《現(xiàn)代控制理論習(xí)題答案》機(jī)工版

《現(xiàn)代控制理論參考答案》

第一章答案

1-1試求圖1-27系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立其狀態(tài)空間表達(dá)式。

圖1-27系統(tǒng)方塊結(jié)構(gòu)圖

解：系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下:

系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下:

X]=x2

?_Kb

A2—------Xx?

2

勺Kn1雪

7；/一彳…力米+彳4

X

5--K/3+KiX6

?&K]&

(，

X6=~~^Xl~T~X+~^U

勺Kp3

令6(s)=y,則y=2

所以，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及輸出方程表達(dá)式為

010000

扁,0

*00000-西-

J20

x2X2

*p__K,Kp0

00X

與73

7+oU

001000X4

0

X5

00-K100K\K

人5]

*_A_A_^6.

0000K,

工6KK

LPp」

y=[l0000o]

X4

_16_

1-2有電路如圖1-28所示。以電壓為輸入量，求以電感中的電流和電容上的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻R2

上的電壓作為輸出量的輸出方程。

U

圖1-28電路圖

解：由圖，令=的/2=%2，/=%3，輸出量丁=衣2工2

x\二_4

R/1+Li當(dāng)+%3=〃

七

*1

X2=-------d-----------

有電路原理可知：LX2^-Rx2=犬3既得23

22L2L2

=x2+Cx3

y=R2X2

寫成矢量矩陣形式為:

1

&01

14

x20x2+0u

L,L2

11X30

0

c

xl

0

y=[oR2

1-4兩輸入對(duì),町，兩輸出月，為的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖1-30所示，試求其狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)陣。

圖1-30雙輸入--雙輸出系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖

解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下所示:

y=[1010”

一七

_龍4

s-10

s+a0

(5/-A)=]

0s

-10o--1-oo-

as+4]0ab、0

WM=(sI-A)-'B=26

-10s-100

0aa0b

a5^32

-10000

a2s+at0&仄0

Wllv(s)=C(sI-Ay'B=\\010：

-10s-100

0%0b2

1-5系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由下列微分方程描述

(2)y+5y+7y+3y=必+3〃+2M

列寫其相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。

再

y=[231x2

一七一

相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下:

1-6(2)已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)W(s)=―+"一試求出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型的實(shí)現(xiàn),并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖

s($+2)(s+3)2

io

6(5+1)-43

解：W(s)、-y°H-----------1-+---3------

s(s+2)(s+3)-(s+3)~5+35+2s

0

0

-2

0

102x2

y-43

T3九3

*4

1-7給定下列狀態(tài)空間表達(dá)式

01

=-2-3

-11

y=[001,x2

(1)畫出其模擬結(jié)構(gòu)圖

(2)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

解：

5-10

(2)W(s)=(s/—A)=2s+30

1-1s+3_

W—H=S(S+3)2+2(S+3)=(S+3)(S+2)(S+1)

(s+3)25+30

Gv/-A)T=-~1~--2(5+3)s(s+3)

0

(s+3)(s+2)(s+1)

-5-55-1(5+1)(5+2)

-

(5+3)2s+3oTo

________1________

叱“(S)=(S/—A)TB=-2(5+3)s(s+3)01

(s+3)(s+2)(s+l)

-5-55-1(s+1)(5+2)2

(5+3)

________1________

s(s+3)

(5+3)(5+2)(5+1)

(25+1)(5+3)

(5+3)

________1________

叱n.(s)=C(s/-A)TB=[001s(s+3)

(5+3)(5+2)(5+1)

(25+1)(5+3)

(2s+1)

(s+2)(5+1)

1-8求下列矩陣的特征矢量

■010

(3)A=302

-12-7-6

2-10

解：A的特征方程囚-i-32-2=23+622+lU+6=0

1272+6

解之得：4=一1，4=一2,4=一3

010AiP\\

當(dāng)4=一1時(shí),302P21P21

-12-7-6P31P31

解得：〃21=〃31=一〃11令Pu=1得

（或令=—1，得片

01

當(dāng)4=一2時(shí),30

-12-7

P\22

1

解得：〃22=一2〃12,"32=]82令02=2得8=P22-4

P321

（或令P[2=1，得鳥

01

當(dāng)4=一3時(shí),30

-12

解得：〃23=-3〃|3,P33=3P13令，13=1得

1-9將下列狀態(tài)空間表達(dá)式化成約旦標(biāo)準(zhǔn)型（并聯(lián)分解）

1

(2)

120

兒011

2-4-12

解：A的特征方程|刀_小-12-2=(丸_1)(4_3)2=0

-112-3

禮=3,4=1

41-2PuPn

當(dāng)4=3時(shí),102Pi\=3P21

1-13_一P3二_P31

解之得P21=P31P"令p“=l得

4

當(dāng)4=3時(shí)，1

1

解之得〃12=P12+1，，22=必2令〃12=1得

-41-2"P13-

當(dāng)4=1時(shí)，102P23=P23

1-13__P33__，33_

“130

解之得“3=°，〃23=2〃33令"33=1

得8=。23=2

_P33_1

1100-12

T=102丁一］=11-2

10101-1

110

120314'

CT=I02

01I203

101

約旦標(biāo)準(zhǔn)型

31o8-1

x=03oX+-52u

001-34

314

yx

203

1-10已知兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為Wi(s)和W2(s)

1111

S+1s+25+3s+4

（s）=明(s)

叱54-11

00

s+2.5+1

試求兩子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)結(jié)和并聯(lián)連接時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，并討論所得結(jié)果

解：（1）串聯(lián)聯(lián)結(jié)

（2）并聯(lián)聯(lián)結(jié)

111

W(s)=叱(s)土叱(s)=5+1s+2±s+35+4

5+11

00

s+2_.S+1

1-11（第3版教材）已知如圖1-22所示的系統(tǒng),其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別為

1

54-1s()

叱⑸W2(s)=

101

0

s+2

求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

解：

111

107+T

5+1sS

叱G）W2I（S）

1011

00

5+25+2

1s+2

10s+1s

/+叱(s)W(s)=/+S+1s

1s+3

0010

s+2s+2

s+315+15+1

s+2S(S+3)

[/+Wi(s)W2(s)『s+2

5+3s+2s+2

00

5+1s+3

s+31

s+15+25+1

W(s)=[l+W[(s)%(s)『叱(s)=

s+35+2

05+1JL

s+2

s+35+1

54-1(s+2)(s+l)5+2s(s+3)

s+311

00

5+1s+3

1-11(第2版教材)已知如圖1-22所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別為

1」

W,(s)=s+1J

2

5+2

求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

解：

11

10

5+1s5+1s

Wl(s)Wl(s)=

1011

22

s+2_s+2.

11s+2

—一r1

I+Wl(s)Wl(s)=s+1S5+1s

][0s+3

22

s+2_s+2_

s+3

[/+町s叫⑸『=黑公s+2S

s+2

-2

s+L

s+31

s(s+l)s+2ss+2

W(s)=[l+Wt(s)%(s)「叱(5)S

s+21

s~+5s+2-2

5+1s+2

s+32s+31

--------1—--------1--------

s(s+1)(s+2)2ss(s+2)s(s+2)

52+5,V+2_212(5+2)21

——+----

5+2s+1S5+1

(S+1)2(3S+8)5+1

(S+2)2(S2+5S+2)>v-+5s+2

53+6s2+6s5+2

(s+2)(M+5S+2)s~+5s+2

1-12已知差分方程為

y*+2)+3Mz+1)+2y(k)=2u(k+1)+3〃伏)

試將其用離散狀態(tài)空間表達(dá)式表示，并使驅(qū)動(dòng)函數(shù)u的系數(shù)b(即控制列陣)為

「11

(1)b=

1

解法1：

2z+311

W(z)-------1-----

z~+3z+2z+1z+2

-101

x(k+1)%(1)+]u(k)

0-2

y(k)=[1l]x(Zr)

解法2：

x](k+1)=x2(k)

x2(k+1)=-2x1(k)-3x2(k)+u

y(k)=3尤](&)+2尤2(氏)

■011「01

x(k+1)=_2_3%(%)+[”伏)

y(k)=[32卜(A)

求T,使得廣出=1得廣=11所以-f

_ijL°L1

o

LAT=

o-i

CT=[32oi=[3-1]

所以，狀態(tài)空間表達(dá)式為

--401「「

z(1+l)=_5_]z(D+iu(k)

y(Z)=[3—l]z(Z)

第二章習(xí)題答案

2-4用三種方法計(jì)算以下矩陣指數(shù)函數(shù)e，'。

解：第一種方法：令|2/-A|=0

A-1—1,、2

則=0,即(X—4=0。

-44-1')

求解得到4=3，4=—1

當(dāng)4=3時(shí)，特征矢量0=Al

L^J

由AR=4B，得[:]四』

.4IJLP21J13P21

HJPU+P2I=3PU市人ri-

即，，可令P]=

〔4P“+P2|=3〃2iL2_

當(dāng)4=—1時(shí)，特征矢量〃2=

,1

由Ap,=4P2，得

4

nnJ%+〃22=-Pl2中小

G叫，可令p,-

14〃|2+〃22=一〃22

1]_'

11"I.24

則T=,廠|=Z4

_2-2J￡

-2-4_

1,113,1

—e3+—e-e----

0242244

]_,11"

e3/+1e-/-eH—

,24.22

第二種方法，即拉氏反變換法:

-1

sI-A=

s—1

1

[w-Ar'=__3--ST

L」7-3)(s+l)145-1

5-1]

(s-3)(s+l)(s-3)(s+l)

4s-l

(s—3)(s+l)(s-3)(s+l)

2(s-35+1)

11

s—35+1

1"1

-e+-e—e~——e

*=Z/[(s/_A門2244

1〃3J1

e3,-e-'—eH—e

22

第三種方法，即凱萊一哈密頓定理

由第一種方法可知4=3，4=T

313,3

3/—e+-e

444

13,1

-c—e

4-444

44

2-5下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件，如果滿足，試求與之對(duì)應(yīng)的A陣。

]_

e~'+e"-e~'+e"

2e~2'-2e~'1

(3)①⑺(4)①⑴24

2

2e~'-e-'-t?_3/1,3/

—e+e-2(、e+e-

10

解：（3）因?yàn)棰伲?）=1,所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件

01

220-2

…（人。-2e-'+2e-'-4e"'+2e~'

-e~'+2e~2'-4e~2'+e''1-3

/=0

10

（4）因?yàn)棰伲?）==/,所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件

0

1-,+33,J3*

—e+—e—eH-e

人①山22441

_|_4

1,,33,

e-'+3e3'——e+—e

22r=0

2-6求下列狀態(tài)空間表達(dá)式的解：

-011「0一

X=0ojX+|_1_U

y=（l,0）x

初始狀態(tài)x（0）=；,輸入“?）時(shí)單位階躍函數(shù)。

①")=*=嗎s/—A)[=0]

因?yàn)锽=；,u(t)=I(t)

x(r)=①(f)x(0)+J；①(/■-

2-9有系統(tǒng)如圖2.2所示，試求離散化的狀態(tài)空間表達(dá)式。設(shè)采樣周期分別為T=O.ls和Is,而%和的為分段常數(shù)。

U2

圖2.2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解：將此圖化成模擬結(jié)構(gòu)圖

列出狀態(tài)方程

M=ku]-x}

x2=x]-u2

y=x2+2x]

-10

x—

10

），=[21]

則離散時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式為

x（左+l）=G（T）x（左）+H（T）“伏）

y（左）=cr（左）+￡>〃（攵）

A

由G（T）=*和"（T）=J：e'dtB得:

f[”-＞叫曾THE

0]_[k(l-e-T)0

T」k(T-l+e")-T

o]/、

u(k)

，，八T—1

y(%+i)=[2i卜伏)

「e-0-1OlFMl—2一叫0-

當(dāng)T=O.l時(shí)x(Z+l)=,x(Q+/\u(k)

Ll-^n1J[《的-0.9)-0.”

y(%+i)=[2i卜伏)

第三章習(xí)題

3-1判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性。系統(tǒng)中a,b,c,d的取值對(duì)能控性和能觀性是否有關(guān)，若有關(guān)，其取

值條件如何？

（1）系統(tǒng)如圖3.16所示:

圖3.16系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖

解：由圖可得:

X1=-ax1+u

*

x2=-bx2

x3=-CX3+32+=X,4-x2-cx3

x4=x3-dx4

y=x3

狀態(tài)空間表達(dá)式為:

/-a000-~x\T

0—b000

X2+

11-c0必0

X3.

*

001-d丸0

_xd4_

y=001Ojr

由于乙、與、X4與M無關(guān)，因而狀態(tài)不能完全能控,為不能控系統(tǒng)。由于y只與芻有關(guān)，因而系統(tǒng)為不完全

能觀的，為不能觀系統(tǒng)。

(3)系統(tǒng)如下式：

0d

y=00

解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示，A為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。要使系統(tǒng)能控，控制矩陣b中相對(duì)于約旦塊的最后一行

元素不能為0，故有awO力/0。

要使系統(tǒng)能觀，則C中對(duì)應(yīng)于約旦塊的第一列元素不全為0,故有cwO,dwO。

3-2時(shí)不變系統(tǒng)

-3111

X=x+u

1-311

1

yX

1

試用兩種方法判別其能控性和能觀性。

解：方法一:

-311?11

A=,B=,c=

1-3111-1

1-2-2

M=[BAB]

1-2-2

rankM=1<2,系統(tǒng)不能控。

11

C1-1

N

CA-2-2

-44

rankN=2,系統(tǒng)能觀。

方法二：將系統(tǒng)化為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。

|與-九+；=（尤+3）2一1=0

4=—2,4=—4

則狀態(tài)矢量：A|P|=44nP1=；

「r

A2P2-4P2=>P2=[

￡■

2

]_

2

1-20

-1-0-4

11

00

T」B中有全為零的行，系統(tǒng)不可控。CT中沒有全為0的列，系統(tǒng)可觀。

3-3確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù)4和以

CCx11r-]

(1M^',b=,,C=[1-1]

0a2][_1

解：構(gòu)造能控陣：

要使系統(tǒng)完全能控，則即%-&2+1。0

構(gòu)造能觀陣：

「C]「1—1

N二-

CA_%l-a2

要使系統(tǒng)完全能觀，則1-%力-%，即%-%+1工0

3-4設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是

y(s)_s+a

w(5)s'+10s~+275+18

（1）當(dāng)a取何值時(shí)，系統(tǒng)將是不完全能控或不完全能觀的？

（2）當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能控的狀態(tài)空間表達(dá)式。

（3）當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能觀的狀態(tài)空間表達(dá)式。

y(s)_s+a

解：⑴方法1：W(s)

"(s)(s+l)(s+3)(s+6)

系統(tǒng)能控且能觀的條件為W（s）沒有零極點(diǎn)對(duì)消。因此當(dāng)a=l,或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀。

方法2：

a-1a-3a-6

3(s)_s+aIT

u(s)(s+l)(s+3)(s+6)s+1s+3s+6

4——1,A，2——3,4——6

F-ioojm

[。0-6j”

ci—1ci—3ci—6

y=-------------------------?

10615

系統(tǒng)能控且能觀的條件為矩陣C不存在全為0的列。因此當(dāng)a=l,或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀。

（2）當(dāng)a=l,a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)可化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型

0

X=0

-18

y=[a1

(3)根據(jù)對(duì)偶原理,當(dāng)a=l,a=2或a=4時(shí)，系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)n型為

0

x=1

0

y=[0

3-6已知系統(tǒng)的微分方程為：y+6y+lly+6y=6〃

試寫出其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及其傳遞函數(shù)。

解：4=6,q=ll,%=6，%=3，%=6

系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

0

x=0

—6

y=[6

傳遞函數(shù)為

-1

W(s)=C(sI-A)[B=[600：0s

611

其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為:

00

X=10

01

y=[00

6

傳遞函數(shù)為W(s)

3—6$2—lls+6

3-9已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

.5"+6s+8

W(s)^—----------

s-+4s+3

試求其能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。

癡＞Tizz、s~+6s+82s+5

解：W(5)=------------=1+-：------------

52+4.V+352+4.V+3

系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為

010

x=X+U

-3-41

y=[52]x+u

能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為

0-35

X-X+

1-42

y=[0l]x+u

3-10給定下列狀態(tài)空間方程,試判別其是否變換為能控和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。

0

x=-2

-1

y[0

0100

解：A-2-30,b=1c=[o01]

-11-32

01-3

M=卜Ab3]=1-27

2-511

rankM=2<3,系統(tǒng)為不能控系統(tǒng)，不能變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型

01

-1-3

-79

rankN=3,系統(tǒng)為能觀系統(tǒng)，口以變換為能觀標(biāo)準(zhǔn)型,

3-11試將下列系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解

12-1

(1)A=010,b=11]

0-43

解:

0-1-4

2

M=[/?AhAb\=00rankM=2<3,系統(tǒng)不是完全能控的。

13

-10

構(gòu)造奇異變換陣尺:《R?=Ab=0,R.3=1,其中R3是任意的，只要滿足（滿秩。

30

0-10301

即凡001得Ri-100

130010

0-32

A=R；'ARC=14-2b=R；'b=0c=cRc=[12-1]

001

3-12試將下列系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解

12-1

(1)A010,b

0-43

12

解:由已知得A011]

0-4

C1-1

則有NCA2-3

CA24-7

rankN=2<3,該系統(tǒng)不能觀

1-11

構(gòu)造非奇異變換矩陣《丁，有用’=2-32

001

3-1-1

則&=2-10

001

'0101pj

x=wAR、x+用血=-230x+2?

[—732]用

y=cl^x-[100]x

3-13試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解

(1)2]

11

解:1226

0-2

rankN=3,則系統(tǒng)能觀

所以此系統(tǒng)為能控并且能觀系統(tǒng)

7

-3

11144

]_

取(2=21226,則以7-3

~2

20-2

￡5

-3