2024屆山東省陽谷縣二中高三下學期第四次模擬數(shù)學試題

2024屆山東省陽谷縣二中高三下學期第四次模擬數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等比數(shù)列中，，則與的等比中項是（）A．±4 B．4 C． D．2．已知集合，，則A． B．C． D．3．一個袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中紅球1個、黑球2個，現(xiàn)隨機等可能取出小球，當有放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為；當無放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為，則（）A．， B．，C．， D．，4．已知函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知點，點在曲線上運動，點為拋物線的焦點，則的最小值為（）A． B． C． D．46．復數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（）A．3 B．C．2 D．7．下列函數(shù)中，值域為R且為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．8．若復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．9．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．1010．復數(shù)的虛部為（）A． B． C．2 D．11．設拋物線上一點到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（）A．2 B． C． D．312．一個陶瓷圓盤的半徑為，中間有一個邊長為的正方形花紋，向盤中投入1000粒米后，發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒，據(jù)此估計圓周率的值為（精確到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.147二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，已知，，是邊的垂直平分線上的一點，則__________.14．復數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)為________.15．的展開式中項的系數(shù)為_______．16．函數(shù)的極大值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設實數(shù)滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若，，求證：.18．（12分）已知，均為正數(shù)，且.證明：（1）；（2）.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面是矩形，面底面，且是邊長為的等邊三角形，在上，且面.（1）求證:是的中點；（2）在上是否存在點，使二面角為直角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.20．（12分）某景點上山共有級臺階，寓意長長久久．甲上臺階時，可以一步走一個臺階，也可以一步走兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為，每步上兩個臺階的概率為．為了簡便描述問題，我們約定，甲從級臺階開始向上走，一步走一個臺階記分，一步走兩個臺階記分，記甲登上第個臺階的概率為，其中，且．（1）若甲走步時所得分數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求甲在登山過程中，恰好登上第級臺階的概率．21．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，解關于x的不等式；（2）當時，若對任意實數(shù)，都成立，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線極坐標方程為.若直線交曲線于，兩點，求線段的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

利用等比數(shù)列的性質可得，即可得出．【題目詳解】設與的等比中項是．

由等比數(shù)列的性質可得，．

∴與的等比中項

故選A．【題目點撥】本題考查了等比中項的求法，屬于基礎題．2、D【解題分析】

因為，，所以，，故選D．3、B【解題分析】

分別求出兩個隨機變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關系.【題目詳解】可能的取值為；可能的取值為，，，，故，.，，故，,故，.故選B.【題目點撥】離散型隨機變量的分布列的計算，應先確定隨機變量所有可能的取值，再利用排列組合知識求出隨機變量每一種取值情況的概率，然后利用公式計算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.4、B【解題分析】

由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù)，可知函數(shù)為減函數(shù)，且，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù)，于是有，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是．故選：B.【題目點撥】本題考查利用分段函數(shù)的單調性求參數(shù)，一般要分析每支函數(shù)的單調性，同時還要考慮分段點處函數(shù)值的大小關系，考查運算求解能力，屬于中等題.5、D【解題分析】

如圖所示：過點作垂直準線于，交軸于，則，設，，則，利用均值不等式得到答案.【題目詳解】如圖所示：過點作垂直準線于，交軸于，則，設，，則，當，即時等號成立.故選：.【題目點撥】本題考查了拋物線中距離的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.6、D【解題分析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，從而求得，然后直接利用復數(shù)模的公式求解.【題目詳解】，所以，，故選：D.【題目點撥】該題考查的是有關復數(shù)的問題，涉及到的知識點有復數(shù)的乘除運算，復數(shù)的共軛復數(shù)，復數(shù)的模，屬于基礎題目.7、C【解題分析】

依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【題目詳解】A.，值域為，非奇非偶函數(shù)，排除；B.，值域為，奇函數(shù)，排除；C.，值域為，奇函數(shù)，滿足；D.，值域為，非奇非偶函數(shù)，排除；故選：.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性，意在考查學生對于函數(shù)知識的綜合應用.8、B【解題分析】

由題意得,,求解即可.【題目詳解】因為,所以.故選:B.【題目點撥】本題考查復數(shù)的四則運算,考查運算求解能力,屬于基礎題.9、C【解題分析】

根據(jù)復數(shù)模的性質計算即可.【題目詳解】因為，所以，，故選：C【題目點撥】本題主要考查了復數(shù)模的定義及復數(shù)模的性質，屬于容易題.10、D【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算，化簡出，即可得出虛部.【題目詳解】解：=，故虛部為-2.故選：D.【題目點撥】本題考查復數(shù)的除法運算和復數(shù)的概念.11、A【解題分析】

分析：題設的直線與拋物線是相離的，可以化成，其中是點到準線的距離，也就是到焦點的距離，這樣我們從幾何意義得到的最小值，從而得到的最小值.詳解：由①得到，，故①無解，所以直線與拋物線是相離的.由，而為到準線的距離，故為到焦點的距離，從而的最小值為到直線的距離，故的最小值為，故選A.點睛：拋物線中與線段的長度相關的最值問題，可利用拋物線的幾何性質把動線段的長度轉化為到準線或焦點的距離來求解.12、B【解題分析】

結合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可【題目詳解】如圖，由幾何概型公式可知：.故選：B【題目點撥】本題考查隨機模擬的概念和幾何概型，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

作出圖形，設點為線段的中點，可得出且，進而可計算出的值.【題目詳解】設點為線段的中點，則，，，.故答案為：.【題目點撥】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，涉及平面向量數(shù)量積運算律的應用，解答的關鍵就是選擇合適的基底表示向量，考查計算能力，屬于中等題.14、【解題分析】

利用復數(shù)的乘法運算求出，再利用共軛復數(shù)的概念即可求解.【題目詳解】由，則.故答案為：【題目點撥】本題考查了復數(shù)的四則運算以及共軛復數(shù)的概念，屬于基礎題.15、40【解題分析】

根據(jù)二項定理展開式，求得r的值，進而求得系數(shù)．【題目詳解】根據(jù)二項定理展開式的通項式得所以，解得所以系數(shù)【題目點撥】本題考查了二項式定理的簡單應用，屬于基礎題．16、【解題分析】

先求函的定義域，再對函數(shù)進行求導，再解不等式得單調區(qū)間，進而求得極值點，即可求出函數(shù)的極大值．【題目詳解】函數(shù)，，，令得，，當時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減，當時，函數(shù)取到極大值，極大值為.故答案為：．【題目點撥】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力，求解時注意定義域優(yōu)先法則的應用．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解題分析】

（1）依題意可得，考慮到，則有再分類討論可得；（2）要證明，即證，即證.利用基本不等式即可得證；【題目詳解】解：（1）由及，得，考慮到，則有，它可化為或即或前者無解，后者的解集為，綜上，的取值范圍是.（2）要證明，即證，由，得，即證.因為（當且僅當，時取等號）.所以成立，故成立.【題目點撥】本題考查分類討論法解絕對值不等式，基本不等式的應用，屬于中檔題.18、（1）見解析（2）見解析【解題分析】

（1）由進行變換，得到，兩邊開方并化簡，證得不等式成立.（2）將化為，然后利用基本不等式，證得不等式成立.【題目詳解】（1），兩邊加上得，即，當且僅當時取等號，∴.（2）.當且僅當時取等號.【題目點撥】本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.19、(1)見解析;(2).【解題分析】試題分析：(1)連交于可得是中點，再根據(jù)面可得進而根據(jù)中位線定理可得結果；(2)取中點，由（1）知兩兩垂直.以為原點，所在直線分別為軸,軸，軸建立空間直角坐標系，求出面的一個法向量，用表示面的一個法向量，由可得結果.試題解析：(1)證明：連交于，連是矩形，是中點.又面，且是面與面的交線，是的中點.(2)取中點，由（1）知兩兩垂直.以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖），則各點坐標為.設存在滿足要求，且，則由得：，面的一個法向量為，面的一個法向量為，由，得，解得，故存在，使二面角為直角，此時.20、見解析【解題分析】

（1）由題可得的所有可能取值為，，，，且，，，，所以的分布列為所以的數(shù)學期望．（2）由題可得，所以，又，，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列．（3）由（2）可得．21、（1）（2）【解題分析】

（1）當時，利用含有一個絕對值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）對分成和兩類，利用零點分段法去絕對值，將表示為分段函數(shù)的形式，求得的最小值，進而求得的取值范圍.【題目詳解】（1）當時，由得由得解：，得∴當時，關于的不等式的解集為（2）①當時，，所以在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，所以，由題設得，解得.②當時，同理求得.綜上所述，的取值范圍為.【題目點撥】本小題主要考查含有一個絕對值不等式的求法，考查利