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文檔簡介

甘肅省天水市2024屆高三教學(xué)情況調(diào)研數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知復(fù)數(shù)z=2i1-i,則A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.設(shè)、,數(shù)列滿足,,,則()A.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立B.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立C.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立D.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立4.已知、,,則下列是等式成立的必要不充分條件的是()A. B.C. D.5.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.設(shè)向量,滿足,,,則的取值范圍是A. B.C. D.7.年初,湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延,各級政府相繼啟動重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級響應(yīng),全國人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù),則下列中表述錯誤的是()A.月下旬新增確診人數(shù)呈波動下降趨勢B.隨著全國醫(yī)療救治力度逐漸加大,月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù)C.月日至月日新增確診人數(shù)波動最大D.我國新型冠狀病毒肺炎累計確診人數(shù)在月日左右達(dá)到峰值8.的展開式中的一次項系數(shù)為()A. B. C. D.9.的展開式中的系數(shù)為()A.-30 B.-40 C.40 D.5010.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A. B. C. D.11.如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.12.已知集合.為自然數(shù)集,則下列表示不正確的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知點為雙曲線的右焦點,兩點在雙曲線上,且關(guān)于原點對稱,若,設(shè),且,則該雙曲線的焦距的取值范圍是________.14.已知,,則與的夾角為.15.某幾何體的三視圖如圖所示,且該幾何體的體積是3,則正視圖的的值__________.16.設(shè)函數(shù),若存在實數(shù)m,使得關(guān)于x的方程有4個不相等的實根,且這4個根的平方和存在最小值,則實數(shù)a的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個極值點,若,且恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),其中.(1)①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;②若滿足,且.求證:.(2)函數(shù).若對任意,都有,求的最大值.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)a=2時,求不等式的解集;(2)設(shè)函數(shù).當(dāng)時,,求的取值范圍.20.(12分)設(shè)點,動圓經(jīng)過點且和直線相切.記動圓的圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點的直線與曲線交于、兩點,且直線與軸交于點,設(shè),,求證:為定值.21.(12分)已知函數(shù),直線為曲線的切線(為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)求實數(shù)的值;(2)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),若函數(shù)為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)若函數(shù)有兩個極值點,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

化簡復(fù)數(shù),由它是純虛數(shù),求得,從而確定對應(yīng)的點的坐標(biāo).【題目詳解】是純虛數(shù),則,,,對應(yīng)點為,在第二象限.故選:B.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算,考查復(fù)數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】分析:根據(jù)復(fù)數(shù)的運算,求得復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的表示,即可得到復(fù)數(shù)對應(yīng)的點,得到答案.詳解:由題意,復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(-1,-1),位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限,故選C.點睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的表示,其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.3、D【解題分析】

取,可排除AB;由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況,進(jìn)而得到要使,只需,由此可得到答案.【題目詳解】取,,數(shù)列恒單調(diào)遞增,且不存在最大值,故排除AB選項;由蛛網(wǎng)圖可知,存在兩個不動點,且,,因為當(dāng)時,數(shù)列單調(diào)遞增,則;當(dāng)時,數(shù)列單調(diào)遞減,則;所以要使,只需要,故,化簡得且.故選:D.【題目點撥】本題考查遞推數(shù)列的綜合運用,考查邏輯推理能力,屬于難題.4、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù),由得出,分、、三種情況討論,利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或,再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù),,則,,所以,函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù),當(dāng)時,則,;當(dāng)時,,.由得.①若,則,即,不合乎題意;②若,則,則,此時,,由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,;③若,則,則,此時,由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,.綜上所述,.故選:D.【題目點撥】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵,解題時要注意對的取值范圍進(jìn)行分類討論,考查推理能力,屬于中等題.5、A【解題分析】

函數(shù)的零點就是方程的解,設(shè),方程可化為,即或,求出的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值,由此可根據(jù)方程解的個數(shù)得出的范圍.【題目詳解】由題意得有四個大于的不等實根,記,則上述方程轉(zhuǎn)化為,即,所以或.因為,當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增;所以在處取得最小值,最小值為.因為,所以有兩個符合條件的實數(shù)解,故在區(qū)間上恰有四個不相等的零點,需且.故選:A.【題目點撥】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點.考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的解,方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì),本題考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力.6、B【解題分析】

由模長公式求解即可.【題目詳解】,當(dāng)時取等號,所以本題答案為B.【題目點撥】本題考查向量的數(shù)量積,考查模長公式,準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

根據(jù)新增確診曲線的走勢可判斷A選項的正誤;根據(jù)新增確診曲線與新增治愈曲線的位置關(guān)系可判斷B選項的正誤;根據(jù)月日至月日新增確診曲線的走勢可判斷C選項的正誤;根據(jù)新增確診人數(shù)的變化可判斷D選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【題目詳解】對于A選項,由圖象可知,月下旬新增確診人數(shù)呈波動下降趨勢,A選項正確;對于B選項,由圖象可知,隨著全國醫(yī)療救治力度逐漸加大,月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù),B選項正確;對于C選項,由圖象可知,月日至月日新增確診人數(shù)波動最大,C選項正確;對于D選項,在月日及以前,我國新型冠狀病毒肺炎新增確診人數(shù)大于新增治愈人數(shù),我國新型冠狀病毒肺炎累計確診人數(shù)不在月日左右達(dá)到峰值,D選項錯誤.故選:D.【題目點撥】本題考查統(tǒng)計圖表的應(yīng)用,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

根據(jù)多項式乘法法則得出的一次項系數(shù),然后由等差數(shù)列的前項和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論.【題目詳解】由題意展開式中的一次項系數(shù)為.故選:B.【題目點撥】本題考查二項式定理的應(yīng)用,應(yīng)用多項式乘法法則可得展開式中某項系數(shù).同時本題考查了組合數(shù)公式.9、C【解題分析】

先寫出的通項公式,再根據(jù)的產(chǎn)生過程,即可求得.【題目詳解】對二項式,其通項公式為的展開式中的系數(shù)是展開式中的系數(shù)與的系數(shù)之和.令,可得的系數(shù)為;令,可得的系數(shù)為;故的展開式中的系數(shù)為.故選:C.【題目點撥】本題考查二項展開式中某一項系數(shù)的求解,關(guān)鍵是對通項公式的熟練使用,屬基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

先利用最高點縱坐標(biāo)求出A,再根據(jù)求出周期,再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【題目詳解】由圖象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),將代入得φ)=1,∴φ,結(jié)合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故選:A.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問題要注意結(jié)合五點法作圖求解.屬于中檔題.11、A【解題分析】

根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【題目詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.【題目點撥】本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】

集合.為自然數(shù)集,由此能求出結(jié)果.【題目詳解】解:集合.為自然數(shù)集,在A中,,正確;在B中,,正確;在C中,,正確;在D中,不是的子集,故D錯誤.故選:D.【題目點撥】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】

設(shè)雙曲線的左焦點為,連接,由于.所以四邊形為矩形,故,由雙曲線定義可得,再求的值域即可.【題目詳解】如圖,設(shè)雙曲線的左焦點為,連接,由于.所以四邊形為矩形,故.在中,由雙曲線的定義可得,.故答案為:【題目點撥】本題考查雙曲線定義及其性質(zhì),涉及到求余弦型函數(shù)的值域,考查學(xué)生的運算能力,是一道中檔題.14、【解題分析】

根據(jù)已知條件,去括號得:,15、3【解題分析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以直角梯形為底面,梯形上下邊長為和,高為,如圖所示,平面,所以底面積為,幾何體的高為,所以其體積為.點睛:在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時,要從三個視圖綜合考慮,根據(jù)三視圖的規(guī)則,空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線,不可見輪廓線在三視圖中為虛線.在還原空間幾何體實際形狀時,一般是以正視圖和俯視圖為主,結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮.求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,利用相應(yīng)體積公式求解.16、【解題分析】

先確定關(guān)于x的方程當(dāng)a為何值時有4個不相等的實根,再將這四個根的平方和表示出來,利用函數(shù)思想來判斷當(dāng)a為何值時這4個根的平方和存在最小值即可.【題目詳解】由題意,當(dāng)時,,此時,此時函數(shù)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,方程最多2個不相等的實根,舍;當(dāng)時,函數(shù)圖象如下所示:從左到右方程,有4個不相等的實根,依次為,,,,即,由圖可知,故,且,,從而,令,顯然,,要使該式在時有最小值,則對稱軸,解得.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是.【題目點撥】本題考查了函數(shù)和方程的知識,但需要一定的邏輯思維能力,屬于較難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)答案見解析(2)【解題分析】

(1)先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得,對分成和兩種情況討論,從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;(2)對函數(shù)求導(dǎo)得,從而有,,,三個方程中利用得到.將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),再構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,從而得到的取值范圍.【題目詳解】解:(1)由,,則,當(dāng)時,則,故在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,令,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上所述:當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.設(shè),則,∴在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,.∴,即所求的取值范圍為.【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想,求解雙元問題的常用思路是:通過換元或消元,將雙元問題轉(zhuǎn)化為單元問題,然后利用導(dǎo)數(shù)研究單變量函數(shù)的性質(zhì).18、(1)①單調(diào)遞增區(qū)間,,單調(diào)遞減區(qū)間;②詳見解析;(2).【解題分析】

(1)①求導(dǎo)可得,再分別求解與的解集,結(jié)合定義域分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.②根據(jù)(1)中的結(jié)論,求出的表達(dá)式,再分與兩種情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析的范圍即可.(2)求導(dǎo)分析的單調(diào)性,再結(jié)合單調(diào)性,設(shè)去絕對值化簡可得,再構(gòu)造函數(shù),,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與恒成立問題可知,再換元表達(dá)求解最大值即可.【題目詳解】解:,由可得或,由可得,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,,單調(diào)遞減區(qū)間;,或,若,因為,故,,由知在上單調(diào)遞增,,若由可得x1,因為,所以,由在上單調(diào)遞增,綜上.時,,在上單調(diào)遞減,不妨設(shè)由(1)在上單調(diào)遞減,由,可得,所以,令,,可得單調(diào)遞減,所以在上恒成立,即在上恒成立,即,所以,,所以的最大值.【題目點撥】本題主要考查了分類討論分析函數(shù)單調(diào)性的問題,同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式以及構(gòu)造函數(shù)分析函數(shù)的最值解決恒成立的問題.需要根據(jù)題意結(jié)合定義域與單調(diào)性分析函數(shù)的取值范圍與最值等.屬于難題.19、(1);(2).【解題分析】試題分析:(1)當(dāng)時;(2)由等價于,解之得.試題解析:(1)當(dāng)時,.解不等式,得.因此,的解集為.(2)當(dāng)時,,當(dāng)時等號成立,所以當(dāng)時,等價于.①當(dāng)時,①等價于,無解.當(dāng)時,①等價于,解得.所以的取值范圍是.考點:不等式選講.20、(1);(2)見解析.【解題分析】

(1)已知點軌跡是以為焦點,直線為準(zhǔn)線的拋物線,由此可得曲線的方程;(2)設(shè)直線方程為,,則,設(shè),由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應(yīng)用韋達(dá)定理得,,由,,用橫坐標(biāo)表示出,然后計算,并代入,可得結(jié)論.【題目詳解】(1)設(shè)動圓圓心,由拋物線定義知:點軌跡是以為焦點,直線為準(zhǔn)線的拋物線,設(shè)其方程為,則,解得.∴曲線的方程為;(2)證明:設(shè)直線方程為,,則,設(shè),由得,①,則,,②,由,,得,,整理得,,∴,代入②得:.【題目點撥】本題考查求曲線方程,考查拋物線的定義,考查直線與拋物線相交問題中的定值問題.解題方法是設(shè)而不求的思想方法,即設(shè)交點坐標(biāo),設(shè)直線方程,直線方程代入拋物線(或圓錐曲線)方程得一元二次方程,應(yīng)用韋達(dá)定理得,,代入題中其他條件所求式子中化簡變形.21、(1);(2).【解題分析】

試題分析:(1)先求導(dǎo),然后利用導(dǎo)數(shù)等于求出切點的橫坐標(biāo),代入兩個曲線的方程,解方程組,可求得;(2)設(shè)與交點的橫坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)求得,從而,然后利用求得的取值范圍為.試題解析:(1)對求導(dǎo)得.設(shè)直線與曲線切于點,則,解得,所以的值為1.(2)記函數(shù),下面考察函數(shù)的符號,對函數(shù)求導(dǎo)得.當(dāng)時,恒成立.當(dāng)時,,從而.∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減.,∴,又曲

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