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文檔簡介
廣東省聯(lián)考聯(lián)盟2024屆普通高中高三教學質量檢測試題(一)數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)在復平面內對應的點的坐標為,則下列結論正確的是()A. B.復數(shù)的共軛復數(shù)是C. D.2.已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布,從中隨機取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內的概率為()(附:若隨機變量ξ服從正態(tài)分布,則,.)A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%3.已知函數(shù)滿足=1,則等于()A.- B. C.- D.4.已知函數(shù)在區(qū)間有三個零點,,,且,若,則的最小正周期為()A. B. C. D.5.如圖,矩形ABCD中,,,E是AD的中點,將沿BE折起至,記二面角的平面角為,直線與平面BCDE所成的角為,與BC所成的角為,有如下兩個命題:①對滿足題意的任意的的位置,;②對滿足題意的任意的的位置,,則()A.命題①和命題②都成立 B.命題①和命題②都不成立C.命題①成立,命題②不成立 D.命題①不成立,命題②成立6.如圖,平面與平面相交于,,,點,點,則下列敘述錯誤的是()A.直線與異面B.過只有唯一平面與平行C.過點只能作唯一平面與垂直D.過一定能作一平面與垂直7.是定義在上的增函數(shù),且滿足:的導函數(shù)存在,且,則下列不等式成立的是()A. B.C. D.8.如圖,正三棱柱各條棱的長度均相等,為的中點,分別是線段和線段的動點(含端點),且滿足,當運動時,下列結論中不正確的是A.在內總存在與平面平行的線段B.平面平面C.三棱錐的體積為定值D.可能為直角三角形9.在中,角所對的邊分別為,已知,則()A.或 B. C. D.或10.已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.11.已知,則的值等于()A. B. C. D.12.已知菱形的邊長為2,,則()A.4 B.6 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.甲、乙、丙、丁4名大學生參加兩個企業(yè)的實習,每個企業(yè)兩人,則“甲、乙兩人恰好在同一企業(yè)”的概率為_________.14.我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載“今有人共買物,人出八,盈三;人出七,不足四.問人數(shù)、物價各幾何?”設人數(shù)、物價分別為、,滿足,則_____,_____.15.函數(shù)的極大值為________.16.已知,則展開式中的系數(shù)為__三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的焦距為2,且過點.(1)求橢圓的方程;(2)設為的左焦點,點為直線上任意一點,過點作的垂線交于兩點,(ⅰ)證明:平分線段(其中為坐標原點);(ⅱ)當取最小值時,求點的坐標.18.(12分)某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成.在此區(qū)域內原有一個以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎上,將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點.已知長為40米,設為.(上述圖形均視作在同一平面內)(1)記四邊形的周長為,求的表達式;(2)要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值.19.(12分)已知橢圓的離心率為,橢圓C的長軸長為4.(1)求橢圓C的方程;(2)已知直線與橢圓C交于兩點,是否存在實數(shù)k使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.20.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的零點;(2)設函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于,兩點,求證:;(3)若,且不等式對一切正實數(shù)x恒成立,求k的取值范圍.21.(12分)已知橢圓:的長半軸長為,點(為橢圓的離心率)在橢圓上.(1)求橢圓的標準方程;(2)如圖,為直線上任一點,過點橢圓上點處的切線為,,切點分別,,直線與直線,分別交于,兩點,點,的縱坐標分別為,,求的值.22.(10分)已知數(shù)列中,(實數(shù)為常數(shù)),是其前項和,且數(shù)列是等比數(shù)列,恰為與的等比中項.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式;(3)若,當時,的前項和為,求證:對任意,都有.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】
首先求得,然后根據(jù)復數(shù)乘法運算、共軛復數(shù)、復數(shù)的模、復數(shù)除法運算對選項逐一分析,由此確定正確選項.【題目詳解】由題意知復數(shù),則,所以A選項不正確;復數(shù)的共軛復數(shù)是,所以B選項不正確;,所以C選項不正確;,所以D選項正確.故選:D【題目點撥】本小題考查復數(shù)的幾何意義,共軛復數(shù),復數(shù)的模,復數(shù)的乘法和除法運算等基礎知識;考查運算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結合思想.2、B【解題分析】試題分析:由題意故選B.考點:正態(tài)分布3、C【解題分析】
設的最小正周期為,可得,則,再根據(jù)得,又,則可求出,進而可得.【題目詳解】解:設的最小正周期為,因為,所以,所以,所以,又,所以當時,,,因為,整理得,因為,,,則所以.故選:C.【題目點撥】本題考查三角形函數(shù)的周期性和對稱性,考查學生分析能力和計算能力,是一道難度較大的題目.4、C【解題分析】
根據(jù)題意,知當時,,由對稱軸的性質可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【題目詳解】解:由于在區(qū)間有三個零點,,,當時,,∴由對稱軸可知,滿足,即.同理,滿足,即,∴,,所以最小正周期為:.故選:C.【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期,涉及函數(shù)的對稱性的應用,考查計算能力.5、A【解題分析】
作出二面角的補角、線面角、線線角的補角,由此判斷出兩個命題的正確性.【題目詳解】①如圖所示,過作平面,垂足為,連接,作,連接.由圖可知,,所以,所以①正確.②由于,所以與所成角,所以,所以②正確.綜上所述,①②都正確.故選:A【題目點撥】本題考查了折疊問題、空間角、數(shù)形結合方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.6、D【解題分析】
根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質,結合線面垂直的關系,對選項中的命題判斷.【題目詳解】A.假設直線與共面,則A,D,B,C共面,則AB,CD共面,與,矛盾,故正確.B.根據(jù)異面直線的性質知,過只有唯一平面與平行,故正確.C.根據(jù)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知,故正確.D.根據(jù)異面直線的性質知,過不一定能作一平面與垂直,故錯誤.故選:D【題目點撥】本題主要考查異面直線的定義,性質以及線面關系,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.7、D【解題分析】
根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得,構建新函數(shù),利用導數(shù)可得為上的增函數(shù),從而可得正確的選項.【題目詳解】因為是定義在上的增函數(shù),故.又有意義,故,故,所以.令,則,故在上為增函數(shù),所以即,整理得到.故選:D.【題目點撥】本題考查導數(shù)在函數(shù)單調性中的應用,一般地,數(shù)的大小比較,可根據(jù)數(shù)的特點和題設中給出的原函數(shù)與導數(shù)的關系構建新函數(shù),本題屬于中檔題.8、D【解題分析】
A項用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交,則交線與平面ABC平行;B項利用線面垂直的判定定理;C項三棱錐與三棱錐體積相等,三棱錐的底面積是定值,高也是定值,則體積是定值;D項用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.【題目詳解】A項,用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線平行于平面ABC,故正確;B項,如圖:當M、N分別在BB1、CC1上運動時,若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面,故正確;C項,當M、N分別在BB1、CC1上運動時,△A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故正確;D項,若△DMN為直角三角形,則必是以∠MDN為直角的直角三角形,但MN的最大值為BC1,而此時DM,DN的長大于BB1,所以△DMN不可能為直角三角形,故錯誤.故選D【題目點撥】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結構特征、空間想象力和思維能力,意在考查對線面、面面平行、垂直的判定和性質的應用,是中檔題.9、D【解題分析】
根據(jù)正弦定理得到,化簡得到答案.【題目詳解】由,得,∴,∴或,∴或.故選:【題目點撥】本題考查了正弦定理解三角形,意在考查學生的計算能力.10、B【解題分析】
求出導函數(shù),確定函數(shù)的單調性,確定函數(shù)的最值,根據(jù)零點存在定理可確定參數(shù)范圍.【題目詳解】,當時,,單調遞增,當時,,單調遞減,∴在上只有一個極大值也是最大值,顯然時,,時,,因此要使函數(shù)有兩個零點,則,∴.故選:B.【題目點撥】本題考查函數(shù)的零點,考查用導數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)零點存在定理確定參數(shù)范圍.11、A【解題分析】
由余弦公式的二倍角可得,,再由誘導公式有,所以【題目詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選:A【題目點撥】本題考查了學生對二倍角公式的應用,要求學生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導公式,屬于簡單題12、B【解題分析】
根據(jù)菱形中的邊角關系,利用余弦定理和數(shù)量積公式,即可求出結果.【題目詳解】如圖所示,菱形形的邊長為2,,∴,∴,∴,且,∴,故選B.【題目點撥】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應用問題,屬于基礎題..二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
求出所有可能,找出符合可能的情況,代入概率計算公式.【題目詳解】解:甲、乙、丙、丁4名大學生參加兩個企業(yè)的實習,每個企業(yè)兩人,共有種,甲乙在同一個公司有兩種可能,故概率為,故答案為.【題目點撥】本題考查古典概型及其概率計算公式,屬于基礎題14、【解題分析】
利用已知條件,通過求解方程組即可得到結果.【題目詳解】設人數(shù)、物價分別為、,滿足,解得,.故答案為:;.【題目點撥】本題考查函數(shù)與方程的應用,方程組的求解,考查計算能力,屬于基礎題.15、【解題分析】
對函數(shù)求導,根據(jù)函數(shù)單調性,即可容易求得函數(shù)的極大值.【題目詳解】依題意,得.所以當時,;當時,.所以當時,函數(shù)有極大值.故答案為:.【題目點撥】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質,考查運算求解能力以及化歸轉化思想,屬基礎題.16、1.【解題分析】
由題意求定積分得到的值,再根據(jù)乘方的意義,排列組合數(shù)的計算公式,求出展開式中的系數(shù).【題目詳解】∵已知,則,
它表示4個因式的乘積.
故其中有2個因式取,一個因式取,剩下的一個因式取1,可得的項.
故展開式中的系數(shù).
故答案為:1.【題目點撥】本題主要考查求定積分,乘方的意義,排列組合數(shù)的計算公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)(ⅰ)見解析(ⅱ)點的坐標為.【解題分析】
(1)由題意得,再由的關系求出,即可得橢圓的標準方程;(2)(i)設,的中點為,,設直線的方程為,代入橢圓方程中,運用根與系數(shù)的關系和中點坐標公式,結合三點共線的方法:斜率相等,即可得證;(ii)利用兩點間的距離公式及弦長公式將表示出來,由換元法的對勾函數(shù)的單調性,可得取最小值時的條件獲得等量關系,從而確定點的坐標.【題目詳解】解:(1)由題意得,,所以,所以橢圓方程為(2)設,的中點為,(?。┳C明:由,可設直線的方程為,代入橢圓方程,得,所以,所以,則直線的斜率為,因為,所以,所以三點共線,所以平分線段;(ii)由兩點間的距離公式得由弦長公式得所以,令,則,由在上遞增,可得,即時,取得最小值4,所以當取最小值時,點的坐標為【題目點撥】此題考那可是橢圓方程和性質,主要考查橢圓方程的運用,運用根與系數(shù)的關系和中點坐標公式,同時考查弦長公式,屬于較難題.18、(1),.(2)【解題分析】
(1)由余弦定理的,然后根據(jù)直線與圓相切的性質求出,從而求出;(2)求得的表達式,通過求導研究函數(shù)的單調性求得最大值.【題目詳解】解:(1)連.由條件得.在三角形中,,,,由余弦定理,得,因為與半圓相切于,所以,所以,所以.所以四邊形的周長為,.(2)設四邊形的面積為,則,.所以,.令,得列表:+0-增最大值減答:要使改建成的展示區(qū)的面積最大,的值為.【題目點撥】本題考查余弦定理、直線與圓的位置關系、導數(shù)與函數(shù)最值的關系,考查考生的邏輯思維能力,運算求解能力,以及函數(shù)與方程的思想.19、(1);(2)存在,當時,以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O.【解題分析】
(1)設橢圓的焦半距為,利用離心率為,橢圓的長軸長為1.列出方程組求解,推出,即可得到橢圓的方程.(2)存在實數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點.設點,,,,將直線的方程代入,化簡,利用韋達定理,結合向量的數(shù)量積為0,轉化為:.求解即可.【題目詳解】解:(1)設橢圓的焦半距為c,則由題設,得,解得,所以,故所求橢圓C的方程為(2)存在實數(shù)k使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O.理由如下:設點,,將直線的方程代入,并整理,得.(*)則,因為以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O,所以,即.又,于是,解得,經(jīng)檢驗知:此時(*)式的,符合題意.所以當時,以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O【題目點撥】本題考查橢圓方程的求法,橢圓的簡單性質,直線與橢圓位置關系的綜合應用,考查計算能力以及轉化思想的應用,屬于中檔題.20、(1)x=1(2)證明見解析(3)【解題分析】
(1)令,根據(jù)導函數(shù)確定函數(shù)的單調區(qū)間,求出極小值,進而求解;(2)轉化思想,要證,即證,即證,構造函數(shù)進而求證;(3)不等式對一切正實數(shù)恒成立,,設,分類討論進而求解.【題目詳解】解:(1)令,所以,當時,,在上單調遞增;當時,,在單調遞減;所以,所以的零點為.(2)由題意,,要證,即證,即證,令,則,由(1)知,當且僅當時等號成立,所以,即,所以原不等式成立.(3)不等式對一切正實數(shù)恒成立,,設,,記,△,①當△時,即時,恒成立,故單調遞增.于是當時,,又,故,當時,,又,故,又當時,,因此,當時,,②當△,即時,設的兩個
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