【2019高考數(shù)學(xué)真題全國卷】2019年全國卷Ⅰ理數(shù)高考試題(附答案)

[2019高考數(shù)學(xué)真題全國卷】2019年全國卷I理數(shù)

高考試題（附答案）

絕密★啟用前

2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，23小題，滿分150分，考試用時120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考

場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂

在答題卡的相應(yīng)位置上。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡

上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈

后，再選涂其它答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須

寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原

來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以

上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題

卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每

小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

2

1,已知集合"="|"4<*<2},y={x|x-x-6<0}>則“nN=

A.{44<%<3}{X|-4<X<-2}C.

{x卜2Vx<2}0{x|2<x<3}

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足匕T=Lz在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則

A.(x+l>+必=1B.(x-\)2+y2=lC.

X2+(7-1)2=1D.x2+(y+l)2=l

3.已知。=1%。2b=嚴(yán),c=0.21則

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

4.古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚

x/5-lx/5-l

臍至足底的長度之比是M(丁心0.618,稱為黃金分割比

例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至

x/5-l

咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是丁.若某人滿足上述

兩個黃金分割比例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為

26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190

cm

sinx-Fx

5.函數(shù)f(x)=COSX+/在［-兀述］的圖像大致為

6.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一

“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“一一”和

陰爻“——"，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重圭卜,

則該重卦恰有3個陽爻的概率是

5II21

A.16B.32C.32D.16

7.已知非零向量a,b滿足-1=2網(wǎng),且--功Lb,則a與b

的夾角為

烏烏2支5兀

A.6B.TC.TD.T

]

2+-^

2+-

8.如圖是求2的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入

A=￡B.A=2+：C.A=&D.A="5

A.

9.記一為等差數(shù)列SJ的前n項(xiàng)和.已知S4=0,%=5,則

A.勺=2〃-5B.?！?3〃_10c.

5=-n2-2?

S"=2〃2—8〃

D"2

10.已知橢圓C的焦點(diǎn)為片（T，°），瑪（1，°）,過F2的直線與C交

于A,B兩點(diǎn).若I伍1=2|居例，I加班則C的方程為

11.關(guān)于函數(shù)“x）=sin|x|+|sinx|有下述四個結(jié)論:

兀

①f（x）是偶函數(shù)②f（x）在區(qū)間（5,兀）單調(diào)遞

增

③f（X）在［-兀，可有4個零點(diǎn)④f（X）的最大值為2

其中所有正確結(jié)論的編號是

A.①②④B.②④C.①④D.①③

12.已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)在球0的球面上，

PA=PB=PC,4ABC是邊長為2的正三角形，E,F分別是PA,PB的

中點(diǎn)，ZCEF=90°,則球。的體積為

A.8"兀B.4\feiC.28氏D.瓜R

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線V=3,+對廿在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為

14.記S,,為等比數(shù)列E｝的前n項(xiàng)和.若4=3'“"%,則

Ss=.

15.甲、乙兩隊進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊贏

得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績，甲

隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊主場取勝的

概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，

則甲隊以4：1獲勝的概率是.

16.已知雙曲線C：不下=儂>°'">°)的左、右焦點(diǎn)分別為

F.,F2,過B的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若

布=被而取=0,則C的離心率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟。第17?21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第

22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.(12分)

的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)

(sinB-sinC)2=sin2J-sinBsinC.

(1)求A；

(2)若也a+b=2c,求sinC.

18.（12分）

如圖，直四棱柱ABCD-AECD的底面是菱形，AA尸4,AB=2,

ZBAD=60°，E,M,N分別是BC,BB“AJ）的中點(diǎn).

（1）證明：MN〃平面C,DE；

（2）求二面角A-MA「N的正弦值.

19.（12分）

3

已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為5的直線1與C的交

點(diǎn)為A,B,與x軸的交點(diǎn)為P.

（1）若|AF|+|BF|=4,求1的方程；

（2）若/=3而，求|AB.

20.（12分）

已知函數(shù)/（乃=疝*-㈣1+外，/3為/。）的導(dǎo)數(shù).證明：

（-1-）

（1）/'（X）在區(qū)間'’2,存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)/(X)有且僅有2個零點(diǎn).

21.(12分)

為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種

新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩

只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲

藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試

驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，

就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問

題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的

白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈

且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈

或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為

a和B,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時都賦予4分，P,(，=0，1L，8)表

示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概

ab

率，則，。=°,熱*Pi=Pi-i+P>+CPM(z=1,2,-,7),其中

a=P(X=-l),b=P(X=O)fc=P(X=l).假設(shè)a=0.5,尸=0.8.

(i)證明：但+「PJ(i=0，l，2，?、7)為等比數(shù)列；

(ii)求,并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題

作答。如果多做，則按所做的第一題計分。

22.［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

4/

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為‘1+〃(t為參

數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，

直線1的極坐標(biāo)方程為2pcos0+6psin0+ll=0.

(1)求C和1的直角坐標(biāo)方程；

(2)求C上的點(diǎn)到1距離的最小值.

23.［選修4—5：不等式選講］(10分)

已知a,b,c為正數(shù)，且滿足abc=l.證明：

LLL<^22

⑴。+b+ca+b+c；

(2)(a+b)3+(b+c>+(c+a>224.

2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)?參考答案

一、選擇題

L答案：C

解答：由題意可知，N={X|-2<X<3},又因?yàn)椤?{X|-4<X<2},則

M[]N={x\-2<x<2}f故選C.

2.答案：C

解答：:復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),z=x+W,

22

.?」X+MT=1,AX+(J-1)=1.

3.答案：B

解答：由對數(shù)函數(shù)的圖像可知：，=1"2。.2<0；再有指數(shù)函數(shù)

的圖像可知：6=2。2>1,0<c=0.2OJ<l,于是可得到：a<c<b.

4.答案:B

解答：

方法一：

設(shè)頭頂處為點(diǎn)/,咽喉處為點(diǎn)人脖子下端處為點(diǎn)C,肚臍處

為點(diǎn)。，腿根處為點(diǎn)E，

V5-l=AB=

足底處為幾BD=t,~T~,根據(jù)題意可知而一，故

4B=力;

又4。=/3+3。=(/1+1)/,而一，故一工；

「廣…二2=^—!-?0.618Z1,、一/口

所以身圖義，將2代入可得

力標(biāo)4.247.

根據(jù)腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm可得

AB<AC,DF>EF；

2+1V5-1

/>105,,2=-——a0.618,,、、f

即為<26,2，將2代入可得40</<42,

所以169.6<〃<178.08,故選B.

方法二:

由于頭頂至咽喉的長度與頭頂至脖子下端的長度極為接近，

故頭頂至脖子下端的長度26cm可估值為頭頂至咽喉的長度；根據(jù)

4s-\

人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是丁

石一10

（丁”也稱為黃金分割比例）可計算出咽喉至肚臍的長度約

為42cm；將人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度相加可

得頭頂至肚臍的長度為68cm,頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的

V5-1

長度之比是2可計算出肚臍至足底的長度約為110；將頭頂至肚

臍的長度與肚臍至足底的長度相加即可得到身高約為178cm,與答

案175cm更為接近且身高應(yīng)略小于178cm,故選B.

5.答案：D

csin(-x)-x.

f(-x)=-----』-------f_smx+x

解答：?/cos(-x)+(-x)=-COSX+X2=—/(%),

??./（x）為奇函數(shù)，排除A,

排除C,

sin%%n

〃乃）=>0

cos7+21+/

(萬)，排除B,故選D.

6.答案：A

解答：每爻有陰陽兩種情況，所以總的事件共有26種，在6個

〃=盤=型=上

位置上恰有3個是陽爻的情況有容種，所以一26一64—16.

7.答案：B

解答：設(shè)Z與否的夾角為。，V（a-b）lb,

...0-分叼那際”用=0,...cos〃弓，產(chǎn).

8.答案：A

解答：把選項(xiàng)代入模擬運(yùn)行很容易得出結(jié)論.

1

公—F

2+一J

2+2,滿足條件,

選項(xiàng)A代入運(yùn)算可得

A=2+—

2+2,不符合條件,

選項(xiàng)B代入運(yùn)算可得

選項(xiàng)C代入運(yùn)算可得2,不符合條件,

_J4=1+—

選項(xiàng)D代入運(yùn)算可得4,不符合條件.

9.答案：A

S4=4q+6d=0q=-3

解析：依題意有卜5=4+44=5,可得

d=2,勺=2〃-5,

2

Sn=n-4n

10.答案：B

解答：由橢圓。的焦點(diǎn)為片（T°）,僅1，。）可知。=1,又

號=2|居8|,可設(shè)|8鳥|=%則14Kl=2%

|B￡H明=3而,根據(jù)橢圓的定義可知1m1+1明1=加+3加=2。，得

2,所以?2,1=?,可知{0,肛

R}L/

根據(jù)相似可得以巧代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程/+廬一=1，得

〃=3,b2=a2-c2=2,

“2-

二橢圓c的方程為32.

11.答案：C

解答：因?yàn)?（—）=5間一目+酬（一刈=5出國+曲目=/（》）,所以/*）是

5TT2TT7t,5萬2.7V

偶函數(shù)，①正確，因?yàn)椴??飛勺㈤，而“不”"T）,所以②錯

誤，

畫出函數(shù)/（X）在卜肛句上的圖像，很容易知道/（X）有3零點(diǎn)，所

以③錯誤，

結(jié)合函數(shù)圖像，可知/G）的最大值為2,④正確，故答案選C.

12.答案：D

八/PA2+PC2-AC2X2+X2-4X2-2

一“、licos/.PAC=--------------------=------------=——；—

解答：設(shè)/〃=X,則2PAPC2-x-xX2,

X22cxX2-2X2

="4"x2*,x?，=2

:.CE2=PE，+PC-2PE?PC?cos4AC42x24,

EF=LpB=土，CF=6

VZC￡F=90°,22,

—2+—=3七

：.CE2+EF2=CF2,BP4+~4,解得》=也，

:.PA=PB=PC=0又4B=BC=4C=2,

易知P4P3/C兩兩相互垂直,

x/6

故三棱錐尸-血。的外接球的半徑為2,

士力?(漁］=木)

??.三棱錐尸馬旌的外接球的體積為312J,故選口.

二、填空題

13.答案：y=3x

解答：,//=3(2x+l)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+l)e*,

，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)(°，°)處的切線方程的斜率

左=3,.?.切線方程為歹=3》.

121

14.答案：&=亍

解答：L設(shè)等比數(shù)列公比為4,

121

?/)2=qg5,...9=3,.?..$=虧.

15.答案：0.18

解答：甲隊要以4:1,則甲隊在前4場比賽中輸一場，第5場

甲獲勝，由于在前4場比賽中甲有2個主場2個客場，于是分兩

種情況：

C\-0.6-0.4.0.52-0.6+0.62?C；?0.5?0.50.6=0.18

16.答案：2

UUIBuuuUUUUUUUUUUUU

解答：由耳/=鴻8書8=0知/是防的中點(diǎn)，RB1F,B,又。

是小心的中點(diǎn)，所以。力為中位線且。才1步，所以＜==°￡,因此

“04=404,又根據(jù)兩漸近線對稱,少所以

e=

ZF2()B=60。，J+(Z)2=&+-60。=2

三、解答題

17.解:(1)由已知得si/^+si/C-sinZnsinBsinC,故由正

弦定理得從+c2-/=歷.

62+。2〃j

,AT、qE/rcosA=

由余弦定理得2bc2.

因?yàn)?°<4<180°,所以4=60".

(2)由(1)知8=120°-C,由題設(shè)及正弦定理得

x/2sin^+sin(120°-C)=2sinC

口口—+—cosC+—sinC=2sinC_十/ncos(C+60")=-^-

即222,可得1)2.

由于00<C<1200,所以.(0+6°)=￥，故

sinC=sin(C+600-60°)

=sin(C+60°)cos600-cos(C+60")sin60°

_V6+V2

=~4~.

18.解：(1)連結(jié)BQME.

因?yàn)镸,E分別為BBi,BC的中點(diǎn)，

i_

所以ME〃BC且ME=5B1C.

又因?yàn)镹為AD的中點(diǎn)，所以ND=5AD

由題設(shè)知設(shè)B曾DC,可得BiC’AiD,故MEPND,

因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN〃ED.

又MN<z平面EDG,所以MN〃平面GDE.

(2)由已知可得DEJLDA.

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，刀的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則

2(2,0,0),A1(2,0,4),M。，?2),N(l,0,2),率=(0,0,-4),

麗=(-1,6-2),4V=(-l,0,-2),麗=(0,-G,0).

Im-A}M=0

設(shè)膽二(x,y,z)為平面AM的法向量，則9=。，

-x+\[3y-2z=0,

所以〔-4z=0.可取m=(g,l,0).

“?麗=0,

<___

設(shè)〃=3應(yīng)/)為平面AMN的法向量,則"麗=。?

-6夕=o,

所以1-P-2〃=O.可取〃=(2,0,-1).

1.mn2GV15

cos<m,n)=——-——=---產(chǎn)=------

于是|加1”|2x755,

而

所以二面角/一切「N的正弦值為丁.

3

19.解：設(shè)直線八片/+/，電，%)，3，力).

(1)由題設(shè)得喉°),故⑷+,…過,

由題設(shè)可得

5

2=5.

，212("1)

由|y=3x,可得9光2+12(-1)》+4/2=0,貝I廣+々

9

12(-1)=57

從而9-2,得—8.

尸，二

所以/的方程為'28.

(2)由萬=3而可得必=-3%.

3

y=-x+/

,2

由V=3x,可得V-2y+2/=°.

所以必+必=2.從而-3必+必=2,故必=7,必=3.

=3=1

代入C的方程得玉一’々一工

45/13

故皿

3

20.解：(1)設(shè)g(x)=/'(x),則ga)=cosk,.

1

g'(x)=-sinx+

(1+X)2.

當(dāng)xqT刃時,發(fā)(x)單調(diào)遞減，而可得廣⑶在

有唯一零點(diǎn)，

設(shè)為a.

、X€

則當(dāng)xw(-l,a)時,/(X)>0；當(dāng)時，g'(x)<0.

所以g(x)在(Ta)單調(diào)遞增，在I"'』單調(diào)遞減，故g(x)在

存在唯一極大值點(diǎn)，即廣⑴在卜'5)存在唯一極大值點(diǎn).

(2)/(X)的定義域?yàn)?T-).

(i)當(dāng)xe(-l,O］時，由(1)知，/'(X)在(TO)單調(diào)遞增，而

/(0)=0,所以當(dāng)一(TO)時,尸3<0,故/(X)在(T，O)單調(diào)遞減，

又/⑼力，從而x=0是/(X)在(T0］的唯一零點(diǎn).

(ii)當(dāng)xeIfo,2-」時，由(1)知，尸⑴在(0,。)單調(diào)遞增，在

【2)單調(diào)遞減，而尸(0)=0,{2),所以存在/I2),使得

XG

/9)=0,且當(dāng)xe(O,0時，f'(x)>0.當(dāng)I"2)時，/⑴<0.故

/(X)在(0,0單調(diào)遞增，在C2)單調(diào)遞減.

又/(0)=0,J{2)I2),所以當(dāng)I2」時，/(x)>0.從

而，在I2」沒有零點(diǎn).

xef—,nf—,K!

(iii)當(dāng)12」時，/⑺<0,所以./*)在(21單調(diào)遞減.

/⑶>0f-,7l

而,./(兀)<0,所以在12」有唯一零點(diǎn).

(IV)當(dāng)工€(兀,+<?)時，ln(x+l)>l,所以/(x)<0,從而/(幻在

(兀，+8)沒有零點(diǎn).

綜上，/(X)有且僅有2個零點(diǎn).

21.解：X的所有可能取值為-1，0」.

P(X=0)=儂+(1-a)(1-。),

P(X=l)=a(j),

所以X的分布列為

X-I01

P()-a)pa/?+(1-a)(l-J3)a(l-p)

(2)(i)由(1