐標有幾個不同的值,就有幾個不同的零點.6.什么是二分法?提示:對于一般的函數(shù)y=f(x),x∈[a,b],若函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)的曲線,f(a)·f(b)<0,則每次取區(qū)間的中點,將區(qū)間一分為二,再經(jīng)比較,按需要留下其中一個小區(qū)間的求方程近似解的方法稱為二分法.7.利用二分法求方程近似解的過程步驟是怎樣的?提示:【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)關于函數(shù)f(x),x∈[a,b],若x0∈[a,b],且滿足f(x0)=0,則x0是f(x)的一個零點.(

√

)(2)函數(shù)f(x)的零點是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函數(shù)f(x)的零點.(

×

)(3)不論m為何值,函數(shù)f(x)=x2-mx+m-2都有兩個零點.(

√

)(4)實數(shù)a,b,c是圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)定義域中的三個數(shù),且滿足a<b<c,f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,c)上至少有兩個零點.(

√

)(5)若函數(shù)f(x)的唯一零點同時在區(qū)間

內(nèi),則f(0)與f(1)符號相同.(

√

)(6)如圖所示的函數(shù)圖象,都可以用二分法求圖中交點橫坐標.(

×

)專題歸納·核心突破專題整合高考體驗專題一

函數(shù)的零點所在區(qū)間及個數(shù)判斷A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(1,2)與(2,3)(2)已知函數(shù)y=f(x)和y=g(x)在區(qū)間[-2,2]上的圖象如下圖所示:給出下列四個說法:①方程f(g(x))=0有且僅有6個根;②方程g(f(x))=0有且僅有3個根;③方程f(f(x))=0有且僅有7個根;④方程g(g(x))=0有且僅有4個根.其中正確的說法為

.(填序號)

(2)設函數(shù)f(x)的三個零點為a,b和0,且a<b,由題圖知a∈(-2,-1),b∈(1,2),設函數(shù)g(x)的兩個零點為c,d,且c<d,由題圖知c∈(-2,-1),d∈(0,1).(ⅰ)由f(g(x))=0知g(x)=a或g(x)=b或g(x)=0,其中a∈(-2,-1),b∈(1,2),因為g(x)的圖象與直線y=a,直線y=b和直線y=0均有兩個交點,所以y=f(g(x))有6個零點,故①正確.(ⅱ)由g(f(x))=0知f(x)=c或f(x)=d,其中c∈(-2,-1),d∈(0,1),由于y=f(x)的圖象與直線y=c有1個交點與直線y=d有3個交點,所以函數(shù)y=g(f(x))有4個零點,故②錯誤.同理可以判斷③錯誤,④正確.故正確的說法為①④.答案:(1)B

(2)①④根據(jù)函數(shù)零點的定義,函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的根,判斷一個方程是否有零點,有幾個零點,就是判斷方程f(x)=0是否有根,有幾個根.確定函數(shù)零點的個數(shù)有兩個基本方法:利用圖象研究與x軸的交點個數(shù)或轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)定性判斷.【變式訓練1】

函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點個數(shù)為(

)A.1 B.2

C.3

D.4在同一平面直角坐標系中分別畫出函數(shù)g(x),h(x)的圖象(如圖),可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)的圖象有兩個交點,因此函數(shù)f(x)有兩個零點.答案:B專題二

函數(shù)的零點與方程的根的關系及應用(1)當a=1時,函數(shù)g(x)是否存在零點,若存在,求出所有零點;若不存在,說明理由.(2)求函數(shù)g(x)的最小值.分析:(1)利用換元法,轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求解.(2)運用分類討論思想求解.解:(1)當a=1時,函數(shù)g(x)不存在零點.理由如下:當a=1時,設t=ex,則t∈[1,3].令h(t)=t2+t-1,∴函數(shù)g(x)不存在零點.(2)設t=ex,則t∈[1,3],令g(t)=t2+|t-a|,t∈[1,3].當a≤1時,g(t)=t2+t-a在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增,所以g(t)的最小值為g(1)=2-a.因為函數(shù)g(t)在區(qū)間[a,3]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[1,a]上也單調(diào)遞增,又函數(shù)g(t)在區(qū)間[1,3]上為連續(xù)函數(shù),所以函數(shù)g(t)在區(qū)間[1,3]上為增函數(shù),所以g(t)的最小值為g(1)=a.綜上可得,當a≤1時,g(x)的最小值為2-a;1.函數(shù)的零點與方程的根之間存在著緊密的關系:方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y=f(x)有零點.2.求參數(shù)范圍常用方法(1)一元二次函數(shù)零點(或一元二次方程根)的分布問題用函數(shù)思想求解.(2)利用函數(shù)圖象數(shù)形結合求解.(3)利用分類討論思想求解.【變式訓練2】

已知函數(shù)f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根,則實數(shù)k的取值范圍是(

)答案:B專題三

函數(shù)的性質(zhì)及應用【例3】

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:km/h)是車流密度x(單位:輛/km)的函數(shù).當橋上的車流密度達到200輛/km時,造成堵塞,此時車流速度為0;當車流密度不超過20輛/km時,車流速度為60km/h.研究表明:當20<x≤200時,車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).(1)當0≤x≤200時,求函數(shù)v(x)的解析式;(2)當車流密度x為多大時,車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/h)f(x)=x·v(x)可以達到最大,并求出最大值.(精確到1輛/h)分析:理解題意→列出函數(shù)關系式→求出最值利用函數(shù)解決實際問題的常用方法(1)利用所給定的函數(shù)模型或圖象,用待定系數(shù)法求出解析式進而解決實際問題.(2)構造函數(shù)模型:一是由題意直接確定模型,進而解決其他問題,二是由題目提供的數(shù)據(jù),利用圖形確定函數(shù)模型.從而解決一些實際問題或預測一些結果.【變式訓練3】

某商場計劃投入一筆資金采購一批緊俏商品,經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果月初出售,可獲利15%,并可用本和利再投資其他商品,到月末又可獲利10%;如果月末出售,可獲利30%,但要付出倉儲費用700元,請根據(jù)商場情況,分析如何購銷獲利較多?解:設商場投資x元,在月初出售,到月末可獲利y1元,在月末出售,可獲利y2元,則y1=15%x+10%(x+15%x)=0.265x,y2=30%x-700=0.3x-700.在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)y1=0.265x和y2=0.3x-700的圖象如圖,得兩圖象的交點坐標為(20

000,5

300).由圖象,知當x>20

000時,y2>y1;當x=20

000時,y1=y2;當x<20

000時,y2<y1.∴當投資小于20

000元時,月初出售;當投資等于20

000元時,月初、月末出售均可;當投資大于20

000元時,月末出售.考點一

零點的判斷與求法解析:函數(shù)g(x)=f(x)+x+a有兩個零點,等價于方程f(x)=-x-a有兩個實根,即函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=-x-a有兩個交點,由圖象可知,必須使得直線y=-x-a與直線y=-x+1重合或位于直線y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故選C.答案:C當x≥2時,由f(x)=x-4<0,解得x<4,∴2≤x<4.當x<2時,由f(x)=x2-4x+3<0,解得1<x<3,∴1<x<2.綜上可知,1<x<4,即f(x)<0的解集為(1,4).分別畫出y1=x-4和y2=x2-