必修四241平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義數(shù)乘定義：

一般地，實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa

的方向與a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí),λa

的方向與a方向相反；特別地，當(dāng)λ=0或a=0時(shí),λa=0復(fù)習(xí)運(yùn)算律：

設(shè)a,b為任意向量，λ,μ為任意實(shí)數(shù)，則有：①λ(μa)=(λμ)

a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb復(fù)習(xí)向量的夾角OABOABOAB已知兩個(gè)非零向量

和，作，，則

叫做向量和的夾角．OAB復(fù)習(xí)問題θsF

一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移s，那么力F所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？為此，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。

功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量來確定.這給我們一種啟示，能否把“功”看成是這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？其中θ是F

與s

的夾角.W=|F||s|cosθ問題：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個(gè)一般向量，其結(jié)果又該如何表述？兩個(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積。

功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；一、平面向量的數(shù)量積的定義規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即（1）兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量.（3）

在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍是[0°，180°]．說明：

已知非零向量與，我們把數(shù)量叫作與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即規(guī)定（2）a·b中間的“·”在向量的運(yùn)算中不能省略，也不能寫成a×b

，a×b

表示向量的另一種運(yùn)算（外積）．思考：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？當(dāng)0°≤θ＜

90°時(shí)為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)為負(fù)。當(dāng)θ=90°時(shí)為零。數(shù)量積符號(hào)由cos

的符號(hào)所決定思考P104探究1a⊥ba·b＝0（1）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝︱a︱︱b︱；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝.（2）︱a·b︱≤︱a︱︱b︱

（3）問題：對(duì)于向量a，b，如何求它們的夾角θ？二、向量數(shù)量積的性質(zhì)P108.A.2.在△ABC中，求練習(xí):P106.2例、已知|a|=5，|b|=4，求a·b①a與b的夾角θ=120°②ａ∥ｂ③ａ⊥ｂP104例1鈍角或直角三角形鈍角三角形三、平面向量數(shù)量積的幾何意義向量a在b方向上的投影是什么？

投影一定是正數(shù)嗎？|b|cosθ叫向量b

在a

方向上的投影．OABab，過點(diǎn)B作垂直于直線OA，垂足為，則|b|cosθ︱a︱cosθ說明：（2）投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量。（1）OABabBOAabOABabθ為銳角時(shí)，|b|cosθ＞0θ為鈍角時(shí)，|b|cosθ＜0θ為直角時(shí)，|b|cosθ=0當(dāng)

=0

時(shí)投影為|b|當(dāng)

=180

時(shí)投影為-|b|.問題：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積a·b=︱a|︱b︱cosθ的幾何意義是什么？

數(shù)量積a·b等于a的模與b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘積，或等于b的模與a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘積.練一練：⑴交換律：⑵對(duì)數(shù)乘的結(jié)合律：⑶分配律：四、數(shù)量積的運(yùn)算律下面我們證明運(yùn)算律（3）：思考P104探究1⑶分配律：.OCAA1BB1想一想：∴

向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律

.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律嗎？說明：即：成立嗎？應(yīng)用舉例××××××√√常用公式P105.例2練習(xí)、P105例4P105例3五、利用平面向量數(shù)量積求解模的問題求向量的?？梢韵惹竽５钠椒?轉(zhuǎn)化為向量的平方)P108.A.3六、利用平面向量數(shù)量積求解夾角問題

練習(xí)1:已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a

5b垂直，a

4b與7a

2b垂直，求a與b的夾角P108.A.6課堂小結(jié)：1、向量的數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量

與，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量（或內(nèi)積,點(diǎn)乘），即規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0